全國高中數(shù)學說課大賽教學設計一等獎作品：基本不等式

1、基本不等式（第一課時）一、教學目標1通過兩個探究實例，引導學生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會數(shù)形結合的思想；2進一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學生分析證明方法，加深對基本不等式的認識，提高邏輯推理論證能力；3結合課本的探究圖形，引導學生進一步探究基本不等式的幾何解釋，強化數(shù)形結合的思想；4借助例1嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，通過例2及其變式引導學生領會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略以上教學目標結合了教學實際，將知識與能力、過程與方法、情感態(tài)度價值觀的三維目

2、標融入各個教學環(huán)節(jié)二、教學重點和難點重點：應用數(shù)形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程；難點：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式三、教學過程：1動手操作，幾何引入如圖是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標，會標是根據(jù)我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”設計的，該圖給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明，體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何是緊密結合、互不可分的探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關系和不等關系嗎？在正方形中有4個全等的直角三角形設直角三角形兩條直角邊長為，那么正方形的邊長為于是，4個直角三角形的面積之和，正方形的面積由圖可知，即探究

3、二：先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩個三角形拼接構造出一個矩形（兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分折疊）假設兩個正方形的面積分別為和（），考察兩個直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)現(xiàn)一個不等式嗎？通過學生動手操作，探索發(fā)現(xiàn)：2代數(shù)證明，得出結論根據(jù)上述兩個幾何背景，初步形成不等式結論：若，則若，則學生探討等號取到情況，教師演示幾何畫板，通過展示圖形動畫，使學生直觀感受不等關系中的相等條件，從而進一步完善不等式結論：（1）若，則；（2）若，則請同學們用代數(shù)方法給出這兩個不等式的證明證法一（作差法）：，當時取等號（在該過程中，可發(fā)現(xiàn)的取值可以是全體實數(shù)）

4、證法二（分析法）：由于，于是要證明 ，只要證明 ， 即證 ，即 ，該式顯然成立，所以，當時取等號得出結論，展示課題內(nèi)容基本不等式:若，則（當且僅當時，等號成立）若，則（當且僅當時，等號成立）深化認識：稱為的幾何平均數(shù)；稱為的算術平均數(shù)基本不等式又可敘述為：兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù)3幾何證明，相見益彰DCABEO探究三：如圖，是圓的直徑，點是上一點，過點作垂直于的弦，連接根據(jù)射影定理可得：由于Rt中直角邊斜邊，于是有當且僅當點與圓心重合時，即時等號成立故而再次證明：當時，（當且僅當時，等號成立）（進一步加強數(shù)形結合的意識，提升思維的靈活性）4應用舉例，鞏固提高例1.（1）用籬笆

5、圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？（通過例1的講解，總結歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉化）對于，（1）若（定值），則當且僅當時，有最小值；（2）若（定值），則當且僅當時，有最大值（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神）例2.求的值域變式1. 若，求的最小值在運用基本不等式解題的基礎上，利用幾何畫板展示的函數(shù)圖象，使學生再次感受數(shù)形結合的數(shù)學思想并通過

6、例2及其變式引導學生領會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略練一練（自主練習）：1.已知，且，求的最小值2.設，且，求的最小值5歸納小結，反思提高基本不等式：若，則（當且僅當時，等號成立）若，則（當且僅當時，等號成立）（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結合思想）；（2）運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法媒體展示，滲透思想：若將算術平均數(shù)記為，幾何平均數(shù)記為利用電腦3D技術，在空間坐標系中向學生展示基本不等式的幾何背景：平面在曲面的上方6布置作業(yè)，課后延拓（1）基本作業(yè)：課本P100習題組1、2題（2）拓展作業(yè)：請同學們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并