數(shù)學模型之慢跑者與狗

1、慢跑者與狗 1.問題的提出一個慢跑者在平面上沿橢圓以恒定的速率v=1跑步,設(shè)橢圓方程為:x=10+20cost, y=20+5sint.突然有一只狗攻擊他. 這只狗從原點出發(fā),以恒定速率w跑向慢跑者,狗的運動方向始終指向慢跑者.分別求出w=20,w=5時狗的運動軌跡.2. 模型建立設(shè)時刻t慢跑者的坐標為(X(t)，Y(t)，狗的坐標為(x(t)，y(t).則X=10+20cost, Y=20+15sint, 狗從(0,0)出發(fā)，建立狗的運動軌跡的參數(shù)方程:3. 模型求解3.13.1.1w=20時,建立m-文件eq3.m如下:function dy=eq3(t,y)dy=zeros(2,1);d

2、y(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);3.1.2再取t0=0,tf=10,輸入如下命令： t,y=ode45(eq3,0,10,0;0);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,-)plot(y(:,1),y(:,2),r*)相應(yīng)圖形如下圖一所示：圖1. w=20時小狗與慢跑者的運動

3、軌跡3.1.3在3.1.2所示命令中不斷修改tf的值，二分法分別取tf=5,2.5,3.75,至3.15時，狗剛好追上慢跑者。此時的圖像為：圖2. w=20時小狗剛好追上慢跑者的運動軌跡附：相應(yīng)程序段如下：t,y=ode45(eq3,0,3.15,0;0);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,r*)plot(X,Y,b*,y(:,1),y(:,2),r*)3.23.2.1w=5時,建立m-文件eq4.m如下:function dy=eq4(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)

4、/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);3.2.2再取t0=0,tf=10,輸入如下命令：t,y=ode45(eq4,0,10,0;0);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,b+,y(:,1),y(:,2),r*)相應(yīng)圖形如下圖三所示：圖3. w=5時小狗與慢跑者的運動軌跡3.2.3 在3.2.2所示命令中不斷修改tf的值，二分法分別取tf=20,40,80, 可以看出狗永遠追不上上慢跑者。此時的圖像為：注：+橢圓為慢跑者的軌跡，*線為狗的軌跡，隨時間增加，狗沿著一個小橢圓奔跑，永遠追不上人。圖4. w=5時小狗永遠追不上慢跑者的運動軌跡附：相應(yīng)程序段如下：t,y=ode45(eq4,0,800,0;0);T=