2019-2020學(xué)年高中新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)理數(shù)通用版課件：第九章第九節(jié)圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題.ppt[文字可編輯]

1、第九節(jié),圓錐曲線中的最值,范圍、證明問題,本節(jié)主要包括,3,個(gè)知識(shí)點(diǎn),1,圓錐曲線中的最值問題,2,圓錐曲線中的范圍問題,3,圓錐曲線中的幾何證明問題,01,02,03,04,突破點(diǎn),一,圓錐曲線中的最值問題,突破點(diǎn),二,圓錐曲線中的范圍問題,突破點(diǎn),三,圓錐曲線中的幾何證明問題,全國(guó)卷,5,年真題集中演練,明規(guī)律,05,課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè),突破點(diǎn),一,圓錐曲線中的最值問題,01,圓錐曲線中的最值問題是高考中的熱點(diǎn)問題，常,涉及不等式、函數(shù)的值域問題，綜合性比較強(qiáng)，解法,靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何,方法，即利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中,的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代

2、數(shù)方法，即把,要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè),些,參數(shù),的函數(shù),解析式,然后利用函數(shù)方法、不等式方法等,進(jìn)行求解,全析考法,利用幾何性質(zhì)求最值,x,y,例,1,設(shè),P,是橢圓,1,上一點(diǎn),M,N,分別是兩圓,x,25,9,4,y,1,和,x,4,y,1,上的點(diǎn)，則,PM,PN,的最小值,最大值分別為,A,9,12,C,8,12,B,8,11,D,10,12,2,2,2,2,2,2,解析,如圖，由橢圓及圓的方程可,知兩圓圓心分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，由橢,圓定義知,PA,PB,2,a,10,連接,PA,PB,分別與圓相交于兩點(diǎn)，此時(shí),PM,PN,最小，最小值為,PA,PB,2,R,8,連接,

3、PA,PB,并延長(zhǎng)，分別,與圓相交于兩點(diǎn)，此時(shí),PM,PN,最大，最大值為,PA,PB,2,R,12,即最小值和最大值分別為,8,12,答案,C,方法技巧,當(dāng)題目中給出的條件有明顯的幾何特征，考慮用圖,象性質(zhì)來求解，即利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面,幾何中的定理、性質(zhì)等解決，該方法叫做幾何法,建立目標(biāo)函數(shù)求最值,例,2,2017,浙江高考,如圖，已知拋,物線,x,2,1,1,3,9,y,點(diǎn),A,2,4,B,2,4,拋物,1,3,x,2,2,線上的點(diǎn),P,x,y,過點(diǎn),B,作直線,AP,的垂線，垂足為,Q,1,求直線,AP,斜率的取值范圍,2,求,PA,PQ,的最大值,1,2,x,4,1,解,

4、1,設(shè)直線,AP,的斜率為,k,k,x,1,2,x,2,1,3,因?yàn)?x,所以直線,AP,斜率的取值范圍是,1,1,2,2,2,設(shè)直線,AP,的斜率為,k,1,1,則直線,AP,的方程為,y,k,x,2,4,1,1,即,kx,y,k,0,因?yàn)橹本€,BQ,與直線,AB,垂直,2,4,9,3,所以直線,BQ,的方程為,x,ky,k,0,4,2,1,1,kx,y,2,k,4,0,聯(lián)立,9,3,x,ky,k,0,4,2,2,k,4,k,3,解得點(diǎn),Q,的橫坐標(biāo),x,Q,2,2,k,1,因?yàn)?PA,2,1,2,1,k,x,2,1,k,k,1,2,2,k,1,k,1,PQ,1,k,x,Q,x,2,k,1,

5、所以,PA,PQ,k,1,k,1,令,f,k,k,1,k,1,因?yàn)?f,k,4,k,2,k,1,1,1,所以,f,k,在區(qū)間,1,2,上單調(diào)遞增,2,1,上單調(diào)遞減,2,3,3,1,27,因此當(dāng),k,時(shí),PA,PQ,取得最大值,2,16,方法技巧,當(dāng)題目中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可,以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值求函數(shù)最值的常,用方法有配方法、判別式法、單調(diào)性法、三角換元法等,利用基本不等式求最值,x,y,例,3,2018,太原模擬,已知橢圓,M,2,1,a,0,a,3,的一個(gè)焦點(diǎn)為,F,1,0,左、右頂點(diǎn)分別為,A,B,經(jīng)過點(diǎn),F,的直線,l,與橢圓,M,交于,C,D,兩點(diǎn),

