高中數(shù)學雙曲線拋物線知識點總結

1、雙曲線 平面內到兩個定點,的距離之差的絕對值是常數(shù)2a(2a)的點的軌跡。方程簡圖_x_O_y_x_O_y范圍頂點焦點漸近線離心率對稱軸關于x軸、y軸及原點對稱關于x軸、y軸及原點對稱準線方程a、b、c的關系考點 題型一 求雙曲線的標準方程1、給出漸近線方程的雙曲線方程可設為，與雙曲線共漸近線的方程可設為。2、注意：定義法、待定系數(shù)法、方程與數(shù)形結合。【例1】求適合下列條件的雙曲線標準方程。（1） 虛軸長為12，離心率為；（2） 焦距為26，且經(jīng)過點M（0，12）；（3） 與雙曲線有公共漸進線，且經(jīng)過點。解：（1）設雙曲線的標準方程為或。由題意知，2b=12，=。b=6，c=10，a=8。標準

2、方程為或。（2）雙曲線經(jīng)過點M（0，12），M（0，12）為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a=12。又2c=26，c=13。標準方程為。（3）設雙曲線的方程為在雙曲線上 得所以雙曲線方程為題型二 雙曲線的幾何性質方法思路：解決雙曲線的性質問題，關鍵是找好體重的等量關系，特別是e、a、b、c四者的關系，構造出和的關系式?！纠?】雙曲線的焦距為2c，直線l過點（a，0）和（0，b），且點（1，0）到直線l的距離與點（-1，0）到直線l的距離之和s。求雙曲線的離心率e的取值范圍。解：直線l的方程為，級bx+ay-ab=0。 由點到直線的距離公式，且a1，得到點（1，0）到直線l的距離， 同理得

3、到點（-1，0）到直線l的距離，。由s，得，即。于是得，即。解不等式，得。由于e10，所以e的取值范圍是?！纠?】設F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點A，使，且AF1=3AF2，求雙曲線的離心率。解：又AF1=3AF2，即，即。題型三 直線與雙曲線的位置關系方法思路：1、研究雙曲線與直線的位置關系，一般通過把直線方程與雙曲線方程組成方程組，即，對解的個數(shù)進行討論，但必須注意直線與雙曲線有一個公共點和相切不是等價的。 2、直線與雙曲線相交所截得的弦長：yxOBAC【例4】如圖，已知兩定點，滿足條件的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點，如果，且曲線E上存在

4、點C，使，求（1）曲線E的方程；（2）直線AB的方程；（3）m的值和ABC的面積S。解：由雙曲線的定義可知，曲線E是以為焦點的雙曲線的左支， 且，a=1，易知。故直線E的方程為，(2)設, ,由題意建立方程組消去y，得。又已知直線與雙曲線左支交于兩點A、B，有解得。又 依題意得，整理后得，或。但，。故直線AB的方程為。（3）設，由已知，得，。又，點。將點C的坐標代入曲線E的方程，的，得，但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意。，C點的坐標為，C到AB的距離為，ABC的面積。一、 拋物線高考動向：拋物線是高考每年必考之點，選擇題、填空題、解答題皆有，要求對拋物線定義、性質、直線與其關系做到了

5、如指掌，在高考中才能做到應用自如。（一） 知識歸納 方程 圖形頂點 （0，0）對稱軸 x軸 y軸焦點離心率 e=1準線（二）典例講解題型一 拋物線的定義及其標準方程方法思路：求拋物線標準方程要先確定形式，因開口方向不同必要時要進行分類討論，標準方程有時可設為或?！纠?】根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程。（1）拋物線的焦點是雙曲線的左頂點；（2）經(jīng)過點A（2，3）；（3）焦點在直線x-2y-4=0上；（4）拋物線焦點在x軸上，直線y=-3與拋物線交于點A，AF=5.解：（1）雙曲線方程可化為，左頂點是（-3，0）由題意設拋物線方程為且，p=6.方程為（2）解法一：經(jīng)過點A（2，3）的拋物線可能有兩

