極限習(xí)題及答案：數(shù)學(xué)歸納法

1、數(shù)列通項(xiàng)及用歸納法證明不等式例一、 在1與2間插入n個(gè)正數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1、2間插入n個(gè)正數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列記求：（1）數(shù)列和的通項(xiàng)； （2）當(dāng)時(shí)，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論分析：考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的知識(shí)，以及觀(guān)察、分析、歸納的能力和數(shù)學(xué)歸納法解：（1）成等比數(shù)列， 成等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的通項(xiàng)（2）要比較與的大小，只需比較的大小，也就是比較當(dāng)時(shí)，與的大小當(dāng)n=7時(shí)，知經(jīng)驗(yàn)證，n=8,n=9時(shí)，均有成立，猜想，當(dāng)時(shí)有下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）n=7時(shí)已證（）假設(shè)時(shí)不等式成立，即，好么故即時(shí)不等式也成立根據(jù)（）和（）當(dāng)時(shí)，成立，即說(shuō)明：開(kāi)放題求

2、解要注意觀(guān)察題目的特點(diǎn)，可以先通過(guò)特殊數(shù)嘗試可能的結(jié)果，然后總結(jié)歸納出一般規(guī)律，利用歸納法證明結(jié)論猜想數(shù)列通項(xiàng)、利用歸納法證明不等式例一、 設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足（1）當(dāng)時(shí)，求，并由此猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，證明對(duì)所有的，有（） （）分析：本小題主要考查數(shù)列和不等式等知識(shí)，考查猜想、歸納、推理以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力解：（1）由得由得由，得由此猜想的一個(gè)通項(xiàng)公式：（2）（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)，不等式成立假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即，那么，也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)和，對(duì)于所有，有（）由及（），對(duì)，有于是 說(shuō)明：證明不等式的題型多種多樣，所以不等式證明是一個(gè)難點(diǎn)，在由n=k成立，推導(dǎo)n=k+1不等

3、式也成立時(shí)，過(guò)去講的證明不等式的方法再次都可以使用，如比較法、放縮法、分析法、反證法等，有時(shí)還要考證與原不等式的等價(jià)的命題數(shù)列與歸納法的綜合題例一、 設(shè)為常數(shù)，且（）證明對(duì)任意 （）假設(shè)對(duì)任意有，求的取值范圍分析： 本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列的概念，考查數(shù)學(xué)歸納法，考考靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力證明：（）證法一：（1）當(dāng)時(shí)，由已知，等式成立（）假設(shè)當(dāng)?shù)仁匠闪?，即那么也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，等式也成立根據(jù)（）和（）可知證法二：如果設(shè)用代入，可解出所以是公比的2，首項(xiàng)為的等比數(shù)列即（）解法一：由通項(xiàng)公式 （）當(dāng)時(shí)，式即為即為 式對(duì)都成立，有（）當(dāng)時(shí)，即為 式對(duì)都成立，有綜上，式對(duì)任意成立，

4、有故的取值范圍為解法二：如果成立，特別取有因此 下面證明當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有由通項(xiàng)公式，時(shí)（2）當(dāng)時(shí)，故的取值范圍為判斷證明過(guò)程的正誤例 試判斷下面的證明過(guò)程是否正確：用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊1，右邊1當(dāng)時(shí)命題成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即則當(dāng)時(shí)，需證由于左端等式是一個(gè)以1為首項(xiàng)，公差為3，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，其和為式成立，即時(shí)，命題成立根據(jù)（1）（2）可知，對(duì)一切，命題成立 分析：看一個(gè)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題是否正確關(guān)鍵要看兩個(gè)步驟是否齊全，特別是第二步歸納假設(shè)是否被應(yīng)用，如果沒(méi)有用到歸納假設(shè)，那就是不正確的解： 以上用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程是錯(cuò)誤的在證明當(dāng)時(shí)等式成立時(shí)，沒(méi)

5、有用到當(dāng)時(shí)命題成立的歸納假設(shè)，故不符合數(shù)學(xué)歸納法證題的要求第二步正確的證明方法是：假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即則當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，命題成立 說(shuō)明：用數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟相輔相成缺一不可盡管有些與正整數(shù)有關(guān)的命題用其它方法也可以解決，但題目若要求用數(shù)學(xué)歸納法證明，則必須嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行，否則是不正確的用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例 用數(shù)學(xué)歸納法證明 分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與整數(shù)有關(guān)的命題，關(guān)鍵是第二步，要注意當(dāng)時(shí)，等式兩邊的式子與時(shí)等式兩邊的式子的聯(lián)系，增加了哪些項(xiàng)，減少了哪些項(xiàng)，問(wèn)題就會(huì)順利解決證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，贊美式成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即則當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等式成立根據(jù)（1

