數(shù)學立體幾何經(jīng)典基礎(chǔ)600題5有詳細答案

1、為棱把它折成直二CDACB90，BCa,ACb,D是斜邊AB上的點，以401. 如圖，在ABC中，? AB面角ACDB后，D在怎樣的位置時，為最小，最小值是多少 CD于N，于是AMbsin,CNAM解析： 設(shè)ACD，則BCD90-，作CD于M，BN. asin的90BN成CD，AM與BMNasin-bcos，因為ACD是直二面角，AMCD，BN2222222222?abb?absinb?aa?)b?(absinsincos?acos. AB角，于是22ab?b?a. 有最小值，最小值為是ACB的平分線時，AB當45即CD . 自二面角內(nèi)一點分別向兩個面引垂線，求證：它們所成的角與二面角的平面角

2、互補402.求證：D.，它們的垂足是C和AB內(nèi)一點P，向面和分別引垂線PC和PD已知：從二面角. 和二面角的平面角互補CPD 交于點E，和PCPD的平面PCD與棱AB證：設(shè)過 ，PDPCAB ，PDPCABAB ，DECEAB?. ABDE的平面角，CED又CE是二面角， 9090，D在四邊形PCED內(nèi)：C. CBD互補CPD和二面角AB的平面求證：在已知二面角，從二面角的棱出發(fā)的一個半平面內(nèi)的任意一點，到二面角兩個面的距離的比是403. 一個常數(shù)?C. ，垂足是，AB，平面，垂足是過ED，AB.AC已知：二面角EDk(k為常數(shù)AC) 求證：AB證明：過AB、AC的平面與棱DE交于點F，連結(jié)A

3、F、BF、CF. AB，AC.ABDE，ACDE. DE平面ABC.BFDE，AFDE，CFDE. ?DE，的平面角，它們?yōu)槎ㄖ礑EBFA，AFC分別為二面角. 在RtABF中，ABAFsinAFB. 在RtAFC中，ACAFsinAFC，得： ABAFsin?AFB定值. ACAFsin?AFC ?) 和m與平面、l、m那么必有滿足l.，l,m( 404. 如果直線? B.且m m A.且l? 且D. C.m且lm ?. . 解析：m,m?l. m又m,l. A. 應(yīng)選. 本題考查線面垂直、面面垂直及綜合應(yīng)用推理判斷能力及空間想象能力說明 ?5arcsin，又PA3a,，AB， 405. 如

4、圖，在梯形ABCD中，ADBCABCa,AD且ADC52. A到平面PBC的距離A(2)的大小(用反三角函數(shù)表示)；點a.平面ABCD，AP求：(1)二面角PCD . RtCDDAB為矩形，CDa中于解析：(1)作CDAD，在D，ABCD55 ,即DADCarcsinDCarcsin，55?5DC sinCDD5CD52a CDa DDBC AD3a,ADa222BC?ABa, ACABC又在Rt中，AB. AC，PAAD，PA平面PAABCD，PA2a. 在RtPAB中，可得PB223ACPA?a. 在RtPAC中，可得PC2210)3aa?(a. 中，在RtPADPD103522222 (

5、a)a)+(a)8aPC+CD(cosPCD0，則PCD90 作PECD于E，E在DC延長線上，連AE，由三垂線定理的逆定理得AECD，AEP為二面角PCDA的平面角. 5，ADarcsinADEAEDRt在中3a. 5553a. 3aADAEsinADE555aPA. 中，tan在RtPEAPAE33AE5a555，即二面角PCDA的大小為arctan. AEParctan33(2)ADPA，ADAB，AD平面PAB. BCAD，BC平面PAB. 平面PBC平面PAB，作AHPB于H，AH平面PBC. AH為點A到平面PBC的距離. 2PA?ABa?a在RtPAB中，AHa. 2PB2a2a