6、1,當(dāng)直線,l,的傾斜角為,45,時(shí)，求線段,CD,的長(zhǎng),2,記,ABD,與,ABC,的面積分別為,S,1,和,S,2,求,S,1,S,2,的最大值,2,2,解,1,由題意,c,1,b,3,x,y,所以,a,4,所以橢圓,M,的方程為,1,4,3,2,2,2,2,x,y,1,易求直線方程為,y,x,1,聯(lián)立方程，得,4,3,y,x,1,消去,y,得,7,x,8,x,8,0,8,設(shè),C,x,1,y,1,D,x,2,y,2,288,x,1,x,2,7,8,x,1,x,2,7,所以,CD,2,x,1,x,2,2,24,x,1,x,2,4,x,1,x,2,7,2,2,2,2,2,當(dāng)直線,l,的斜率不存

7、在時(shí)，直線方程為,x,1,此時(shí),ABD,與,ABC,面積相等,S,1,S,2,0,當(dāng)直線,l,的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為,y,k,x,1,k,0,2,2,x,y,1,聯(lián)立方程，得,4,3,y,k,x,1,2,2,2,2,消去,y,得,3,4,k,x,8,k,x,4,k,12,0,2,2,4,k,12,8,k,0,且,x,1,x,2,2,x,1,x,2,2,3,4,k,3,4,k,此時(shí),S,1,S,2,2,y,2,y,1,2,y,2,y,1,2,k,x,2,1,k,x,1,1),12,k,2,k,x,2,x,1,2,k,2,3,4,k,12,12,12,因,為,k,0,上,式,3,3,3,2,1

8、2,4,k,2,4,k,k,k,3,當(dāng)且僅當(dāng),k,2,時(shí)等號(hào)成立,所以,S,1,S,2,的最大值為,3,方法技巧,利用基本不等式求最值的策略,1,求最值問題時(shí)，一定要注意對(duì)特殊情況的討論如,直線斜率不存在的情況，二次三項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)的討,論等,2,利用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，關(guān)鍵在于將函數(shù),變形為兩項(xiàng)和或積的形式，然后用基本不等式求出最值,全練題點(diǎn),1,考點(diǎn)一,如圖所示，已知直線,l,y,kx,2,與,拋物線,C,x,2,py,p,0,交于,A,B,兩點(diǎn),O,為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,4,12,1,求直線,l,和拋物線,C,的方程,2,拋物線上一動(dòng)點(diǎn),P,從,A,到,B,運(yùn)動(dòng)時(shí)，求,ABP

9、,面積的最大值,2,y,kx,2,解,1,由,2,x,2,py,得,x,2,pkx,4,p,0,2,設(shè),A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,則,x,1,x,2,2,pk,y,1,y,2,k,x,1,x,2,4,2,pk,4,2,因?yàn)?OA,OB,x,1,x,2,y,1,y,2,2,pk,2,pk,4,4,12,2,pk,4,所以,2,2,pk,4,12,2,p,1,解得,k,2,2,所以直線,l,的方程為,y,2,x,2,拋物線,C,的方程為,x,2,y,2,設(shè),P,x,0,y,0,依題意，知拋物線過點(diǎn),P,的切線與,l,平行時(shí),ABP,的面積最大，又,y,x,所以,x,0,2,1,2,故

10、,x,0,2,y,0,x,0,2,所以,P,2,2,2,2,2,2,2,4,4,5,此時(shí)點(diǎn),P,到直線,l,的距離,d,由,2,2,5,5,2,1,y,2,x,2,2,x,2,y,得,x,4,x,4,0,故,x,1,x,2,4,x,1,x,2,4,1,k,2,2,所以,AB,2,x,1,x,2,4,x,1,x,2,2,1,2,2,4,4,4,4,10,4,5,4,10,5,所以,ABP,面積的最大值為,8,2,2,2,考點(diǎn)二,2017,山東高考,在平面直角坐標(biāo)系,xOy,中，已知橢圓,x,y,2,C,2,2,1,a,b,0,的離心率為,橢圓,C,截直線,y,1,所得,a,b,2,線段的長(zhǎng)度為,