6、種標準形式：y22px或x22py 點A（2，3）坐標代入，即94p，得2p點A（2，3）坐標代入x22py，即46p，得2p所求拋物線的標準方程是y2x或x2y解法二：由于A（2，-3）在第四象限且對稱軸為坐標軸，可設方程為或，代入A點坐標求得m=，n=-，所求拋物線的標準方程是y2x或x2y（3）令x=0得y=2，令y=0得x=4， 直線x-2y-4=0與坐標軸的交點為（0，-2），（4，0）。焦點為（0，-2），（4，0）。拋物線方程為或。（4）設所求焦點在x軸上的拋物線方程為，A（m，-3），由拋物線定義得，又，或，故所求拋物線方程為或。題型二 拋物線的幾何性質方法思路：1、凡設計拋物

7、線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉化為到準線l的距離處理，例如若P（x0，y0）為拋物線上一點，則。2、若過焦點的弦AB，則弦長，可由韋達定理整體求出，如遇到其他標準方程，則焦半徑或焦點弦長公式可由數(shù)形結合的方法類似得到?！纠?】設P是拋物線上的一個動點。（1） 求點P到點A（-1，1）的距離與點P到直線的距離之和的最小值；（2） 若B（3，2），求的最小值。解：（1）拋物線焦點為F（1，0），準線方程為。P點到準線的距離等于P點到F（1，0）的距離，yxAOPF問題轉化為：在曲線上求一點P，使點P到A（-1，1）的距離與P到F（1，0）的距離之和最小。顯然P是AF的連線與拋物線的交點，最小

8、值為（2）同理與P點到準線的距離相等，如圖：過B做BQ準線于Q點，交拋物線與P1點。，。的最小值是4。題型三 利用函數(shù)思想求拋物線中的最值問題方法思路：函數(shù)思想、數(shù)形結合思想是解決解析幾何問題的兩種重要的思想方法。【例7】已知拋物線yx2，動弦AB的長為2，求AB的中點縱坐標的最小值。分析一：要求AB中點縱坐標最小值，可求出y1y2的最小值，從形式上看變量較多，結合圖形可以觀察到y(tǒng)1、y2是梯形ABCD的兩底，這樣使得中點縱坐標y成為中位線，可以利用幾何圖形的性質和拋物線定義求解。解法一：設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x,y)由拋物線方程yx2知焦點,準線方程，設點A、

9、B、M到準線的距離分別為|AD1|、|BC1|、|MN|，則|AD1|BC1|2|MN|，且，根據(jù)拋物線的定義，有|AD1|AF|、|BC1|BF|,|AF|BF|AB|2，,即點M縱坐標的最小值為。分析二：要求AB中點M的縱坐標y的最小值，可列出y關于某一變量的函數(shù)，然后求此函數(shù)的最小值。解法二：設拋物線yx2上點A(a,a2),B(b,b2)，AB的中點為M(x，y)，則|AB|2，(ab)2(a2b2)4，則(ab)24ab(a2b2)24a2b24則2xab,2ya2b2,得ab2x2y,4x24(2x2y)4y24(2x2y)4整理得即點M縱坐標的最小值為3/4。練習：1、以y=x為

10、漸近線的雙曲線的方程是（） 、3y22x2=6 、9y28x2=1 C、3y22x2=1 D、9y24x2=36【答案D】解析：A的漸近線為，B的漸近線為 C的漸近線為，只有D的漸近線符合題意。2、若雙曲線的左支上一點P（a，b）到直線y=x的距離為，則a+b的值為（ ） A、 B、 C、 D、2【答案A】解析：P在雙曲線上， 即（a+b）（a-b）=1 又P（a，b）到直線y=x的距離為 且 即 a+b=3、如果拋物線的頂點在原點、對稱軸為x軸，焦點在直線上，那么拋物線的方程是（）A、 B、C、 D、【答案C】解析：令x=0得y=3，令y=0得x=4， 直線與坐標軸的交點為（0，-3），（4

