高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明章末復(fù)習(xí)課學(xué)案蘇教版選修1-2

1、第2章 推理與證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解合情推理的含義，能利用歸納進(jìn)行簡單的推理.2.了解合情推理的含義，能利用類比進(jìn)行簡單的推理.3.了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法，并能利用分析法和綜合法證明簡單的問題.4.了解反證法的思想，并能靈活應(yīng)用知識點一合情推理1歸納推理(1)定義：從個別事實中推演出_的結(jié)論的推理稱為歸納推理歸納推理的思維過程大致是：_.(2)特點：由_到整體、由_到一般的推理2類比推理(1)定義：根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理類比推理的思維過程為：_.(2)特點：類比推理是由_到_的推理3合情

2、推理合情推理是根據(jù)_、_、_，以及個人的_和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程_和_都是數(shù)學(xué)活動中常用的合情推理知識點二演繹推理1演繹推理由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法叫演繹推理簡言之，演繹推理是由_到_的推理2“三段論”是演繹推理的一般模式(1)大前提已知的_；(2)小前提所研究的_；(3)結(jié)論根據(jù)一般原理，對_做出的判斷知識點三直接證明1綜合法(1)定義：從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱為綜合法(2)推證過程：(3)思維過程：由因?qū)Ч?分析法(1)定義：從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立

3、的條件和已知條件吻合為止，這種證明方法常稱為分析法(2)推證過程：(3)思維過程：執(zhí)果索因知識點四間接證明用反證法來證明時，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)類型一歸納思想例1已知數(shù)列an滿足a11，(n1,2，3，)(1)求a2，a3，a4，a5，并猜想通項公式an；(2)根據(jù)(1)中的猜想，有下面的數(shù)陣：S1a1，S2a2a3，S3a4a5a6，S4a7a8a9a10，S5a11a12a13a14a15.試求S1，S1S3，S1S3S5，并猜想S1S3S5S2n1的值反思與感悟歸納猜想是理性思維的重要體現(xiàn)，是獲得發(fā)現(xiàn)的源泉具有共同特征的歸納推理

4、，首先要觀察式子的共同結(jié)構(gòu)特點，其次是式子中出現(xiàn)的數(shù)字、字母之間的關(guān)系，這樣便于觀察運算規(guī)律和結(jié)構(gòu)上的共同點跟蹤訓(xùn)練1設(shè)an是集合2t2s|0st，且s，tZ中所有的數(shù)從小到大排列的數(shù)列，且a13，a25，a36，a49，a510，a612，.將數(shù)列an中的各項按照上小下大、左小右大的原則寫成如圖所示的三角形數(shù)表：(1)寫出這個三角形數(shù)表中的第4行、第5行各數(shù)；(2)求出a100.類型二類比思想例2定義“等和數(shù)列”，在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫等和數(shù)列，這個常數(shù)叫該數(shù)列的公和已知數(shù)列an為等和數(shù)列，且a12，公和為5.那么a18的值為_，這個數(shù)列前n項和

5、Sn的計算公式為_反思與感悟事物的各個性質(zhì)之間不是孤立的，而是相互聯(lián)系相互制約的，等和數(shù)列與等差數(shù)列之間有著很多類似的性質(zhì)，利用類比推理可得出等和數(shù)列的性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練2已知面積為S的凸四邊形中，四條邊長分別記為a1，a2，a3，a4，點P為四邊形內(nèi)任意一點，且點P到四條邊的距離分別記為h1，h2，h3，h4，若k，則h12h23h34h4.類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的每個面的面積分別記為S1，S2，S3，S4，此三棱錐內(nèi)任一點Q到每個面的距離分別為H1，H2，H3，H4，若K，則H12H23H34H4_.類型三正難則反思想例3已知ABC中，C是直角，求證：B一定是銳角反思與感悟反證法是假設(shè)原

6、命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后推出矛盾，這里得出的矛盾可以是與某個已知條件矛盾，可以是與某個事實、定理、公理相矛盾，也可以是自身相矛盾反證法的使用范圍：唯一性問題，“至少”“至多”問題，問題本身是否定語氣提出的問題跟蹤訓(xùn)練3證明：無論x，y取任何非零實數(shù)，等式總不成立類型四綜合法與分析法例4已知x，y0，xy1，求證：log2(x2y21)log2xlog2ylog2172.反思與感悟證明問題時，往往利用分析法尋找解題思路，用綜合法書寫證明過程跟蹤訓(xùn)練4求證：2cos().1有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個數(shù)1；第二組含兩個數(shù)3,5；第三組含三個數(shù)7,9,11；