11、2,2,1,求橢圓,C,的方程,2,動(dòng)直線,l,y,kx,m,m,0,交橢圓,C,于,A,B,兩點(diǎn)，交,y,軸于點(diǎn),M,點(diǎn),N,是,M,關(guān)于,O,的對(duì)稱點(diǎn),N,的半徑為,NO,設(shè),D,為,AB,的中,點(diǎn),DE,DF,與,N,分別相切于點(diǎn),E,F,求,EDF,的最小值,2,2,2,2,2,2,解,1,由橢圓的離心率為,得,a,2,a,b,2,a,a,2,又當(dāng),y,1,時(shí),x,a,2,得,a,2,2,b,b,2,2,2,2,x,y,所以,a,4,b,2,因此橢圓方程為,1,4,2,2,2,2,2,y,kx,m,2,設(shè),A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,聯(lián)立方程,2,2,x,2,y,4,消去,

12、y,得,2,k,1,x,4,kmx,2,m,4,0,由,0,得,m,4,k,2.(*,4,km,2,m,且,x,1,x,2,2,因此,y,1,y,2,2,2,k,1,2,k,1,2,km,m,所以,D,2,k,2,1,2,k,2,1,2,2,2,2,2,m,2,km,2,2,2,m,又,N,0,m,所以,ND,2,k,2,1,2,k,2,1,4,m,1,3,k,k,整理得,ND,2,2,2,k,1,2,2,2,4,8,k,3,ND,4,k,3,k,1,因?yàn)?NF,m,所以,1,2,2,2,2,2,NF,2,k,1,2,k,1,令,t,8,k,3,t,3,2,t,1,ND,16,t,2,故,2,

13、k,1,所以,2,1,2,1,4,NF,1,t,2,2,4,2,2,16,1,t,t,2,1,1,令,y,t,t,所以,y,1,2,t,1,當(dāng),t,3,時(shí),y,0,從而,y,t,t,在,3,上單調(diào)遞增,1,10,因此,t,t,3,ND,當(dāng)且僅當(dāng),t,3,時(shí)等號(hào)成立，此時(shí),k,0,所以,2,1,3,4,NF,NF,1,由,*,得,2,m,2,且,m,0,故,ND,2,NF,1,設(shè),EDF,2,則,sin,ND,2,所以,的最小值為,6,從而,EDF,的最小值為,此時(shí)直線,l,的斜率是,0,3,綜上所述：當(dāng),k,0,m,2,0,0,2,時(shí),EDF,取到,最小值,3,2,x,2,3,考點(diǎn)三,如圖，已

14、知點(diǎn),F,1,F,2,是橢圓,C,1,2,2,x,2,2,y,1,的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓,C,2,y,經(jīng)過,2,點(diǎn),F,1,F,2,點(diǎn),P,是橢圓,C,2,上異于,F,1,F,2,的任意,一點(diǎn)，直線,PF,1,和,PF,2,與橢圓,C,1,的交點(diǎn)分別是,A,B,和,C,D,設(shè),AB,CD,的斜率分別為,k,k,1,求證,k,k,為定值,2,求,AB,CD,的最大值,解,1,證明：因?yàn)辄c(diǎn),F,1,F,2,是橢圓,C,1,的兩個(gè)焦點(diǎn)，故,F,1,1,0,F,2,1,0,又點(diǎn),F,1,F,2,是橢圓,C,2,上的點(diǎn)，將,F,1,或,F,2,的坐標(biāo)代入,C,2,的方程得,1,2,設(shè)點(diǎn),P,的坐標(biāo)是,x,0,

15、y,0,由點(diǎn),P,是橢圓,C,2,上的點(diǎn)，知,2,x,0,2,1,2,y,0,2,直線,PF,1,和,PF,2,的斜率分別是,k,k,k,0,k,0,2,y,0,y,0,y,0,kk,2,x,0,1,x,0,1,x,0,1,1,由可得,kk,即,k,k,為定值,2,2,直線,PF,1,的方程可表示為,y,k,x,1,k,0,與橢圓,C,1,的方程聯(lián),y,k,x,1,2,立，得到方程組,x,2,y,1,2,消去,y,得,1,2,k,2,x,2,4,k,2,x,2,k,2,2,2,2,2,k,2,4,k,0,設(shè),A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,則,x,1,x,2,2,x,1,x,2,2,1

