測(cè)量誤差與不確定度基礎(chǔ)及測(cè)量數(shù)據(jù)處理

1、第二章 測(cè)量誤差與不確定度基礎(chǔ)及測(cè)量數(shù)據(jù)處理,第一節(jié) 測(cè)量誤差的基本概念,實(shí)際測(cè)量中，由于對(duì)客觀規(guī)律認(rèn)識(shí)的局限性、測(cè)量器具不準(zhǔn)確、測(cè)量手段不完善、測(cè)量條件發(fā)生變化及測(cè)量工作中的疏忽或錯(cuò)誤等原因，都會(huì)使測(cè)量結(jié)果與真值不同,一、測(cè)量誤差的定義 測(cè)量誤差是指測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值的差別。 真值：一個(gè)量在被觀測(cè)時(shí)所具有的真實(shí)大小。 測(cè)量誤差可用絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差表示。 1、絕對(duì)誤差 絕對(duì)誤差又叫做絕對(duì)真誤差，它可以表示為,x：絕對(duì)真誤差 x：被測(cè)量的測(cè)量值 x0：被測(cè)量的真值,2、相對(duì)誤差 絕對(duì)真誤差不能確切反映測(cè)量的準(zhǔn)確程度。 （1）相對(duì)真誤差（相對(duì)誤差） 相對(duì)真誤差指絕對(duì)誤差與被測(cè)量真值的比值，表示

2、為,示值相對(duì)誤差（標(biāo)稱相對(duì)誤差）：絕對(duì)誤差x與測(cè)量值x的比值，絕對(duì)誤差較大時(shí)不適合用示值相對(duì)誤差表示。 一些儀器的準(zhǔn)確程度，常用誤差的絕對(duì)形式和相對(duì)形式表示。 【例】某信號(hào)發(fā)生器輸出脈沖寬度誤差表示為： 10%0.025us,2）分貝誤差相對(duì)誤差的對(duì)數(shù)表示 在電子學(xué)和聲學(xué)中常用分貝來(lái)表示相對(duì)誤差，稱為分貝誤差。 分貝誤差與相對(duì)真誤差 【例】測(cè)量某電路網(wǎng)絡(luò)，其電壓傳遞函數(shù)真值為A0，可以將A0用分貝表示為 電壓傳遞函數(shù)測(cè)量值A(chǔ)，用分貝表示為 A與A0之間相差A(yù)，即,AdB與A0dB之間相差dB，即 dB與關(guān)系怎樣呢,例】某單級(jí)放大器電壓增益的真值A(chǔ)0為100，某次測(cè)得電壓增益A95，求該測(cè)量的相

3、對(duì)誤差和分貝誤差,例】某電壓放大器，ui1.2mV，測(cè)得uo6000mV，設(shè)ui的誤差不計(jì)，uo的測(cè)量誤差13%。求該電壓放大器電壓增益的絕對(duì)誤差A(yù)、相對(duì)誤差及分貝誤差dB,3、引用誤差 引用誤差指測(cè)量值的絕對(duì)誤差與儀表量程的比值，用來(lái)表示儀表的準(zhǔn)確程度,常用的電工儀表分為七個(gè)級(jí)別，表示它們引用誤差不超過的百分比,例】檢定一個(gè)1.5級(jí)量程為100mA的電流表，發(fā)現(xiàn)在50mA處的誤差最大，為1.4mA，其他刻度處誤差均小于1.4mA，問此電流表是否合格,二、測(cè)量誤差的分類 根據(jù)測(cè)量誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)，測(cè)量誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差三類。 （一）系統(tǒng)誤差 在相同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)

4、限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差稱為系統(tǒng)誤差。 在重復(fù)條件下測(cè)量同一量時(shí)，系統(tǒng)誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持恒定。 修正值：用于修正系統(tǒng)誤差；由于系統(tǒng)誤差確切值的不可知，修正值對(duì)系統(tǒng)誤差的修正并不是完美的，但能夠使測(cè)量結(jié)果更接近于真值,二）隨機(jī)誤差 在重復(fù)條件下，某次測(cè)量結(jié)果與對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果平均值之差稱為這次測(cè)量的隨機(jī)誤差。 隨機(jī)誤差是由對(duì)測(cè)量結(jié)果影響較小的、互不相關(guān)的因素引起的。 某一次測(cè)量的隨機(jī)誤差不可預(yù)測(cè)、不能控制，但足夠多次測(cè)量中，隨機(jī)誤差總體上服從統(tǒng)計(jì)的規(guī)律。 在多次測(cè)量中，隨機(jī)誤差的特性： 有界性隨機(jī)誤差的絕對(duì)值實(shí)際上不會(huì)超過一定的界限； 對(duì)稱性絕對(duì)值相等

