直線與圓知識點總結(jié)

1、直線和圓知識點總結(jié)1、 直線的傾斜角：（1 ）定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線I , 如果把x軸繞著交點按 逆時針方向轉(zhuǎn) 到和直線I重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫 做直線的傾斜角。當(dāng)直線|與X軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0；（2）傾斜角的范圍10,二。5如（1）直線XCOS日十J3y _2 = 0的傾斜角的范圍是 （答：0，丄U，兀）；（2）6 6過點P（73,1）,Q（0,m）的直線的傾斜角的范圍a H,，那么m值的范圍是33（答：m2或m _4）2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k，即k = tan （ :豐90 ）;

2、傾斜角為90的直線沒有斜率；（2）斜率公式：經(jīng)過兩點P（X1,yJ、P2（X2,y2）的直線的斜率為k=X（X1X2 ）； （3）.直線的方向向量.X1）提醒:（1）直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）； （2）直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為-1或直線過原點。 如過點A（1,4），且縱橫截距的絕對值相等的直線共有條（答：3）4. 設(shè)直線方程的一些常用技巧：（1）知直線縱截距b，常設(shè)其方程為y二kx b ； （2）知

3、直線橫截距X。，常設(shè)其方程為x二my x（它不適用于斜率為 0的直線）；（3）知直線過 點（x,y），當(dāng)斜率k存在時，常設(shè)其方程為 y =k（x-X。） y，當(dāng)斜率k不存在時，則其 方程為x =X0 ； （4）與直線I : Ax By 0平行的直線可表示為 Ax By C0 ； （ 5） 與直線I : Ax By C = 0垂直的直線可表示為 Bx - Ay G =0 .提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。5、 點到直線的距離及兩平行直線間的距離：.Axo + By。+ C（1） 點 P（xo,yo）到直線 Ax +By +C =0 的距離 d =*；Ja

4、2 + b2一|G-C2|（2） 兩平行線 h : Ax By C0,l2 : Ax By C0 間的距離為 d -。Ja2 + b26、直線h ：Ax B G =0與直線12: Ax - B2y C0的位置關(guān)系：（1）平行二 AB?ABi =0 （斜率）且BQ? -B2G = 0 （在y軸上截距）；（2）相交=A,B2 -入日=0 ；（3）重合二 A,B2-ABi=0且 B,CB2C0。提醒:（1） 二邑 、魚=邑、二旦僅是兩直線平行、相交、重A B2 C2 A2 B2 A2 B2 C2合的充分不必要條件！為什么？ （ 2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立

5、體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線11 : Ax By C = 0 與直線 l2 : A2x B2y C2 = 0垂直= AA2 呂 B2 = 0。如（1）設(shè) 直線 h : x + my +6 =0和 12: （m 2）x + 3y +2m = 0 ,當(dāng) m =時 11 / 12 ；當(dāng) m =時h _ 12 ；當(dāng)m時11與12相交；當(dāng)m =時11與12重合（答：一11;丄；m3且mH1 ； 3）； （2）已知直線I的方程為3x+4y12 = 0 ,則與l平行，且2過點（一1, 3）的直線方程是 （答：3x+4y_9 = 0 ）； （3）兩條直線ax+y_4 = 0與x-y

6、2=0相交于第一象限，則實數(shù) a的取值范圍是 （答：-1vac2）; （4）設(shè)a,b, c分別是 ABC中/ A、/ B、/ C所對邊的邊長，則直線 sin Ax ay 0與 bx -s in BUy si nC =0的位置關(guān)系是 （答：垂直）；（5）已知點 只（為）是直線l: f（x, y）=0上一點,P2（X2,y2）是直線 l 外一點，則方程 f（x, y） f（X1,yJ fg y?）= 0所表示的直線與|的關(guān)系是 （答：平行）；（6）直線I過點（1,0），且被兩平行直線3x y -6 =0和3x y *3=0所截得的線段長為 9，則直線|的方程是 （答：4x 3y -4 二 0和x