16、,2,k,1,2,k,AB,1,k,x,1,x,2,1,k,同理可求得,CD,2,2,2,2,1,k,x,1,x,2,4,x,1,x,2,2,1,2,k,2,2,2,1,4,k,2,4,4,k,4,5,k,2,1,則,AB,CD,2,2,2,1,2,k,1,2,k,1,2,1,9,4,當(dāng)且僅當(dāng),k,時(shí)等號(hào)成立故,AB,CD,1,2,2,2,2,4,k,4,k,9,的最大值為,2,突破點(diǎn),二,圓錐曲線中的范圍問題,02,圓錐曲線的有關(guān)幾何量的取值范圍問題一直是高考的熱點(diǎn),解決這類問題的基本途徑：先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞?如點(diǎn)的坐標(biāo),角、斜率等,建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)和方法,進(jìn)行求解,一般

17、有五種思考方法,1,利用判別式來構(gòu)造不等式,從而確定參數(shù)的取值范圍,2,利用已知參數(shù)的取值范圍，求新,參數(shù)的取值范圍，解決這類問題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立起,相應(yīng)的聯(lián)系,3,利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求參數(shù),的取值范圍,4,利用已知不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求參數(shù)的,取值范圍,5,利用函數(shù)的值域，確定參數(shù)的取值范圍,全析考法,利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系求范圍,m,例,1,已知,m,1,直線,l,x,my,2,x,2,0,橢圓,C,2,y,1,F,1,F,2,分別為橢圓,C,m,的左、右焦點(diǎn),1,當(dāng)直線,l,過右焦點(diǎn),F,2,時(shí)，求直線,l,的方程,2,設(shè)直線,l,與橢圓,C,交于,A,B,

18、兩點(diǎn),AF,1,F,2,BF,1,F,2,的重,心分別為,G,H,若原點(diǎn),O,在以線段,GH,為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù),m,的取值范圍,2,2,m,2,解,1,因?yàn)橹本€,l,x,my,0,經(jīng)過,F,2,m,1,0,2,m,2,所以,m,1,得,m,2,2,2,2,2,又因?yàn)?m,1,所以,m,2,故直線,l,的方程為,x,2,y,1,0,2,設(shè),A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,m,x,my,2,由,2,x,2,y,2,1,m,2,m,消去,x,得,2,y,my,1,0,4,2,2,m,2,2,2,則由,m,8,4,1,m,80,m,m,1,知,m,8,且有,y,1,y,2,y,1,y,2,

19、2,8,2,2,2,x,1,y,1,x,2,y,2,由于,F,1,c,0,F,2,c,0,可知,G,3,3,H,3,3,因?yàn)樵c(diǎn),O,在以線段,GH,為直徑的圓內(nèi),所以,OH,OG,0,即,x,1,x,2,y,1,y,2,0,所以,x,1,x,2,y,1,y,2,2,m,my,1,2,2,m,my,2,2,y,1,y,2,m,2,m,2,1,2,2,1,8,2,0,解得,m,4,滿足,m,8,又因?yàn)?m,1,所以實(shí)數(shù),m,的取值范圍是,1,2,方法技巧,利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系求范圍的步驟,利用函數(shù)性質(zhì)求范圍,x,y,例,2,2018,河北二市聯(lián)考,已知橢圓,2,2,1,a,b,0,的,a,b,

20、1,左、右焦點(diǎn)分別是點(diǎn),F,1,F,2,其離心率,e,點(diǎn),P,為橢圓上的,2,一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PF,1,F,2,面積的最大值為,4,3,1,求橢圓的方程,2,若,A,B,C,D,是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn),AC,與,BD,相交于點(diǎn),F,1,AC,BD,0,求,AC,BD,的取值范圍,2,2,解,1,由題意知，當(dāng)點(diǎn),P,是橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí),PF,1,F,2,的面積取得最大值,1,2,2,此時(shí),PF,1,F,2,的面積,S,2,c,b,4,3,即,c,a,c,4,3,2,1,c,1,又橢圓的離心率,e,所以,a,2,2,聯(lián)立解得,a,4,c,2,b,12,x,y,所以橢圓的方程為,1,16,12,2,由,