5、的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同； 抵償性隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨著測(cè)量次數(shù)的無(wú)限增加而趨于零,三）粗大誤差 超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤差。 粗大誤差使測(cè)量結(jié)果明顯偏離真值。 對(duì)含有粗大誤差的測(cè)量值做剔除處理,三、測(cè)量誤差的估計(jì)和處理 根據(jù)不同誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)，對(duì)其處理的方法也不同。 （一）隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)處理 足夠多次測(cè)量中，隨機(jī)誤差體現(xiàn)了很強(qiáng)的規(guī)律性。對(duì)隨機(jī)誤差的研究采用概率、統(tǒng)計(jì)的方法，研究隨機(jī)誤差的分布形狀和主要數(shù)字特征。 1、隨機(jī)誤差的概率分布密度 電子測(cè)量中常用的概率分布密度的圖形（分布曲線）有：正態(tài)分布、矩形（均勻）分布、三角分布等,1）正態(tài)分布 服從正態(tài)分布隨機(jī)誤差形成因素應(yīng)滿足

6、中心極限定理的條件。即隨機(jī)誤差為多種互不相關(guān)的因素造成的許多微小誤差的總和。 服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差概率密度表達(dá)式： 該隨機(jī)誤差影響下的測(cè)量值概率密度表達(dá)式,2）矩形分布 矩形分布又稱均勻分布。 （3）三角形分布 2、隨機(jī)誤差影響下測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和方差 隨機(jī)誤差的影響，使測(cè)量值在一定范圍內(nèi)上下波動(dòng)，測(cè)量值是一個(gè)隨機(jī)變量。測(cè)量值的取值可能是連續(xù)的，也可能是離散的,1）測(cè)量值為離散值時(shí)的數(shù)學(xué)期望和方差 假設(shè)測(cè)量值X的可能取值個(gè)數(shù)為m，對(duì)其進(jìn)行n次測(cè)量，測(cè)量值X的數(shù)學(xué)期望表示為,當(dāng)n時(shí)，可以用第k個(gè)取值發(fā)生的頻率nk/n來(lái)代替第k個(gè)取值發(fā)生的概率pk（k1m）。則測(cè)量值X的數(shù)學(xué)期望表示為,以1/n

7、取代nk/n，上式可寫成,測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望反映了測(cè)量值的平均情況，并不能體現(xiàn)測(cè)量值的離散程度。測(cè)量值的離散程度通常用測(cè)量值的方差D（X）來(lái)表示,方差的物理意義 標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)差、均方差）：方差的算術(shù)平方根,2）測(cè)量值為連續(xù)值時(shí)的數(shù)學(xué)期望和方差 測(cè)量值在其取值區(qū)間內(nèi)連續(xù)的時(shí)候，取值有無(wú)窮多個(gè)，某一個(gè)取值出現(xiàn)的可能性（概率）趨于0，此時(shí)只能用概率密度的概念來(lái)對(duì)測(cè)量值進(jìn)行分析。 概率密度表達(dá)式,測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望為,測(cè)量值的方差為,3、用有限次測(cè)量值估計(jì)數(shù)學(xué)期望和方差 總體的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差 單次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差 實(shí)際測(cè)量是有限次測(cè)量，只能根據(jù)n次測(cè)量結(jié)果對(duì)測(cè)量值數(shù)學(xué)期望和方差進(jìn)行估計(jì)。 隨

8、機(jī)樣本（樣本） （1）有限次測(cè)量值平均值的性質(zhì) 有限次測(cè)量平均值的數(shù)學(xué)期望與測(cè)量值數(shù)學(xué)期望的關(guān)系 有限次測(cè)量平均值的方差與測(cè)量值方差的關(guān)系,2）數(shù)學(xué)期望和方差的估計(jì) 判斷估計(jì)合理的兩個(gè)原則： 估計(jì)的一致性原則和無(wú)偏性原則 A、一致性原則 假設(shè) 為 的估計(jì)值，當(dāng)樣本容量n無(wú)限增大時(shí)，估計(jì)值 依概率收斂于 ，則稱 為 的一致估計(jì)值,B、無(wú)偏性原則 如果 的數(shù)學(xué)期望等于 ，則 可以作為 的無(wú)偏估計(jì)值,數(shù)學(xué)期望的估計(jì)： 用n次測(cè)量的平均值作為M（X）的估計(jì)值。 方差的估計(jì)： 貝塞爾公式,殘差（剩余誤差）：n次測(cè)量中第k次測(cè)量值與平均值之差,三）處理系統(tǒng)誤差的一般方法 對(duì)系統(tǒng)誤差，沒有通用的處理方法，通

