全國(guó)高中數(shù)學(xué)說(shuō)課大賽教學(xué)設(shè)計(jì)一等獎(jiǎng)作品：35《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》

1、“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(第一課時(shí))”教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)人教A版必修4第一章第三節(jié)，其主要內(nèi)容是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式中的公式二至公式六，是三角函數(shù)的主要性質(zhì).學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式一和任意角的三角函數(shù)的定義，這節(jié)課在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)公式二至公式四.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是圓的對(duì)稱性的“代數(shù)表示”，利用對(duì)稱性，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)終邊分別關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)軸對(duì)稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使得“數(shù)”與“形”得到緊密結(jié)合，成為一個(gè)整體.通過(guò)簡(jiǎn)單問(wèn)題的提出、誘導(dǎo)公式的發(fā)現(xiàn)、問(wèn)題的解決，體會(huì)由未知到已知的轉(zhuǎn)化，為以后的三角函數(shù)求值、化簡(jiǎn)、簡(jiǎn)單證明以及后

2、續(xù)學(xué)習(xí)的三角函數(shù)圖像和性質(zhì)等知識(shí)打好基礎(chǔ)誘導(dǎo)公式的主要用途是把任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求090角的三角函數(shù)值.誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”和復(fù)雜到簡(jiǎn)單的“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法，反映了從特殊到一般的歸納思維形式對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、發(fā)展學(xué)生的思維能力，掌握數(shù)學(xué)的思想方法具有積極的作用. 誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)和推證過(guò)程還體現(xiàn)了三角函數(shù)之間的內(nèi)部聯(lián)系，是定義的延伸與應(yīng)用，在本章中起著承上啟下的作用.本節(jié)課的重點(diǎn)是誘導(dǎo)公式的探究，運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單函數(shù)式的求值與化簡(jiǎn)，提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間（圓的對(duì)稱性與三角函數(shù)性質(zhì)）聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，把過(guò)去滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中的重要的方法以集中的、顯性的形式呈現(xiàn)出來(lái)，

3、使學(xué)生更加明確這些方法，并能在今后的學(xué)習(xí)中有意識(shí)地使用它們. 二、教學(xué)問(wèn)題診斷分析在教師的組織和引導(dǎo)下學(xué)生以自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流的方式進(jìn)行學(xué)習(xí).在學(xué)習(xí)中了解和體驗(yàn)公式的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到誘導(dǎo)公式是前面三角函數(shù)定義、單位圓對(duì)稱性等知識(shí)的延續(xù)和拓展，應(yīng)用遷移規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、歸納推導(dǎo)公式.在教學(xué)中可能會(huì)遇到如下幾個(gè)問(wèn)題：1在利用多媒體引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般的學(xué)習(xí)過(guò)程中，部分學(xué)生認(rèn)為只要記住公式，會(huì)做題就可以，對(duì)公式的推導(dǎo)重視不夠.為了盡量避免這種情況的出現(xiàn)，我采用小組討論制，考慮到學(xué)生的個(gè)體差異，把“強(qiáng)”、“中”、“弱”合理搭配，安排組長(zhǎng)監(jiān)管收集討論的結(jié)果，記錄收集每一階段

4、的過(guò)程材料.2角的任意性，怎樣向?qū)W生交代清楚是這節(jié)課我一直思考的問(wèn)題.為了解決這個(gè)問(wèn)題我自己利用幾何畫(huà)板制作教學(xué)課件，通過(guò)用角終邊的任意一點(diǎn)的拖動(dòng)，顯示三角函數(shù)值在各個(gè)象限的變化，讓學(xué)生明白角不局限為第一象限的角，它具有任意性，從而突破了難點(diǎn).3公式的記憶也是個(gè)難點(diǎn).特別是十字口訣更是理解不深.對(duì)于幻燈片中的公式，教師對(duì)照幾何畫(huà)板課件逐字逐句的分析，讓其明白公式中的角是任意的，而記憶時(shí)將其看成銳角.另外，反思學(xué)習(xí)過(guò)程時(shí)，體會(huì)角的終邊的對(duì)稱性與三角函數(shù)值之間的關(guān)系也有利于公式的記憶.三、目標(biāo)和目標(biāo)解析（一）教學(xué)目標(biāo)1.能借助三角函數(shù)的定義及單位圓的對(duì)稱性推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式,會(huì)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三