7、第四組含四個數(shù)13,15,17,19；，則每組內(nèi)各數(shù)之和f(n)(nN*)與組的編號數(shù)n的關(guān)系式為_2已知ABC中，ADBC于D，三邊是a，b，c，則有accos Bbcos C；類比上述推理結(jié)論，寫出下列條件下的結(jié)論：四面體PABC中，ABC，PAB，PBC，PCA的面積分別是S，S1，S2，S3，二面角PABC，PBCA，PACB的度數(shù)分別是，則S_.3將下列給出的反證法證明過程填寫完整已知a0，證明關(guān)于x的方程axb有且僅有一個根證明由于a0，因此方程axb至少有一個根x.假設(shè)方程不止一個根，不妨設(shè)x1，x2是_，即ax1b，ax2b，所以a(x1x2)0，因為x1x2，所以x1x20，

8、所以a0，這與_矛盾，故假設(shè)錯誤所以當(dāng)a0時，關(guān)于x的方程axb有且僅有一個根4若tan()2tan ，求證：3sin sin(2)直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學(xué)問題時，常把它們結(jié)合起來使用間接證明的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一1(1)一般性實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論(2)部分個別2(1)觀察、比較聯(lián)想、類推猜測新的結(jié)論(2)特殊特殊3已有的事實正確的結(jié)論實驗和實踐的結(jié)果經(jīng)驗歸納推理類比

9、推理知識點二1一般特殊2(1)一般原理(2)特殊情況(3)特殊情況題型探究例1解(1)因為a11，由知an1an，故a22，a33，a44，a55.可歸納猜想出ann(nN*)(2)根據(jù)(1)中的猜想，數(shù)陣為：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，故S1114，S1S31151624，S1S3S5115658134.可猜想S1S3S5S2n1n4.跟蹤訓(xùn)練1解(1)第1行：32120；第2行：52220,62221；第3行：92320,102321,122322；由此歸納猜想：第4行：242017,242118,242220,242324；第5行

10、，252033,252134,252236,252340,252448.故第4行各數(shù)依次為17,18,20,24；第5行各數(shù)依次為33,34,36,40,48.(2)每行中數(shù)的個數(shù)與行數(shù)相同，即第1行1個數(shù)，第2行2個數(shù)，第3行3個數(shù)，由100(nN*)，得n13.故前13行共有1231391(個)數(shù)因此，a100應(yīng)當(dāng)是第14行中第9個數(shù)，所以a1002142816 38425616 640.例23Sn解析an是等和數(shù)列，a12，公和為5，a23，則a32，a43，知a2n3，a2n12(nN*)a183，數(shù)列an形如：2,3,2,3,2,3，.Sn跟蹤訓(xùn)練2解析根據(jù)三棱錐的體積公式，得S1H

11、1S2H2S3H3S4H4V，即KH12KH23KH34KH43V，H12H23H34H4.例3證明假設(shè)B不是銳角，則B90，因此CB9090180，這與三角形的內(nèi)角和等于180矛盾所以假設(shè)不成立從而B一定是銳角跟蹤訓(xùn)練3證明設(shè)存在非零實數(shù)x1，y1，使等式成立，則有y1(x1y1)x1(x1y1)x1y1，xyx1y10，即(x1)2y0.又x1，y10，(x1)2y0，從而得出矛盾，故原命題成立例4解方法一(分析法)x，y0，欲證log2(x2y21)log2xlog2ylog2172，需證log2log2.由于對數(shù)的底數(shù)為21，為了證明上式成立，需證.由于x，y0，于是為了證明上式成立，

12、只需證明4x2y2417xy，即證4x2y217xy40.即證(4xy1)(xy4)0，即證xy或xy4.又x，y0，xy1，xy()2.式成立，這就證明了log2(x2y21)log2xlog2ylog2172成立方法二(綜合法)由條件知log2(x2y21)log2xlog2ylog2.設(shè)u，txy.由xy1，得xy()2，t(0，uxyt，t(0，u(t)10，t(0，ut在t(0，上是減函數(shù)，u4.log2ulog2，log2log2172，即log2(x2y21)log2xlog2ylog2172.跟蹤訓(xùn)練4證明sin(2)2cos()sin sin()2cos()sin sin()cos cos()sin 2cos()sin sin()cos cos()sin sin()sin ，兩邊同除以sin 得2cos().達(dá)標(biāo)檢測1f(n)n3解析由于113,35823，79112733,131517196443，猜想第n