9、常針對(duì)具體的測(cè)量條件采用一定的技術(shù)措施盡量減小系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。 1、系統(tǒng)誤差的判別 系統(tǒng)誤差可分為恒值系差和變值系差 （1）理論分析法,二）用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法剔除異常數(shù)據(jù),2）剩余誤差觀察法 測(cè)量中，固定其他測(cè)量條件不變，使某一條件有規(guī)律變化，記錄測(cè)量值，計(jì)算剩余誤差,觀察剩余誤差的變化規(guī)律，從而了解系統(tǒng)誤差隨該條件的變化規(guī)律。WHY？ 假設(shè)該測(cè)量中，系統(tǒng)誤差由變化部分和恒定部分組成，則測(cè)量值可以寫成,隨機(jī)誤差較大時(shí)，剩余誤差中隨機(jī)誤差起主導(dǎo)作用，觀察剩余誤差的變化規(guī)律就很難發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律,3）公式判斷法 馬利科夫判據(jù) 常用來(lái)判別累進(jìn)性系統(tǒng)誤差,阿卑赫梅特判據(jù) 常用來(lái)判別周期性系統(tǒng)

10、誤差,通常M的絕對(duì)值不小于最大的殘差絕對(duì)值時(shí)，則認(rèn)為有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差,2、測(cè)量前盡量消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來(lái)源 3、消除或減弱系統(tǒng)誤差的典型測(cè)量技術(shù) （1）零示法,圖中檢流計(jì)G示數(shù)為0時(shí),2）代替法（置換法） 舉例：電橋中代替法測(cè)位置電阻 （3）交換法（對(duì)照法） 舉例：電橋測(cè)電阻時(shí)將被測(cè)電阻放在不同臂端測(cè)量并取平均值 （4）微差法 零示法要求標(biāo)準(zhǔn)量與被測(cè)量完全相等，若標(biāo)準(zhǔn)量不能連續(xù)可變，可用微差法進(jìn)行測(cè)量。 設(shè)被測(cè)量為x，和它相近的標(biāo)準(zhǔn)量為B，被測(cè)量x與標(biāo)準(zhǔn)量B之間的微差為A，A的數(shù)值可以由指示儀表測(cè)量，相對(duì)誤差為A/A。試分析x的相對(duì)誤差,微差法測(cè)未知電壓Vx： 用電壓表V測(cè)量被測(cè)電壓Vx與標(biāo)準(zhǔn)

11、電壓V之間的微差。設(shè)標(biāo)準(zhǔn)電壓的相對(duì)誤差不大于萬(wàn)分之五，電壓表的相對(duì)誤差不大于百分之一，相對(duì)微差為五十分之一。求被測(cè)電壓的相對(duì)誤差為多少,第二節(jié) 測(cè)量不確定度及測(cè)量結(jié)果的表征 一、測(cè)量不確定度及其分類評(píng)定 測(cè)量不確定度實(shí)際上是指測(cè)量結(jié)果的可信程度。 二、測(cè)量結(jié)果的置信問題及擴(kuò)展不確定度 三、測(cè)量誤差和不確定度的合成 1、測(cè)量誤差的合成 （1）誤差傳遞公式 誤差的合成是研究如何根據(jù)分項(xiàng)誤差求總誤差的問題。分項(xiàng)與總合之間是各種各樣的函數(shù)關(guān)系,常見函數(shù)的合成誤差 和差函數(shù) 積函數(shù) 商函數(shù) 冪函數(shù),和差函數(shù),積函數(shù),商函數(shù),冪函數(shù),2）系統(tǒng)誤差的合成 （3）隨機(jī)誤差的合成 2、測(cè)量不確定度的合成 四、測(cè)

12、量結(jié)果報(bào)告 五、測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度及相關(guān)術(shù)語(yǔ)的演變,例：測(cè)量電阻R消耗的功率P時(shí)，可間接測(cè)量電阻值R、電阻兩端的電壓U、通過電阻的電流I，然后通過不同的計(jì)算方案得到P。假設(shè)對(duì)R、U、I測(cè)量的相對(duì)誤差分別為： 試分析哪一種計(jì)算方案的誤差最小,第三節(jié) 加權(quán)平均與回歸分析 一、非等權(quán)測(cè)量和加權(quán)平均 測(cè)量結(jié)果的分散性主要取決于測(cè)量條件。即相同條件下的每組測(cè)量具有相同的標(biāo)準(zhǔn)偏差，測(cè)量條件改變，測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差也會(huì)不同。 一個(gè)特例：在測(cè)量條件不變時(shí)，對(duì)被測(cè)量進(jìn)行幾組測(cè)量并用幾組測(cè)量結(jié)果的平均值作為最終測(cè)量結(jié)果，但這幾組測(cè)量的測(cè)量次數(shù)不同。 例如：在環(huán)境和條件不變的情況下，測(cè)量某電壓值。進(jìn)行了兩組測(cè)量，第一組測(cè)量100次，第二組測(cè)量10次，這110次測(cè)量具有相同的標(biāo)準(zhǔn)偏差。但對(duì)于這兩組測(cè)量結(jié)果的平均值，標(biāo)準(zhǔn)