偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義實驗?zāi)康模和ㄟ^實驗加深學(xué)生對偏導(dǎo)數(shù)定義的理解掌握偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義并從直觀上理解二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件背景知識： 一 偏導(dǎo)數(shù)的定義在研究一元函數(shù)時.我們從研究函數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)概念.對于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率.但多元函數(shù)的變化量不只一個,因變量與自變量的關(guān)系要比一元函數(shù)復(fù)雜的多.所以我們首先考慮多元函數(shù)關(guān)于其中一個自變量的變化率,以二元函數(shù) = 為例,如果只有自變量 變化,而自變量y固定(即看作常量),這時它就是 的一元函數(shù),這函數(shù)對x的導(dǎo)數(shù),就稱為二元函數(shù)z對于 的偏導(dǎo)數(shù),即有如下定義定義 設(shè)函數(shù)z= 在點 的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)y固定在 ,而 在 處有增量 時,

2、相應(yīng)的函數(shù)有增量- ,如果 (1)存在,則稱此極限為函數(shù) = 在點 處對 的偏導(dǎo)數(shù),記做, , ,或 例如,極限(1)可以表為= 類似的,函數(shù)z= 在點 處對 的偏導(dǎo)數(shù)定義為記做 , , 或 如果函數(shù) = 在區(qū)域D內(nèi)每一點( )處對 的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是 的函數(shù),它就稱為函數(shù) = 對自變量 的偏導(dǎo)函數(shù),記做, , ,或 類似的,可以定義函數(shù) = 對自變量 的偏導(dǎo)函數(shù),記做, , ,或 由偏導(dǎo)數(shù)的概念可知, 在點 處對 的偏導(dǎo)數(shù) 顯然就是偏導(dǎo)函數(shù) 在點 處的函數(shù)值,就像一元函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一樣,以后在不至于混淆的地方也把偏導(dǎo)函數(shù)簡稱為偏導(dǎo)數(shù).至于求 = 的偏導(dǎo)數(shù),并不需要用新的方法,因

3、為這里只有一個自變量在變動,另外一個自變量看作是固定的,所以仍舊是一元函數(shù)的微分法問題,求 時,只要把 暫時看作常量而對 求導(dǎo);求 時,則只要把 暫時看作是常量,而對 求導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)的概念還可以推廣導(dǎo)二元以上的函數(shù),例如三元函數(shù) 在點( )處對 的偏導(dǎo)數(shù)定義為= 其中( )是函數(shù) 的定義域的內(nèi)點,它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題例 求 的偏導(dǎo)數(shù)解 = , = 二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù) = 在點 的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè) 為曲面 = 上的一點,過 點作平面 ,截此曲面得一曲線,此曲線在平面 上的方程為 = ,則導(dǎo)數(shù) ,即偏導(dǎo)數(shù) ,就是這曲線在 點處的切線 對 軸的斜率.同樣,偏導(dǎo)數(shù) 的幾何

4、意義是曲面被平面 所截得的曲線在點 處的切線 對 的斜率三 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義我們知道,如果一元函數(shù)在某點具有導(dǎo)數(shù),則它在該點必定連續(xù),但對于多元函數(shù)來說,即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點都存在,也不能保證函數(shù)在該點連續(xù).這是因為各偏導(dǎo)數(shù)存在只能保證點P沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于P 時,函數(shù)值 趨于 ,但不能保證點P按任何方式趨于 P 時,函數(shù)值 都趨于 .例如,函數(shù) = = 在點(0,0)對 的偏導(dǎo)數(shù)為 同樣有 但是我們在前面的學(xué)習(xí)中知道這函數(shù)在點(0,0)并不連續(xù)四 二階混合偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù) = 在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)= , = 那么在D內(nèi) , 都是 的函數(shù).如果這里兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在,則它們是函數(shù) = 的二階偏導(dǎo)數(shù),按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù):, , 其中第二 ,第三個偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)例2 設(shè) ,求 , , , , 從例子中,我們看到兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等,即, = 我們再看用maple作求的圖形第一個圖形為 第二個圖形為 從圖中我們看到兩個連續(xù)的偏導(dǎo)函數(shù)，它們是相等的這不是偶然的,事實上我們有下述定理定理 如果函數(shù) = 的兩