6、）、（2）可知，對(duì)一切，等式成立 說(shuō)明：解題過(guò)程中容易將時(shí)，等式右邊錯(cuò)寫(xiě)為，從而導(dǎo)致證明錯(cuò)誤或無(wú)法進(jìn)行特別要注意等式右邊的每一個(gè)式子都在隨的變化而變化利用數(shù)學(xué)歸納法證明正切等式例 用數(shù)學(xué)歸納法證明 分析：在由假設(shè)時(shí)等式成立，推導(dǎo)當(dāng)時(shí)等式成立時(shí)，要靈活應(yīng)用三角公式及其變形公式，本題中涉及到兩個(gè)角的正切的乘積問(wèn)題，聯(lián)想到兩角差的正切公式的變形公式：，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊右邊，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即則當(dāng)時(shí)，由得代入式，得右邊即這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式成立根據(jù)（1）、（2）可知，對(duì)任意，等式成立 說(shuō)明：靈活應(yīng)用三角公式是解決三角問(wèn)題常用的方法和技巧，恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用公式是關(guān)鍵如果應(yīng)

7、用公式來(lái)變形，本題就會(huì)出現(xiàn)困難解決有關(guān)的式子時(shí)，經(jīng)常要用到展開(kāi)式及其變形公式利用歸納法證明整除問(wèn)題例 用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除 分析：證明一個(gè)與有關(guān)的式子能被一個(gè)數(shù)（或一個(gè)代數(shù)式）整除，主要是找到與的關(guān)系，設(shè)法找到式子，使得，就可證昨命題成立證明：（1）當(dāng)時(shí)，能被9整除，命題成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被9整除，當(dāng)時(shí)，和都能被9整除都能被9整除即能被9整除即當(dāng)時(shí)，命題成立由（1）、（2）可知，對(duì)任何命題都成立說(shuō)明：如果將時(shí)，變?yōu)槟鼙?整除，困難就大一些本題也可用二項(xiàng)式定理把寫(xiě)成展開(kāi)后，再證明用歸納法證明直線(xiàn)分割平面問(wèn)題例 平面內(nèi)有條直線(xiàn)，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，證明這條直線(xiàn)把平面

8、分成個(gè)部分 分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題，主要搞清楚當(dāng)時(shí)比當(dāng)時(shí)，分點(diǎn)增加了多少個(gè)，區(qū)城增加了多少塊，線(xiàn)段增加了多少條本問(wèn)題中第條直線(xiàn)與前條直線(xiàn)有個(gè)分點(diǎn)，平面區(qū)域增加了塊證明：（1）當(dāng)時(shí)，平面被分成2部分又，命題成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立即符合條件的條直線(xiàn)把平面分成個(gè)部分現(xiàn)在來(lái)考慮平面內(nèi)有條直線(xiàn)的情況任取其中的一條直線(xiàn)，記為（如下圖）圖與其它條直線(xiàn)有個(gè)交點(diǎn)，平面區(qū)域增加了塊，從而這條直線(xiàn)把平面分成了根據(jù)（1）、（2）可知，命題對(duì)任何正整數(shù)都成立說(shuō)明：不能錯(cuò)誤地認(rèn)為第條直線(xiàn)被其它條直線(xiàn)分成段，區(qū)域增加了部分或2部分證明有關(guān)幾何問(wèn)題，哪邊形內(nèi)角和公式，邊形對(duì)角線(xiàn)條數(shù)公式，還要確定初始值應(yīng)為多少由到時(shí)又是如何變化的猜想并證明數(shù)列的通項(xiàng)例 對(duì)于數(shù)列，若（1）求，并猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想 分析：由已知條件，可直接求出 式，通過(guò)觀(guān)察歸納，猜想出的表達(dá)式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明解：（1）同理可得猜想（2）（）當(dāng)時(shí)，右邊，等式成立（）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，等式也成立根據(jù)（）、（）可知，