21、1,知,F,1,2,0,因?yàn)?AC,BD,0,所以,AC,BD,當(dāng)直線,AC,BD,中有一條直線的斜率不存在時(shí),AC,BD,8,6,14,2,2,2,當(dāng)直線,AC,的斜率為,k,k,0,時(shí)，其方程為,y,k,x,2,y,k,x,2,2,2,由,x,y,1,16,12,消去,y,并整理得,3,4,k,x,16,k,x,16,k,2,2,2,2,2,16,k,48,0,設(shè),A,x,1,y,1,C,x,2,y,2,則,x,1,x,2,2,x,1,x,2,3,4,k,16,k,48,2,3,4,k,2,所以,2,AC,2,1,k,2,x,1,x,2,1,k,2,24,1,k,x,1,x,2,4,x,1

22、,x,2,2,3,4,k,1,直線,BD,的方程為,y,k,x,2,同理可得,BD,24,1,k,2,4,3,k,2,所以,AC,BD,168,1,k,2,2,3,4,k,4,3,k,168,t,4,t,1,3,t,1,2,2,2,2,令,1,k,t,則,t,1,所以,AC,BD,168,t,2,12,t,t,1,2,t,1,t,2,168,設(shè),f,t,2,t,1,則,f,t,3,t,t,t,1,12,2,t,所以當(dāng),t,1,2,時(shí),f,t,0,當(dāng),t,2,時(shí),1,f,t,0,故當(dāng),t,2,時(shí),f,t,取得最大值,4,t,1,t,1,1,又當(dāng),t,1,時(shí),f,t,2,0,所以,0,2,t,t,

23、4,96,所以,AC,BD,7,14,96,綜上,AC,BD,的取值范圍為,7,14,方法技巧,利用函數(shù)性質(zhì)求范圍的策略,1,利用函數(shù)性質(zhì)解決圓錐曲線中求范圍問題的關(guān)鍵是,建立關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)，通過求這個(gè)函數(shù)的值域確定目,標(biāo)的取值范圍,2,在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題目的其他已知條件,把需要的量都用我們選用的變量表示，有時(shí)為了運(yùn)算方,便，在建立函數(shù)的過程中也可以采用多個(gè)變量，只要在最,后結(jié)果中把多個(gè)變量化為單個(gè)變量即可，同時(shí)要特別注意,變量的取值范圍,全練題點(diǎn),x,y,1,考點(diǎn)一,設(shè)橢圓,C,2,2,1,a,b,0,定義橢圓,C,的“相關(guān)圓”方,a,b,a,b,2,程為,x,y,2,2,若拋物

24、線,y,4,x,的焦點(diǎn)與橢圓,C,的一個(gè)焦點(diǎn),a,b,2,2,2,2,2,2,重合，且橢圓,C,短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,1,求橢圓,C,的方程和“相關(guān)圓,E,的方程,2,過“相關(guān)圓,E,上任意一點(diǎn),P,的直線,l,y,kx,m,與橢圓,C,交于,A,B,兩點(diǎn),O,為坐標(biāo)原點(diǎn)，若,OA,OB,證明：原點(diǎn),O,到直線,AB,的距離是定值，并求實(shí)數(shù),m,的取值范圍,解,1,因?yàn)閽佄锞€,y,4,x,的焦點(diǎn),1,0,與橢圓,C,的一個(gè)焦點(diǎn)重,合，所以,c,1,又因?yàn)闄E圓,C,短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成,x,2,直角三角形，所以,b,c,1,故橢圓,C,的方程為,y,1,相,2,2,

25、關(guān)圓,E,的方程為,x,y,3,2,2,2,2,y,kx,m,2,2,設(shè),A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,聯(lián)立方程組,x,2,y,1,2,2,k,x,4,kmx,2,m,2,0,16,k,m,4(1,2,k,(2,m,2,8(2,k,m,1)0,即,2,k,m,10,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,得,1,2,m,2,4,km,x,1,x,2,2,x,1,x,2,2,1,2,k,1,2,k,y,1,y,2,kx,1,m,kx,2,m,k,x,1,x,2,km,x,1,x,2,m,2,2,2,2,2,2,2,k,2,2,m,2,2,2,1,2,k,m,2,k,4,k,m,2,

