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文檔簡介
1、幾何探究題1 題( 1)如圖 1,圖 2,圖 3,在 ABC 中,分別以AB,AC 為邊,向 ABC 外作正三角形,正四邊形,正五邊形,BE,CD 相交于點 O 如圖 1,求證: ABE ADC ;探究:如圖1,BOC;如圖 2,BOC;如圖 3,BOC( 2)如圖 4,已知: AB,AD 是以 AB 為邊向 ABC 外所作正 n 邊形的一組鄰 邊 ; A C, A E是 以 AC 為 邊 向 ABC 外 所 作 正 n 邊 形 的 一 組 鄰邊 BE,CD 的延長相交于點 O 猜想:如圖4,BOC(用含 n 的式子表示 );根據(jù)圖 4 證明你的猜想2 題 .請閱讀下列材料:問題:如圖 1,在
2、菱形 ABCD 和菱形BEFG中,點 A,B,E 在同一條直線上, P 是線段 a(a b )(ab)的中點,連結(jié) PG,PC 若 ABCBEF60 ,探究 PG 與 PC 的位置關系及PG 的值PC小聰同學的思路是:延長GP 交 DC 于點 H ,構造全等三角形,經(jīng)過推理使問題得到解決DCDC問題:( 1)寫出上面問題中線段PG 的值;PG 與 PC 的位置關系及PFPPCG( 2)將圖 1 中的菱形BEFG繞點BEFGBF恰好與菱形ABCD的邊順時針旋轉(zhuǎn),使菱形的對角線G BFAEAB2)你在( 1)中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變AB 在同一條直線上,原問題中的其他條件不變(如圖BE化?寫出你
3、的猜想并加以證明 圖 1圖 2( 3)若圖 1 中 ABCBEF2(090 ) ,將菱形 BEFG 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn)任意角度,原問題中的其他條件不變,請你直接寫出PG 的值(用含的式子表示)PC3 題。如圖,等腰梯形ABCD 中, AB=4,CD =9, C=60 ,動點 P 從點 C 出發(fā)沿 CD 方向向點 D 運動,動點 Q同時以相同速度從點D 出發(fā)沿 DA 方向向終點 A 運動,其中一個動點到達端點時,另一個動點也隨之停止運動 .( 1)求 AD 的長;( 2)設 CP=x,問當 x 為何值時 PDQ的面積達到最大,并求出最大值;( 3)探究:在BC 邊上是否存在點M 使得四邊形PD
4、QM 是菱形?若存在,請找出點M ,并求出 BM的長;不存在,請說明理由.4 題已知矩形ABCD和點P,當點P 在 BC 上任一位置(如圖(1)所示)時,易證得結(jié)論:PA2PC 2PB2PD 2 , 請 你 探 究 : 當 點P分 別 在 圖 ( 2 )、 圖 ( 3 ) 中 的 位 置 時 ,(第 25 題圖)PA2、PB 2、PC 2和 PD 2 又有怎樣的數(shù)量關系?請你寫出對上述兩種情況的探究結(jié)論,并利用圖(2)第 1頁(備用圖)證明你的結(jié)論答:對圖( 2)的探究結(jié)論為對圖( 3)的探究結(jié)論為證明:如圖( 2)_ _ 5 題如圖,以矩形OABC 的頂點 O 為原點, OA 所在的直線為x
5、 軸, OC 所在的直線為y 軸,建立平面直角坐標系 已知 OA3,OC 2,點 E 是 AB 的中點, 在 OA 上取一點 D,將 BDA 沿 BD 翻折,使點 A 落在 BC 邊上的點 F 處( 1)直接寫出點 E、F 的坐標;( 2)設頂點為 F 的拋物線交 y 軸正半軸 于點 P,且以點 E、F、P 為頂點的三角形是等腰三角形,求該拋物線的解析式;( 3)在 x 軸、 y 軸上是否分別存在點M、N,使得四邊形 MNFE 的周長最?。咳绻嬖?,求出周長的最小值;如果不存在,請說明理由6 題如圖1,四邊形 ABCD 是正方形, G 是 CD 邊上的一個動點 (點 G 與C、D 不重合 ),
6、以 CG 為一邊在正方形ABCD 外作正方形CEFG ,(第 22 題)連結(jié) BG,DE我們探究下列圖中線段BG、線段 DE 的長度關系及所在直線的位置關系:(1)猜想如圖 1 中線段 BG、線段 DE 的長度關系及所在直線的位置關系;將圖 1 中的正方形 CEFG 繞著點 C 按順時針 (或逆時針 )方向旋轉(zhuǎn)任意角度,得到如圖 2、如圖 3 情形請你通過觀察、測量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立, 并選取圖 2證明你的判斷( 2)將原題中正方形改為矩形(如圖4 6),且 AB=a ,BC=b ,CE=ka , CG=kb (a b,k0) ,第 (1)題中得到的結(jié)論哪些成立,哪些不成立?若