5、角函數(shù)式的求值與化簡(jiǎn).2.通過(guò)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.3.培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的歸納意識(shí)，學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問(wèn)題.（二）目標(biāo)解析在初中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)關(guān)于原點(diǎn)、x軸以及y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的內(nèi)在聯(lián)系，并且前面學(xué)生能運(yùn)用三角函數(shù)的定義和公式一進(jìn)行三角函數(shù)求值，但對(duì)于任意角的三角函數(shù)之間存在的聯(lián)系還不清楚，或者只有一點(diǎn)模糊的感性認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：“學(xué)生要獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中的作用通過(guò)不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程”所以，根據(jù)課程

6、標(biāo)準(zhǔn)、教材的特點(diǎn)、對(duì)本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，從三個(gè)不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特征及教學(xué)目標(biāo)，本節(jié)課采用了“問(wèn)題發(fā)現(xiàn)歸納類比”的教學(xué)方法和“自主探究小組合作”的學(xué)習(xí)方式.由問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，通過(guò)誘導(dǎo)公式二至四的探究，概括得到誘導(dǎo)公式的特點(diǎn)，提高對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)聯(lián)的認(rèn)識(shí)，理解求任意角三角函數(shù)值所體現(xiàn)出來(lái)的化歸思想，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力. 教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)過(guò)程：1利用已有知識(shí)導(dǎo)出新的問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲，達(dá)到以舊拓新的目的.2由特例與30與30，與30的關(guān)系提出問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)他們分析角的終邊對(duì)稱關(guān)系，利用定義進(jìn)行推導(dǎo)得到公式二，再利用多媒體動(dòng)態(tài)

7、演示，使學(xué)生對(duì)“為任意角”的認(rèn)識(shí)自然合理.之后如法炮制公式三、四，通過(guò)聯(lián)想，類比、方法遷移，學(xué)生很輕松的發(fā)現(xiàn)公式，每小組積極發(fā)言并且通過(guò)實(shí)物展臺(tái)展示交流，發(fā)現(xiàn)任意角與，三角函數(shù)值的關(guān)系，體會(huì)了從特殊到一般的歸納推理過(guò)程，使學(xué)生的思維得到科學(xué)訓(xùn)練，有助于培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和創(chuàng)新能力.3采用問(wèn)題設(shè)疑，觀察演示，步步深入，逐層引導(dǎo)，探究合作的教學(xué)方法，旨在讓學(xué)生充分感受和理解知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程.在教師適時(shí)的啟發(fā)點(diǎn)撥下，學(xué)生在類比、歸納的過(guò)程中積極主動(dòng)地去探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律（公式），培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)公式，將發(fā)現(xiàn)與證明合為一體，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.4通過(guò)例

8、1和變式，把誘導(dǎo)公式（一）、（二）、（三）、（四）的應(yīng)用進(jìn)一步拓廣，發(fā)展學(xué)生的思維能力和計(jì)算能力.例2的擴(kuò)展讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到公式的實(shí)用性和學(xué)習(xí)的必要性.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)力求體現(xiàn) “問(wèn)題性”、“科學(xué)性”與“思想性”，以多媒體為輔助手段，采用教師為主導(dǎo)學(xué)生為主體的啟發(fā)式與探究式相結(jié)合的方法，使學(xué)生快樂(lè)地學(xué)習(xí).3、 教學(xué)支持條件分析在進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義、各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)和公式一，這些內(nèi)容是學(xué)生理解、歸納公式二至公式四的基礎(chǔ)，因此教學(xué)時(shí)應(yīng)充分注意利用這一有利條件，引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行歸納與概括.另外，信息技術(shù)的使用也為突破教學(xué)難點(diǎn)、啟發(fā)學(xué)生思維、增加課堂容量提供了有力的支

9、持.五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生思考、回答，學(xué)生口述的同時(shí)，教師加以引導(dǎo)并用幻燈片展示問(wèn)題1：（1）各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號(hào)是什么？（只討論正弦、余弦、正切）（2）任意角的三角函數(shù)的定義是什么？（3）公式一的內(nèi)容與作用是什么？問(wèn)題2:已知如何求的值.教師引導(dǎo)：能否再把0360間的角的三角函數(shù)，化為我們熟悉的090間的角的三角函數(shù)問(wèn)題呢？這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)和研究這樣的問(wèn)題. 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)復(fù)習(xí)舊知，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).特別是各象限三角函數(shù)的符號(hào)，對(duì)于誘導(dǎo)公式記憶起關(guān)鍵作用.提出的新問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，激起學(xué)生們的興趣. (二)探索開(kāi)發(fā)新結(jié)論教師引導(dǎo)：為了