26、2,2,m,2,由條件,OA,OB,得,x,1,x,2,y,1,y,2,0,即,3,m,1,2,k,1,2,k,2,k,2,0,所以原點(diǎn),O,到直線,AB,的距離是,d,2,2,m,2,1,k,m,3,2,6,2,2,2,為定值,2,由,3,m,2,k,2,0,得,1,k,m,所以,d,2,3,1,k,將,3,m,2,k,2,0,代入,中，解得,m,2,2,2,2,或,m,2,2,2,又,k,2,3,m,2,2,6,6,2,0,所以,m,解得,m,或,m,2,3,3,3,綜上，實(shí)數(shù),m,的取值范圍是,6,6,3,3,2,考點(diǎn)二,已知圓心為,H,的圓,x,2,y,2,2,x,15,0,和定點(diǎn),A

27、,1,0,B,是圓上任意一點(diǎn)，線段,AB,的中垂線,l,和直線,BH,相交于點(diǎn),M,當(dāng)點(diǎn),B,在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn),M,的軌跡記為曲線,C,1,求,C,的方程,2,過點(diǎn),A,作兩條相互垂直的直線分別與曲線,C,相交于,P,Q,和,E,F,求,PE,QF,的取值范圍,解,1,由,x,y,2,x,15,0,得,x,1,y,16,所以圓心為,H,1,0,半徑為,4,連接,MA,由,l,是線段,AB,的中垂線，得,MA,MB,所以,MA,MH,MB,MH,BH,4,又,AH,24,根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn),M,的軌跡是以,A,H,為焦,點(diǎn),4,為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，所以,a,4,c,1,b,3,x,y,所求曲線,

28、C,的方程為,1,4,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,由直線,EF,與直線,PQ,垂直，可得,AP,AE,AQ,AF,0,于是,PE,QF,AE,AP,AF,AQ,AE,AF,AP,AQ,當(dāng)直線,PQ,的斜率不存在時(shí)，直線,EF,的斜率為零，此時(shí),3,3,可不妨取,P,1,2,Q,1,2,E,2,0,F,2,0,3,3,9,21,3,3,所以,PE,QF,1,2,2,4,4,當(dāng)直線,PQ,的斜率為零時(shí)，直線,EF,的斜率不存在，同理,21,可得,PE,QF,4,當(dāng)直線,PQ,的斜率存在且不為零時(shí)，直線,EF,的斜率也存,在，于是可設(shè)直線,PQ,的方程為,y,k,x,1,P,x,P,

29、y,P,Q,x,Q,y,Q,AP,x,P,1,y,P,AQ,x,Q,1,y,Q,1,則直線,EF,的方程為,y,k,x,1,將直線,PQ,的方程代入曲線,C,的方程，并整理得,3,4,k,x,8,k,2,x,4,k,2,12,0,4,k,12,8,k,所以,x,P,x,Q,x,Q,2,x,P,2,3,4,k,3,4,k,于是,AP,AQ,x,P,1,x,Q,1,y,P,y,Q,1,k,x,P,x,Q,x,P,x,Q,1,2,2,4,k,2,12,9,1,k,8,k,2,1,k,2,2,1,2,3,4,k,3,4,k,3,4,k,2,2,2,2,2,9,1,k,1,將上面的,k,換成,k,可得,

30、AE,AF,2,4,3,k,所以,PE,QF,AE,AF,AP,AQ,9(1,1,1,k,3,4,k,2,4,3,k,2,2,2,令,1,k,t,則,t,1,于是上式化簡(jiǎn)整理可得,1,1,PE,QF,9,t,4,t,1,3,t,1,2,63,t,63,2,49,1,1,2,12,t,t,1,t,2,4,2,1,21,36,由,t,1,得,0,t,1,所以,PE,QF,4,7,21,36,綜合可知,PE,QF,的取值范圍為,4,7,突破點(diǎn),三,圓錐曲線中的幾何證明問題,03,圓錐曲線中的幾何證明問題多出現(xiàn)在解答題中，難,度較大，多涉及線段或角相等以及位置關(guān)系的證明等,全析考法,圓錐曲線中的幾何證