6、. 的距離為到平面PBC即A2說明 (1)中輔助線AE的具體位置可以不確定在DC延長線上，而直接作AECD于E，得PECD，從而PEA為所求，同樣可得結(jié)果，避免過多的推算.(2)中距離的計算，在學習幾何體之后可用“等體積法”求. 406. 如圖，在二面角l中，A、B，C、Dl，ABCD為矩形，P，PA，且PAAD，M、N依次是AB、PC的中點. (1)求二面角l的大??； (2)求證：MNAB； (3)求異面直線PA與MN所成角的大小. 解析：(1)連PD，ABCD為矩形，ADDC，即ADl.又PAl，PDl. P、D，則PDA為二面角l的平面角. PAAD，PAAD，PAD是等腰直角三角形，P

7、DA45，即二面角l的大小為45. (2)過M作MEAD，交CD于E，連結(jié)NE，則MECD，NECD，因此，CD平面MNE，CDMN.ABCD，MNAB (3)過N作NFCD，交PD于F，則F為PD的中點.連結(jié)AF，則AF為PAD的角平線，F(xiàn)AD45，而AFMN，異面直線PA與MN所成的45角. 407. 如圖，在三棱柱ABCABC中，四邊形AABB是菱形，四邊形BCCB是矩形，CBAB. ；ABA平面BCA求證：平面(1) .(用反三角函數(shù)表示BCCB所成角的大小60(2)若CB2，AB4，ABB，求AC與平面 ，BBB在三棱柱解析：(1)ABCABC中，CBCB，CBAB.CBBB，AB?

8、AB 平面ACB平面AAB.CB平面CAB，平面CAB中點B BABB由四邊形AABB是菱形，ABB60，連AB，可知是正三角形.取 (2)，得平面BBC CAABB平面 則H，連結(jié)AH，AHBB.又由CB平面AAB，與平面AC C連結(jié)H，則ACH為 AH而AH垂直于兩平面交線BB，平面CBBC.3中，AHC2C5，于是直角三角形，在CRtBCCB所成的角，AB4，AHB中，AA322233. arcsinB所成的角是ACHarcsin與平面,直線ACsinACHBCC555 PC，PC平面ABCD，又 已知四棱錐PABCD，它的底面是邊長為a的菱形，且ABC120408. 的中點E為PA，a

9、 ；EBD平面ABCD(1)求證：平面 的距離；E到平面PBC(2)求點. 的大小D(3)求二面角ABE 的中點AC，則F為ABCD中，底面是菱形，連結(jié). AC、BD，交于F(1)證明: 在四棱錐P又E為AD的中點，EFPC ?平面EBD. EF平面ABCD.EF平面又PCABCD，平面EBD平面ABCD. (2)EFPC，EF平面PBC E到平面PBC的距離即是EF到平面PBC的距離 過F作FHBC交BC于H， ?平面ABCD ，平面ABCDFHPCPCFH. 又BCFH，F(xiàn)H平面PBC，則FH是F到平面PBC的距離，也是E到平面PBC的距離. 3a. CF30FCH，231CFFHa. 4

10、2 (3)取BE的中點G，連接FG、AG由(1)的結(jié)論，平面BD，AFBDE平面ABCDBDC. 平面AFa ，由三垂線定理得，BEFGAG，EFBFBE2FGA為二面角DBEA的平面角. 322aa,AFa. FG4222AF66 arctgFAG,tgFGAFG6 arctgD的大小為ABE即二面角409. 若ABC所在的平面和ABC所在平面相交，并且直線AA、BB、CC相交于一點O，求證： 111111(1)AB和AB、BC和BC、AC和AC分別在同一平面內(nèi)； 111111(2)如果AB和AB、BC和BC、AC和AC分別相交，那么交點在同一直線上(如圖). 111111 (1)證明：AA