7、二 1 ）7、 到角和夾角公式：（1） |1到I2的角是指直線I1繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線I2重 合所轉(zhuǎn)的角二， 0,二且tan 匹 邑什水2=-1） ； （ 2） h與I2的夾角是指不大于直1 + k1k2k k角的角 二才（0,且tan二=丨一-I （ k1k -1）。提醒：解析幾何中角的問題常用21 +k1k21 2到角公式或向量知識求解。如已知點M是直線2x - y - 4 = 0與x軸的交點，把直線I繞點M逆時針方向旋轉(zhuǎn)45，得到的直線方程是 （答：3x，y-6=0）8、 對稱（中心對稱和軸對稱） 問題一一代入法：如（1）已知點M（a,b）與點N關(guān)于x 軸對稱，點P與點N關(guān)于y

8、軸對稱，點Q與點P關(guān)于直線x y=0對稱，則點Q的坐標為 （答：（b,a） ）； （2）已知直線I1與I2的夾角平分線為y = x，若I1的方程為ax+by+c =0（ab 0），那么 I2 的方程是 （答：bx + ay + c = 0） ； （3）點人（4， 5）關(guān)于直線I的對稱點為E （ 2,7），則I的方程是（答：y=3x+ 3） ； （4）已知一束光線通過點A （3，5），經(jīng)直線I :3x 4y+4=0反射。如果反射光線通過點E （2， 15），則反射光線所在直線的方程是 （答：18x + y-51=0 ）； （5）已知 ABC頂點A（3，1 ），AB邊上的中線所在直線的方程為 6x

9、+10y 59=0，/ B的平分線所在的方程為x 4y+10=0,求EC邊所在的直線方程(答：2x+9y65 = 0 ); (6)直線2xy 4=0上有一點P,它與兩定點A (4, 1 )、B ( 3,4 )的距離之差最大，則P的坐標是 (答：(5,6 )； (7)已知 Ax 軸，Bwl:y=x ,C( 2, 1)，L ABC 周長的最小值為 _ (答: 0)。提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。9、簡單的線性規(guī)劃：(1) 二元一次不等式表示的平面區(qū)域：法一：先把二元一次不等式改寫成 y . kx b 或y ： kx b的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)

10、域；法二：用特殊點判斷；無等號時用虛線表示不包含直線I，有等號時用實線表示包含直線I ；設(shè)點PdyJ ,Q(x2,y2)，若Ax-!By!C與 Ax2By2C 同號，則P,Q在直線 l 的同側(cè)，異號則在直線I的異側(cè)。如已知點A ( 2, 4), B (4, 2),且直線l：y = kx 2與線段AB 恒相交，則k的取值范圍是 (答：(一叱，一3】U H ,+珀)(2) 線性規(guī)劃問題中的有關(guān)概念： 滿足關(guān)于x, y的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。 關(guān)于變量x, y的解析式叫目標函數(shù)，關(guān)于變量x,y一次式的目標函數(shù)叫線性目標函數(shù)； 求目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為

11、線性規(guī)劃問題； 滿足線性約束條件的解(x, y )叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域； 使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解；(3) 求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么？根據(jù)實際問題的約束條件列出不等式；作出可行域，寫出目標函數(shù)；確定目標函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。如(1)線性目標函數(shù)z=2x y在線性約束條件下，取最小值的最優(yōu)解是 (答: ( 1, 1);( 2)y 1一 2點(2， t)在直線2x 3y+6=0的上方，則t的取值范圍是 (答：t ) ； ( 3)3不等式|x-1|+|y-1匡2表示的平面區(qū)域的面積是 (答：8)； (4)如果實數(shù)x,yx-y +2 蘭0滿足

12、fx + y4K0，則 z=|x+2y4|的最大值 (答：21)2x _y _5 蘭0(4) 在求解線性規(guī)劃問題時要注意：將目標函數(shù)改成斜截式方程；尋找最優(yōu)解時 注意作圖規(guī)范。10、圓的方程：22o圓的標準方程：(x a) +(yb) =r。圓的一般方程：x2 y2 Dx Ey F =0(D2+ E24F 0)，特別提醒：只有當(dāng)2222DED + E 4F 0時，方程x y Dx Ey F =0才表示圓心為(，)，半徑為2 21 . D2 E2 -4F的圓(二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey0表示圓的充要2條件是什么？( A=C=0,且 B=0 且 D2，E2-4AF 0 )；圓