31、明問題,典例,2018,唐山模擬,如圖，圓,C,與,x,軸相切于點(diǎn),T,2,0,與,y,軸正半軸相交于兩點(diǎn),M,N,點(diǎn),M,在點(diǎn),N,的下方,且,MN,3,1,求圓,C,的方程,x,y,2,過點(diǎn),M,任作一條直線與橢圓,1,8,4,相交于兩點(diǎn),A,B,連接,AN,BN,求證,ANM,BNM,2,2,解,1,設(shè)圓,C,的半徑為,r,r,0,依題意，圓心,C,的坐標(biāo)為,2,r,3,25,2,2,2,2,MN,3,r,2,2,解得,r,4,5,2,25,5,2,r,圓,C,的方程為,x,2,y,2,2,4,2,證明：把,x,0,代入方程,x,2,或,y,4,即點(diǎn),M,0,1,N,0,4,2,5,2,

32、25,y,2,解得,y,1,4,當(dāng),AB,x,軸時(shí)，可知,ANM,BNM,0,當(dāng),AB,與,x,軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線,AB,的方程為,y,kx,1,y,kx,1,2,2,2,2,聯(lián)立方程,x,y,消去,y,得,1,2,k,x,4,kx,6,0,1,8,4,設(shè)直線,AB,交橢圓于,A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,兩點(diǎn)，則,x,1,x,2,4,k,6,2,x,1,x,2,2,1,2,k,1,2,k,y,1,4,y,2,4,kx,1,3,kx,2,3,k,AN,k,BN,x,1,x,2,x,1,x,2,2,kx,1,x,2,3,x,1,x,2,x,1,x,2,若,k,AN,k,BN,0,則,

33、ANM,BNM,12,k,12,k,2,kx,1,x,2,3,x,1,x,2,2,2,0,1,2,k,1,2,k,ANM,BNM,全練題點(diǎn),x,y,1,2018,成都模擬,已知橢圓,1,的右焦點(diǎn)為,F,設(shè)直線,l,x,5,4,5,與,x,軸的交點(diǎn)為,E,過點(diǎn),F,且斜率為,k,的直線,l,1,與橢圓交于,A,B,兩點(diǎn),M,為線段,EF,的中點(diǎn),2,2,1,若直線,l,1,的傾斜角為,求,AB,的值,4,2,設(shè)直線,AM,交直線,l,于點(diǎn),N,證明：直線,BN,l,解,由題意知,F,1,0,E,5,0,M,3,0,1,直線,l,1,的傾斜角為,k,1,4,直線,l,1,的方程為,y,x,1,代入

34、橢圓方程，可得,9,x,10,x,15,0,10,5,設(shè),A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,則,x,1,x,2,x,1,x,2,9,3,AB,2,x,1,x,2,2,x,1,x,2,4,x,1,x,2,2,10,5,16,2,4,3,9,9,2,2,2,5,2,證明：設(shè)直線,l,1,的方程為,y,k,x,1,代入橢圓方程，得,4,5,k,x,10,k,x,5,k,20,0,5,k,20,10,k,設(shè),A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,則,x,1,x,2,2,x,1,x,2,2,4,5,k,4,5,k,設(shè),N,5,y,0,A,M,N,三點(diǎn)共線,y,1,y,0,2,y,1,k,AM,k

35、,MN,即,y,0,3,x,1,2,x,1,3,2,k,x,1,1,2,y,1,而,y,0,y,2,y,2,k,x,2,1,x,1,3,x,1,3,5,k,20,10,k,3,k,2,k,2,5,k,4,5,k,4,5,k,3,k,x,1,x,2,kx,1,x,2,5,k,0,x,1,3,x,1,3,直線,BN,x,軸，即,BN,l,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2018,福州模擬,已知點(diǎn),A,4,0,直線,l,x,1,與,x,軸交于,點(diǎn),B,動(dòng)點(diǎn),M,到,A,B,兩點(diǎn)的距離之比為,2,1,求點(diǎn),M,的軌跡,C,的方程,2,設(shè),C,與,x,軸交于,E,F,兩點(diǎn),P,是直線,l,上一點(diǎn)，且