11、，0）。焦點為（0，-3），（4，0）。拋物線方程為或。4、若拋物線y=x2上一點P到焦點F的距離為5，則P點的坐標是A.（4，4）B.（4，4） C.（，） D.（，）【答案B】解析：拋物線的焦點是（0，1），準線是， P到焦點的距離可以轉化為到準線的距離。 設P（x，y），則y=4， 5、若點A的坐標為（3，2），為拋物線的焦點，點是拋物線上的一動點，則 取得最小值時點的坐標是 （ C ）A（0，0） B（1，1） C（2，2） D【答案C】解析：拋物線焦點為F（1，0），準線方程為。P點到準線的距離等于P點到F（1，0）的距離，問題轉化為：在曲線上求一點P，使點P到A（3，2）的距離與P

12、到F（1，0）的距離之和最小。顯然P是A到準線的垂線與拋物線的交點，P的坐標為（2，2）6、已知A、B是拋物線上兩點，O為坐標原點，若OA=OB，且AOB的垂心恰是此拋物線的焦點，則直線AB的方程是（ ）A、x=p B、x=3p C、x=p D、x=p【答案D】解析：設A（，y），B（，-y）， F（p，0）是AOB的垂心， 整理得 7、過點P（4，1），且與雙曲線只有一個公共點的直線有 條。 【答案】兩條 解析：因為P（4，1）位于雙曲線的右支里面，故只有兩條直線與雙曲線有一個公共點，分別與雙曲線的兩條漸近線平行。 這兩條直線是：和8、雙曲線C與雙曲線有共同的漸近線，且過點，則C的兩條準線之

13、間的距離為 ?！敬鸢浮?解析：設雙曲線C的方程為， 將點A代入，得k=。 故雙曲線C的方程為： ，b=2, 所以兩條準線之間的距離是。9、已知拋物線，一條長為4P的弦，其兩個端點在拋物線上滑動，則此弦中點到y(tǒng)軸的最小距離是 【答案】 解析：設動弦兩個端點為A、B，中點為C，作AA，BB，CC垂直于準線的垂線，垂足分別為A、 B、 C，連接AF、BF，由拋物線定義可知，AF=AA， BF=BB CC是梯形ABBA的中位線 CC= = =2p 當AB經(jīng)過點F時取等號，所以C點到y(tǒng)軸的距離最小值為。10、拋物線的一條弦的中點為M，則此弦所在的直線方程是 ?！敬鸢浮?x-y+1=0 解析：設此弦所在的

14、直線方程為， 與拋物線的交點坐標分別是A(x1,y1),B(x2,y2), 則 將的方程代入拋物線方程整理得 由韋達定理得解得此直線方程為 即2x-y+1=011、已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，焦距為16，離心率為，求雙曲線的方程。解：由題意知， 又 12、已知雙曲線的離心率，過點和B（a，0）的直線與原點的距離為。（1）求雙曲線的方程；（2）直線與該雙曲線交于不同的兩點C、D，且C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上，求m的取值范圍。解：（1）由題設，得解得，雙曲線的方程為。（2）把直線方程代入雙曲線方程，并整理得因為直線與雙曲線交于不同的兩點， 設，則，設CD的中點為，其中，則，依題意，

15、APCD，整理得 將式代入式得 m4或m0又，即m的取值范圍為m4或。13、已知點A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線上，ABC的重心與此拋物線的焦點F重合（如圖）（1）寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標；（2）求線段BC中點M的坐標；（3）求BC所在直線的方程.（12分）解：（1）由點A（2，8）在拋物線上，有，解得p=16. 所以拋物線方程為，焦點F的坐標為（8，0）.（2）如圖，由于F（8，0）是ABC的重心，M是BC的中點，所以F是線段AM的定比分點，且，設點M的坐標為，則，解得，所以點M的坐標為（11，4）（3）由于線段BC的中點M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸.設BC所在直線的方程為： 由，消x得，所以，由（2）的結論得，解得BC所在直線的方程是即。14、如圖, 直線y=x與拋物線y=x24交于A、B兩點, 線段AB的垂直平分線與直線y=5交于Q點. （1）求點Q的坐標；（2）當P為拋物線上位于線段AB下方（含A