10、解決以上問(wèn)題，我們采用各個(gè)擊破的方法.首先看，如果我們知道一個(gè)任意角與()三角函數(shù)值的關(guān)系，問(wèn)題就解決了.探究一：任意角與()三角函數(shù)值的關(guān)系.問(wèn)題3：與 ()角的終邊關(guān)系如何？（互為反向延長(zhǎng)線或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱） 設(shè)與()角的終邊分別交單位圓于點(diǎn)P1，P2，則點(diǎn)P1與P2位置關(guān)系如何？（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）設(shè)點(diǎn)P1(x，y)，那么點(diǎn)P2的坐標(biāo)怎樣表示？（P2(x，y)）sin與sin()，cos與cos()，tan與tan()的關(guān)系如何？經(jīng)過(guò)探索，歸納成公式 -公式 二.【設(shè)計(jì)意圖】公式二的三個(gè)式子中，是第一個(gè)解決的問(wèn)題，由于方法及思路都是未知的，所以采取教師引導(dǎo)，師生合作共同完成辦法通過(guò)腳手架式的層

11、層提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)誘導(dǎo)公式二，讓學(xué)生體驗(yàn)證明猜想的樂(lè)趣，凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位.同時(shí)，試圖通過(guò)環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題給學(xué)生傳遞“由宏觀到微觀考慮問(wèn)題”的思維習(xí)慣，從而達(dá)到“授人以漁”的目的.后兩個(gè)均由學(xué)生類比討論完成學(xué)生活動(dòng)：小組討論，代表發(fā)言交流問(wèn)題4：公式中的角僅是銳角嗎？【設(shè)計(jì)意圖】課前提問(wèn)的問(wèn)題是以引入的，之后的討論只是用代數(shù)方法換成了一般形式的角，有些同學(xué)肯定會(huì)有這樣的疑問(wèn)，所以這個(gè)問(wèn)題的解決好，就是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵.引導(dǎo)學(xué)生互相討論，交流可以使學(xué)生記憶更深刻.師生活動(dòng)：演示幾何畫(huà)板課件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相應(yīng)的三角函數(shù)值，拖動(dòng)其終邊上任意點(diǎn)，再讓學(xué)生觀察每一象限內(nèi)三角函

12、數(shù)值的符號(hào)和它們之間存在的對(duì)稱關(guān)系，從而驗(yàn)證了猜想，使學(xué)生更好的理解了這個(gè)公式 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)多媒體演示，發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，從而總結(jié)出三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式類比第一個(gè)問(wèn)題的解決方法，我們?cè)賮?lái)解決后面的兩個(gè)問(wèn)題.觀察，由公式一知的終邊與的終邊相同，所以我們必須知道一個(gè)任意角與(-)三角函數(shù)值的關(guān)系.探究二：任意角與(-)三角函數(shù)值的關(guān)系.問(wèn)題5：與()角的終邊位置關(guān)系如何？(關(guān)于x軸對(duì)稱) 設(shè)與()角的終邊分別交單位圓于點(diǎn)P1，P2點(diǎn)P1與P2位置關(guān)系如何(關(guān)于x軸對(duì)稱)設(shè)點(diǎn)P1(x，y)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)怎樣表示？P2(x，y)sin與sin()，cos與cos() ，tan與tan()關(guān)系如何？經(jīng)過(guò)探

13、索，歸納成公式 -公式 三.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)學(xué)生自主探究與合作交流，完成由角的終邊點(diǎn)的對(duì)稱性得到公式的過(guò)程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和激發(fā)學(xué)生的參與、探究和體驗(yàn)的欲望，讓他們既動(dòng)腦又動(dòng)手，讓學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng).讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)與形的關(guān)系，嘗試自主探究的樂(lè)趣.教師引導(dǎo)：那，我們須知與()的三角函數(shù)值的關(guān)系，同學(xué)們繼續(xù)發(fā)揮聰明才智解決它吧！探究三：與()的三角函數(shù)值的關(guān)系問(wèn)題6：與()角的終邊位置關(guān)系如何？(關(guān)于y軸對(duì)稱) 設(shè)與()角的終邊分別交單位圓于點(diǎn)P1，P2點(diǎn)P1與P2位置關(guān)系如何？(關(guān)于y軸對(duì)稱)設(shè)點(diǎn)P1(x，y)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)怎樣表示？P2(-x，y)sin與sin()，cos與cos()