36、點(diǎn),P,不在,C,上，直線,PE,PF,分別與,C,交于另一點(diǎn),S,T,證明,A,S,T,三點(diǎn)共線,x,4,y,MA,解,1,設(shè)點(diǎn),M,x,y,依題意,2,2,2,MB,x,1,y,化簡(jiǎn)得,x,y,4,即軌跡,C,的方程為,x,y,4,2,2,2,2,2,2,2,證明：由,1,知曲線,C,的方程為,x,y,4,令,y,0,得,x,2,不妨設(shè),E,2,0,F,2,0,如圖所示,設(shè),P,1,y,0,S,x,1,y,1,T,x,2,y,2,則直線,PE,的方程為,y,y,0,x,2,y,y,0,x,2,由,2,2,x,y,4,2,2,2,2,2,2,得,y,0,1,x,4,y,0,x,4,y,0,4

37、,0,2,2,4,y,0,4,2,2,y,0,4,y,0,所以,2,x,1,2,即,x,1,2,y,1,2,y,0,1,y,0,1,y,0,1,y,0,直線,PF,的方程為,y,x,2,3,y,0,y,x,2,2,2,2,2,3,由,得,y,0,9,x,4,y,0,x,4,y,0,36,0,2,2,x,y,4,2,2,4,y,0,36,2,y,0,18,12,y,0,所以,2,x,2,2,即,x,2,2,y,2,2,y,0,9,y,0,9,y,0,9,4,y,0,2,y,0,1,y,1,2,y,0,所以,k,AS,2,2,x,1,4,2,2,y,0,y,0,3,4,2,y,0,1,12,y,0

38、,2,y,y,2,2,y,0,0,9,k,AT,2,2,x,2,4,2,y,0,18,y,0,3,4,2,y,0,9,所以,k,AS,k,AT,所以,A,S,T,三點(diǎn)共線,全國(guó)卷,5,年真題集中演練明規(guī)律,04,1,2017,全國(guó)卷,已知拋物線,C,y,2,x,過點(diǎn),2,0,的直線,l,交,C,于,A,B,兩點(diǎn)，圓,M,是以線段,AB,為直徑的圓,1,證明：坐標(biāo)原點(diǎn),O,在圓,M,上,2,設(shè)圓,M,過點(diǎn),P,4,2,求直線,l,與圓,M,的方程,解,1,證明：設(shè),A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,l,x,my,2,x,my,2,由,2,y,2,x,2,y,1,2,可得,y,2,my,4,

39、0,則,y,1,y,2,4,2,2,y,1,y,2,又,x,1,x,2,故,x,1,x,2,4,2,2,4,2,y,2,y,1,y,2,4,因此,OA,的斜率與,OB,的斜率之積為,1,所以,OA,OB,x,1,x,2,4,故坐標(biāo)原點(diǎn),O,在圓,M,上,2,由,1,可得,y,1,y,2,2,m,x,1,x,2,m,y,1,y,2,4,2,m,4,故圓心,M,的坐標(biāo)為,m,2,m,圓,M,的半徑,r,m,2,m,由于圓,M,過點(diǎn),P,4,2,因此,AP,BP,0,故,x,1,4,x,2,4,y,1,2,y,2,2,0,即,x,1,x,2,4,x,1,x,2,y,1,y,2,2,y,1,y,2,2

40、0,0,由,1,知,y,1,y,2,4,x,1,x,2,4,1,所以,2,m,m,1,0,解得,m,1,或,m,2,2,2,2,2,2,2,當(dāng),m,1,時(shí)，直線,l,的方程為,x,y,2,0,圓心,M,的坐標(biāo)為,3,1,圓,M,的半徑為,10,圓,M,的方程為,x,3,y,1,10,1,當(dāng),m,時(shí)，直線,l,的方程為,2,x,y,4,0,圓心,M,的坐標(biāo)為,2,9,1,圓,M,的半徑為,2,4,9,2,1,2,85,圓,M,的方程為,x,4,y,2,4,2,2,85,16,x,y,2,2014,全國(guó)卷,已知點(diǎn),A,0,2,橢圓,E,2,2,1,a,b,0,的,a,b,3,2,3,離心率為,F,是橢圓,E,的右焦點(diǎn)，直線,AF,的斜率為,O,為,2,3,坐