13、的參數(shù)方程：x=a rcosr (二為參數(shù))，其中圓心為(a,b)，半徑為r。圓的參 y = b + r si n 廿數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：x2 y2 =r2 x = rcosy = rsin71 ； x2，y2 _tx = r cos 二 y = r sin (0 空 r - -1)。A x1,y1 ,B x?, y2為直徑端點的圓方程 x-% x-XzUy-% y-y2 = 0 如(1)圓C與圓(x1)2+y2=1關(guān)于直線y = x對稱，則圓C的方程為(答：x? +(y+1)2 =1)； (2)圓心在直線2x y=3上，且與兩坐標軸均相切的圓的標準方程是 (答：(x-3)2(y 一3

14、)2=9或(x -1)2(yT)2=1)；(3)已知P(1,、3)是 圓x=rcos?(日為參數(shù)，o弐c2兀)上的點，則圓的普通方程為 ，P點對應(yīng)的y 二 r sin 二日值為,過P點的圓的切線方程是 (答：x2 + y2=4 ；;3X J3y+4=O)； (4)如果直線I將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么 I的斜率的取值范圍是 (答：O , 2 ); (5)方程x2+y2 -x+y+k=O表示一個圓，則實數(shù) k的取值范圍為 (答：kc* )； (6)若M =(x,y) 二3Sn (日為參數(shù)，。蘭日丈兀),N (x, y)| y = x bl,若 M N，則 b 的取值

15、范圍是 (答: -3, 2 )2 211、點與圓的位置關(guān)系：已知點M xo,yo及圓C: x-a 亠y-b r2 r O , (1)222點 M在圓 C外u CM r = (xo a ) +(yo b ) r ； (2)點 M在圓 C內(nèi)u2 2 2 2CM r = (x()-a ) +(yo _b ) r ； (3)點 M在圓 C上二 CM = r = (x -a)+(yo _b $ =r2。如點P(5a+1,12a)在圓(x -1 ) 2 + y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是 1(答:I a H -1312、 直線與圓的位置關(guān)系：直線I: Ax+By+C =0和圓C:(x a) +(y b)

16、 = r2r 0有相交、相離、相切。可從代數(shù)和幾何兩個方面來判斷：(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：.0=相交； ：0二 相離；總=0二 相切；(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則d : r 相交；d r 相離；d = r 相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾, 122JT何方法較簡捷。女(1)圓 2x 2y =1 與直線 xsiny-1=0( R, ； k二，k ：二 z)的位置關(guān)系為 (答：相離)；(2)若直線ax+by3 = 0與圓x2 + y2 + 4x 1 = 0切于點 P(-1,2),則 ab 的值(答: 2

17、)； (3)直線 x 20 被曲線 x2 y2 -6x-2y -15=0所截得的弦長等于 (答: 4弱)；(4) 一束光線從點 A( - 1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2) 2+(y-3) 2=1 上的最短路程是 (答：4) ； ( 5)已知 M(a, b)(ab= 0)是圓2 2 2 2O : x y = r內(nèi)一點，現(xiàn)有以M為中點的弦所在直線m和直線I : ax by二r，則A. m/l，且I與圓相交 B . I丄m，且I與圓相交C. m/l，且I與圓相離2 2D. I 丄 m，且 I 與圓相離(答：C) ( 6)已知圓 C： x +( y -1) =5 ,直線 L: mxy + 1m

18、 = 0。 求證：對 mR，直線L與圓C總有兩個不同的交點；設(shè) L與圓C交于A、B兩點，若 AB = J17，求L的傾斜角；求直線L中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程 .(答： 60或120最長：y=1，最短：x=1)13、 圓與圓的位置關(guān)系(用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷)：已知兩圓的圓心分別為。1,。2，半徑分別為1,2，則(1 )當(dāng)0。2卜r尹r時，兩圓外離；(2)當(dāng)OO 2 It r r 時，兩圓外切；(3)當(dāng)r1 -r2 |O1O2 : r 2時，兩圓相交；(4)當(dāng)|OQ2二H -2|時，兩2 2圓內(nèi)切；(5)當(dāng)0糾O1O2 / A - D |時，兩圓內(nèi)含。如雙曲線 牛?？傻淖蠼裹c為F1,a b頂點為A、A2, P是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段PR、A1A2為直徑的兩圓位置關(guān)系為(答：內(nèi)切)4、圓的切線與弦長： 切線：過圓x2 y R2上一點P(x,y)圓的切線方程 是：xxo yy。二R2，過圓(xa)2 (y -b)2 =R2 上一點