7、成立,以圖5 為例簡要說明理由( 3)在第 (2)題圖 5 中,連結(jié) DG 、 BE ,且 a=3,b=2, k= 1 ,求 BE 2DG 2 的值27 題正方形 ABCD中,點 O是對角線 AC的中點, P 是對角線 AC上一動點,過點 P 作 PF CD于點 F。如圖 1,當點 P 與點 O重合時,顯然有DF CF如圖 2,若點 P 在線段 AO上(不與點 A、O重合), PE PB且 PE交 CD于點 E。求證: DF EF;寫出線段 PC、 PA、 CE之間的一個等量關系,并證明你的結(jié)論;若點 P 在線段 OC上(不與點 O、 C重合), PE PB且 PE交直線 CD于點 E。請完成
8、圖3 并判斷中的結(jié)論、是否分別成立?若不成立,寫出相應的結(jié)論(所寫結(jié)論均不必證明)ADAPDADO(0,0) ,A(6,0) , C (0,3) 動點 Q 從點 O 出發(fā)8 題將一矩形紙片 OABC 放在平面直角坐標系中,P(O)FFOEOOCCPPAO以每秒 1 個單位長的速度沿向終點運動,運動2 秒時,動點從點A出發(fā)以相等的速度沿BCB3BCOCP向終點圖 1的運動時間為 t (秒)運動當其中一點到達終點時,另一點也停止運動設點圖 2圖 3( 1)用含 t 的代數(shù)式表示 OP, OQ ;( 2)當 t 1時,如圖 1,將 OPQ 沿 PQ 翻折,點 O 恰好落在 CB 邊上的點 D 處,求
9、點 D 的坐標;( 3)連結(jié) AC ,將 OPQ 沿 PQ 翻折,得到 EPQ ,如圖 2問:PQ 與 AC 能否平行? PE 與 AC能否垂直?若能,求出相應的t 值;若不能,說明理由yyB 第 2 C 頁DBCEQQ9 題( 1)探究新知: 如圖 1,已知 ABC 與 ABD 的面積相等,CD試判斷AB 與 CD 的位置關系,并說明理由(2)結(jié)論應用 : 如圖 2,點 M,N 在反比例函數(shù) yk ( k0)的圖象上,x過點 M 作 ME y 軸,過點 N 作 NF x 軸,垂足分別為E,F(xiàn) 試yAMB圖1證明: MN EF 若中的其他條件不變,只改變點M,N 的位置如圖 3Ox所示,請判斷
10、MN 與 EF 是否平行DyN1 題。(1) 證法一: ABD 與 ACE 均為等邊三角形,ME圖 3ADAB , ACAE 且BADCAE60BADBACCAENNDACBAEBAC ,即證法二: ABD與 ACE 均為等邊三角形,OFxADAB , ACAE 且BADCAE60圖 2得到 ABE ADC ADC 可由 ABE 繞著點 A 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 60 120 , 90 , 72 ( 2) 360 n 證法一: 依題意,知BAD 和CAE 都是正 n 邊形的內(nèi)角,ABAD , AEAC ,BADDAECAEDAE ,即BAEDAC 11 分 ABE ADC 12 分ABEADC ,
11、ADCODA180 ,ABOODA 180 13 分BOC180DAB180(n 2)180 360n14 分n證法二: 同上可證 A B E A D C 12 分ABEADC ,如圖,延長BA 交 CO 于 F ,AFDADCDAF18013 分BOCDAF18036014 分BADn證法三: 同上可證 A B E A D C 12 分BOC180(360BACDAC ) 13 分即 BOC180BAD36014 分n證法四: 同上可證 A B E A D C 12 分第 3頁AEBACD 如 , 接CE ,BECBOCOCEBOCAECACE 13 分即BOC180CAE360n14 分2
12、 段 PG 與 PC 的位置關系是 PG PC ;PG3 2 分PC 猜想:( 1)中的 沒有 生 化 明:如 ,延 GP 交 AD 于點 H , CH,CG P 是 段 DF 的中點,由 意可知 AD FG DC四 形 ABCD是菱形,H由ABCBEF 60 ,且菱形的 角 恰好與菱形G在同一BEFGBFABCD的 ABP條直 上,ABF可得GBC60 四 形 BEFG 是菱形,E即HCG120 PG 6 分3PC PGtan(90) 8 分PC3 ( 1)解法一:如 25-1過 A 作 AE CD ,垂足 E .945依 意, DE=22 . 2 分DE55在 RtADE 中, AD= c