14、，tan與tan()關(guān)系如何？經(jīng)過(guò)探索，歸納成公式 -公式 四【設(shè)計(jì)意圖】與探究二的教法相同，學(xué)生分組討論，嘗試推導(dǎo)公式，教師巡視，及時(shí)反饋、矯正、講評(píng)采用合作學(xué)習(xí)有助于觀察的多種方式的呈現(xiàn)，通過(guò)學(xué)生多角度的觀察所得到結(jié)論的交流，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美和發(fā)現(xiàn)規(guī)律（公式）的喜悅，激發(fā)學(xué)生更積極地去尋找規(guī)律、認(rèn)識(shí)規(guī)律.同時(shí)讓學(xué)生感受到只要做個(gè)有心人，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并非難事. (三)總結(jié)概括新結(jié)論師生活動(dòng)：為了更好的使學(xué)生們把自己的研究成果記憶牢靠，師生共同大聲朗讀這四組公式.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一：公式二：公式三：公式四：說(shuō)明：公式中的指使公式兩邊有意義的任意一個(gè)角問(wèn)題7：你能用一句話概括公式一、二、三、四

15、嗎？為了讓學(xué)生更好的記憶公式，通過(guò)幻燈片展示，猜想驗(yàn)證，如果把角看成銳角，分別位于第一、二、三、四象限，由課前提問(wèn)各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號(hào)，學(xué)生可以試著敘述.師生活動(dòng)：總結(jié)概括公式一、二、三、四：的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).公式特點(diǎn)：“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”【設(shè)計(jì)意圖】逐步理解十字口訣含義，并且訓(xùn)練學(xué)生的概括能力. (四)鞏固應(yīng)用結(jié)論例1 求下列三角函數(shù)值：師生活動(dòng)：學(xué)生板書(shū)，教師巡視，糾正錯(cuò)誤（1）；（2）；（3）；（4）分析：先將不是0范圍內(nèi)角的三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化為0范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)（利用誘導(dǎo)公式一）或先將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角然后再用誘導(dǎo)公式化到范圍

16、內(nèi)角的三角函數(shù)的值.解：（1）（2）（3）（4）=問(wèn)題8：用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般步驟是什么？（學(xué)生大膽說(shuō)，互相討論）化負(fù)角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；化大于的正角的三角函數(shù)為0內(nèi)的三角函數(shù)；化0內(nèi)的三角函數(shù)為銳角的三角函數(shù)變式：已知是第三象限的角且，求，（學(xué)生口答）【設(shè)計(jì)意圖】在得到誘導(dǎo)公式后，在此讓學(xué)生獨(dú)立去實(shí)踐解決問(wèn)題，一般情況下，1、2小題都能很快解決，只是到了第3、4小題時(shí)，條件變化稍復(fù)雜一些，同學(xué)們就會(huì)出現(xiàn)思維障礙，需及時(shí)引導(dǎo)他們?nèi)ミM(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，在實(shí)踐中體會(huì)誘導(dǎo)公式在解題過(guò)程中的應(yīng)用，使任意一個(gè)角都轉(zhuǎn)化為他們所熟知的銳角，體會(huì)從未知到已知的化歸思想，

17、從而為總結(jié)出解題的一般步驟埋下伏筆.變式是為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解公式中角的任意性而設(shè)立.例2 化簡(jiǎn)（學(xué)生板書(shū)）解：，所以原式=變式：已知，求的值.【設(shè)計(jì)意圖】在例題的選取與設(shè)計(jì)上，主要體現(xiàn)“由易到難，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，層層推進(jìn)”的想法，例1體現(xiàn)在求值上，例2主要體現(xiàn)在化簡(jiǎn)上，使學(xué)生明白公示的應(yīng)用所在.變式需要利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行一下變形再求值，對(duì)于初學(xué)者有點(diǎn)難度，需要教師從旁指導(dǎo).練習(xí)是遞進(jìn)，體現(xiàn)化歸思想、整體思想、使學(xué)生思維得到鍛煉，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，從而達(dá)到初步掌握知識(shí)應(yīng)用的目的.(五)課堂小結(jié)問(wèn)題9 ：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲嗎？主要提示從以下三方面 （由學(xué)生完成）1四組誘導(dǎo)公式及公式的記憶方法2求任意角的三角函數(shù)的步驟：任意負(fù)角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)用公式三或一用公式一0的三角函數(shù)用公式二或四銳角的三角函數(shù)上述過(guò)程體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想.3公式中的的任意性.【