常微分方程43高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法PPT

1、11.02.2021,1,4.3高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法,11.02.2021,2,一、可降階的一些方程類型,n階微分方程的一般形式,1 不顯含未知函數(shù)x,或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到k-1(k1)階導(dǎo)數(shù)的方程是,若能求得(4.58)的通解,對上式經(jīng)過k次積分,即可得(4.57)的通解,即,11.02.2021,3,解題步驟,第一步,第二步,求以上方程的通解,即,第三步,對上式求k次積分,即得原方程的通解,11.02.2021,4,解,令,則方程化為,這是一階方程,其通解為,即有,對上式積分4次, 得原方程的通解為,例1,11.02.2021,5,2 不顯含自變量t的方程,一般形式,因

2、為,11.02.2021,6,用數(shù)學(xué)歸納法易得,將這些表達(dá)式代入(4.59)可得,即有新方程,它比原方程降低一階,11.02.2021,7,解題步驟,第一步,第二步,求以上方程的通解,第三步,解方程,即得原方程的通解,11.02.2021,8,解,令,則方程化為,從而可得,及,這兩方程的全部解是,例2,再代回原來變量得到,所以得原方程的通解為,11.02.2021,9,3 已知齊線性方程的非零特解,進(jìn)行降階,的非零解,令,則,代入(4.69)得,即,11.02.2021,10,引入新的未知函數(shù),方程變?yōu)?是一階線性方程,解之得,因而,則,11.02.2021,11,因此 (4.69)的通解為,

3、11.02.2021,12,解題步驟,第一步,第二步,解之得,即,11.02.2021,13,第三步,第四步,4.69)的通解為,注,一般求(4.69)的解直接用公式(4.70,11.02.2021,14,解,這里,由(4.70)得,例3,11.02.2021,15,11.02.2021,16,代入(4.2)得,11.02.2021,17,事實(shí)上,11.02.2021,18,若,則,即,因此,對(4.67)仿以上做法,11.02.2021,19,11.02.2021,20,二、二階線性方程的冪級數(shù)解法,對二階變系數(shù)齊線性方程,其求解問題,歸結(jié)為尋求它的一個(gè)非零解,下面考慮該方程及初始條件,用級

4、數(shù)表示解,11.02.2021,21,定理10,11.02.2021,22,定理11,11.02.2021,23,例4,解,設(shè)級數(shù),為方程的解,由初始條件得,因而,將它代入方程,合并同類項(xiàng),并令各項(xiàng)系數(shù)等于零,得,11.02.2021,24,即,因而,也即,11.02.2021,25,故方程的解為,11.02.2021,26,例5,解,將方程改寫為,易見,它滿足定理11條件,且,11.02.2021,27,將(4.75)代入(4.74)中,得,11.02.2021,28,由(4.76)得,即,11.02.2021,29,從而可得,11.02.2021,30,因此(4.77)變?yōu)?11.02.2021,31,若取,則可得(4.74)的另一個(gè)特解,由達(dá)朗貝爾判別法,對任x值(4.77),(4.78)收斂,11.02.2021,32,因而(4.74)的通解為,因此,不能象上面一樣求得通解,因此,(4.74)的通解為,11.02.2021,33,例6,解,代入