13、os6022. 5 分解法二:如 25-2 點 A 作 AE BC 交 CD 于點 E, CE=AB=4 . 2 分 AED= C=60 .又 D= C=60 , AED 是等 三角形. AD=DE=9 4=5 .5 分( 2)解:如 25-1 CP=x, h 為 PD 上的高 ,依 意, PDQ 的面 S 可表示 :1S= 2 PD h6 分1= 2 (9 x) xsin60 圖 25-1圖 25-2第 4頁3=4 (9x x2)39813= 4(x 2 )2 16. 8 分由 意,知x9 分0 5 .9 ( 足 0 x 5),S81310 分當 x=最大值=.216(3) 法一:如 25-
14、3假 存在 足條件的點M, PD 必 等于 DQ . 11 分9于是 9 x=x, x= .2此 ,點 P、Q的位置如 25-3所示, QP . PDQ恰 等 三角形 . 點 Q作 QM DC ,交 BC 于 M,點 M 即 所求 .連結(jié) MP,以下 明四 形 PD QM 是菱形 .易 MCP QDP , D= 3 . MP =PD圖 25-3 MP QD ,四 形 PD QM 是平行四 形 .又 MP=PD ,四 形 PDQM 是菱形 .13 分所以存在 足條件的點M ,且 BM =BC MC=5 9=1. 14 分22注 本 回答存在, 1 分 . 法二:如 25-4假 存在 足條件的點M
15、, PD 必 等于 DQ . 11 分于是 9 x=x, x= 9 .2此 ,點 P、Q的位置如 25-4所示, PD Q恰 等 三角形 . 點 D 作 DO PQ于點 O,延 DO 交 BC 于點 M, PM、 QM, DM 垂直平分PQ, MP=M Q.易知 1= C . PQ BC .又 DO PQ, MC MD1 MP=CD =PD2圖 25-4即 MP=PD =DQ=QM四 形 PDQM 是菱形 13 分所以存在 足條件的點M,且 BM=BC MC=5 9=114 分224 均是PA2 PC2 PB2 PD 2( 2 2 分, 31 分) 明:如 2 點 P 作 MN AD 于點 M
16、,交 BC 于點 N,因 AD BC, MN AD ,所以 MN BC第 5頁在 RtAMP 中, PA2 PM2 MA 2在 RtBNP 中, PB2 PN2 BN2在 RtDMP 中, PD2 DM 2 PM2在 RtCNP 中, PC2 PN2 NC2222222所以 PA PC PM MA PN NC因 MN AD, MN NC, DC BC,所以四 形MNCD 是矩形所以 MD NC,同理 AM BN,所以 PM 2 MA2PN 2 NC2 PM2 DM 2 BN2 PN2即 PA2 PC2 PB2 PD25 解:( 1) E(31), ; F (12),( 2)在 RtEBF 中,
17、B90 , 點 P 的坐 (0, n) ,其中 n0 , 點 F (1,2) , 拋物 解析式 y a( x 1)22(a0) 如 ,當 EF PF , EF 2PF 2 ,解得 n10 (舍去); n24 解得 a2 拋物 的解析式 y 2( x 1)22如 ,當 EP FP , EP2FP 2 ,解得 n5(舍去)2當 EFEP , EP53 , 種情況不存在 上所述,符合條件的拋物 解析式是y2( x 1)22 ( 3)存在點 M , N ,使得四 形MNFE 的周 最小如 ,作點E 關于 x 的 稱點E ,作點 F 關于 y 的 稱點 F , 接 E F ,分 與 x 、 y 交于點
18、M , N , 點 M, N 就是所求點又 EF5 ,F(xiàn)N NMME EF5 5 ,此 四 形 MNFE 的周 最小 是 5 5 6 題 (1) BGDE, BGDE 2 分第 6頁 BGDE , BGDE 仍然成立 1 分在 ( 2)中 明如下四 形 ABCD 、四 形 ABCD 都是正方形BCGDCE 1 分BCGDCE( SAS)1 分又BHCDHOCBGBHC 900 BGDE 1 分( 2) BGDE 成立, BGDE 不成立 2 分 要 明如下四 形 ABCD 、四 形 CEFG 都是矩形,且 ABa , BCb , CGkb , CE ka ( a b , k 0 ) BCGDCE 1 分又BHCDHOCBGBHC900 BGDE1 分( 3) BGDE BE 2DG 2OB 2OE2OG 2OD 2BD2GE 2又 a3 , b12 , k2 BD 2GE 2223212( 3) 2651 分6524 BE 2DG 21 分47 略; PC PA2 CE; 仍成立; 不成立,此 中三條 段的數(shù)量關系是 PA PC2 CE;8 解:( 1) OP6t , OQt23yy
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