1-6章數(shù)學(xué)分析第3章函數(shù)極限3-5

1、二、無窮小量階的比較,5 無窮大量與無窮小量,由于 等同于 因,分析,相同的. 所以有人把 “數(shù)學(xué)分析” 也稱為 “無窮小,此函數(shù)極限的性質(zhì)與無窮小量的性質(zhì)在本質(zhì)上是,四、漸近線,三、無窮大量,一、無窮小量,返回,一、無窮小量,定義1,則稱 f 為,顯然，無窮小量是有界量.而有界量不一定是無窮,例如,對(duì)于無窮小量與有界量，有如下關(guān)系,小量,1. 兩個(gè)(類型相同的)無窮小量的和，差，積仍是,2. 無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量,性質(zhì)1可由極限的四則運(yùn)算性質(zhì)直接得到,無窮小量,下面對(duì)性質(zhì)加以證明,例如,應(yīng)當(dāng)注意, 下面運(yùn)算的寫法是錯(cuò)誤的,在 近旁發(fā)生無,二、無窮小量階的比較,兩個(gè)相同類型的無窮

2、小量，它們的和、差、積仍,出如下定義,兩個(gè)無窮小量之間趨于零的速度的快慢，我們給,這與它們各自趨于零的速度有關(guān).為了便于考察,是無窮小量，但是它們的商一般來說是不確定的,例如,2. 若存在正數(shù) K 和 L，使得在 x0 的某一空心鄰域,內(nèi)，有,時(shí)，這兩個(gè)無窮小量一定是同階的,我們記,窮小量，當(dāng)然有,反之不一定成立, 例如,但是這兩個(gè)無窮小量不是同階的,和通常的等式是不同的，這兩個(gè)式子的,右邊，本質(zhì)上只是表示一類函數(shù)例如,表示 的所有高階無窮小量的集合,等價(jià)無窮小量，記作,也就是說，這里的 “=” 類似于,根據(jù)等價(jià)無窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì),前面討論了無窮小量階的比較, 值得注意的是, 并,

3、這是因?yàn)?不是任何兩個(gè)無窮小量都可作階的比較. 例如,按照前面討論的方式進(jìn)行階的比較. 這是因?yàn)?是一個(gè)無界量，并且,下面介紹一個(gè)非常有用的定理,定理 3.12 告訴我們，在求極限時(shí)，乘積中的因子,例1,2) 可以類似地證明,可用等價(jià)無窮小量代替，這是一種很有用的方法,例2,解,G 0, 存在 0，使得當(dāng),時(shí),有,三、無窮大量,記作,請(qǐng)讀者自行寫出它們的定義,無窮大量和負(fù)無,類似地可以定義如下的無窮大量,窮大量,例3,證,這就證明了,例5,證,從無窮大量的定義與例3、例4和例5可以看出,無窮大量不是很大的一個(gè)數(shù)，而是具有非正常的,的任何一個(gè)鄰域內(nèi)無界. 但值得注意的是: 若 f (x,卻不是

4、x 時(shí)的無窮大量. 事實(shí)上, 對(duì),無界量) , 并不能保證 f (x) 是 x x0 的無窮大量,在 x0 的任何鄰域內(nèi)無界 (稱 f (x) 是 x x0 時(shí)的,因而 f (x)不是 x 時(shí)的無窮大量,兩個(gè)無窮大量也可以定義階的比較. 設(shè),無窮大量,則稱 f (x) 與 g (x) 是當(dāng) x x0 時(shí)的一個(gè)同階無窮,大量,當(dāng) x x0 時(shí),的等價(jià)無窮大量,下述定理反映了無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系,直觀地說：無窮大量與無窮小量構(gòu)成倒數(shù)關(guān)系,定理3.13,1) 若 f 為 xx0 時(shí)的無窮小量, 且不等于零, 則,這就證明了,的無窮小量,這就說明了當(dāng) b = 0 時(shí)結(jié)論不一定成立,即,例8,由

5、此得到一列 ，滿足 且,注 例8的證明雖然有些難度，但它卻提供了選取,法, 對(duì)提高解題能力是有益處的,符合要求的點(diǎn)列的一種方法. 熟練地掌握這種方,四、漸近線,作為函數(shù)極限的一個(gè)應(yīng)用，我們來討論曲線的漸,它的漸近線方程為,近線問題,下面給出漸近線的一般定義,定義4 設(shè) L 是一條直線, 若曲線 C 上的動(dòng)點(diǎn) P 沿,曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí), 點(diǎn) P 與 L 的距離趨于零，則,稱直線 L 為曲線 C 的一條漸近線(如圖,由漸近線的定義,首先, 我們來看如何求曲線 的斜漸近線,從而,又,所以,這樣就確定了斜漸近線的兩個(gè)參數(shù),這是沿 x 軸正向的漸近線的方程. 顯然沿 x 軸負(fù)向,同樣也可以求出沿著 x 的漸近線方程,的斜漸近線的斜率和截距分別為,注 特別當(dāng) k = 0 時(shí)，該漸近線稱為水平漸近線,則稱 x = x0 是曲線 的垂直漸近線,顯然，曲線 y = f (x) 有水平漸近線的充要條件是,并且