11、BBO, 11AA、BB確定平面BAO， 11A、A、B、B都在平面ABO內(nèi)， 11?平面ABO. ；AABB平面ABO11同理可證，BC和BC、AC和AC分別在同一平面內(nèi). 1111(2)分析：欲證兩直線的交點在一條直線上，可根據(jù)公理2，證明這兩條直線分別在兩個相交平面內(nèi)，那么，它們的交點就在這兩個平面的交線上. 證明：如圖，設(shè)ABABP； 11ACACR； 11 面ABC面ABCPR. 111?面ABC，面ABC；BC BC 11111且 BCBCQ QPR, 11即 P、R、Q在同一直線上. 410. 點P、Q、R分別在三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱上，且PQBCX,QRCDZ,PRBDY.

12、求證：X、Y、Z三點共線. . ，證明這些點是兩個平面的公共點2證明點共線的基本方法是利用公理 解析：證明 P、Q、R三點不共線，P、Q、R三點可以確定一個平面. ?面BCD，X平面BC，BCXPQ，PQBCD. ，X，又X 點X是平面和平面BCD的公共點.同理可證，點Y、Z都是這兩個平面的公共點，即點X、Y、Z都在平面和平面BCD的交線上. 411. 直線m、n分別和平行直線a、b、c都相交，交點為A、B、C、D、E、F，如圖，求證：直線a、b、c、m、n共面. 解析： 證明若干條直線共面的方法有兩類：一是先確定一個平面，證明其余的直線在這個平面里；二是分別確定幾個平面，然后證明這些平面重合

13、. 證明 ab,過a、b可以確定一個平面. ?，A,同理BAa,aa. ?n. .，Bm,m同理可證又Am?m. 過b,c可以確定平面，同理可證bc,平面、都經(jīng)過相交直線b、m, 平面和平面重合，即直線a、b、c、m、n共面. 412. 證明兩兩相交而不共點的四條直線在同一平面內(nèi). 已知：如圖，直線l，l，l，l兩兩相交，且不共點. 4321求證：直線l，l，l，l在同一平面內(nèi) 4213 解析：證明幾條直線共面的依據(jù)是公理3及推論和公理1.先證某兩線確定平面，然后證其它直線也在內(nèi). 證明：圖中，llP， 21 l,l確定平面. 21又 llA,llC, C,A. 3321?. l故3?. l同

14、理 4 l,l,l,l共面. 4213圖中，l,l,l,l的位置關(guān)系，同理可證l,l,l,l共面. 41334122所以結(jié)論成立. 413. 證明推論3成立.（如圖） 已知：ab，求證：經(jīng)過a,b的平面有且只有一個. . 的平面有一個b、a共面，所以經(jīng)過b、a，由平行線的定義知：ba)存在性(：證明(唯一性)，在a上取兩點A、B，在b上取一點C. ab,A、B、C三點不共線，由公理3知過A、B、C三點的平面只有一個，從而過a,b兩直線的平面也是惟一的. 414.一條直線過平面內(nèi)一點與平面外一點，它和這個平面有幾個公共點?為什么? 解析：只有一個，假設(shè)有兩個公共點，由公理1知該直線上所有點都在這

15、個平面內(nèi)，這和直線過平面外一點矛盾. 415.過已知直線外一點與這條直線上的三點分別畫三條直線，證明：這三條直線在同一平面內(nèi). 解答：已知：Aa，如圖，B、C、Da，證明：AB、AC、AD共面. ?a. a，確定平面，B、C、D，證明：Aa，Aa B、C、D 又A. ?. AC、ADAB、即AB、AC、AD共面. 416. 空間可以確定一個平面的條件是( ) A.兩條直線 B.一點和一直線 C.一個三角形 D.三個點 解析： 由推論2和推論3知兩條相交直線或者兩條平行直線才確定一個平面，兩條直線還有位置關(guān)系異面.故排除A，由推論1知點必在線外才合適，排除B.由公理3知不共線三點可確定一個平面，

16、D中三個點不一定不共線，排除D.公理3結(jié)合公理1，知選C. 417. 下列命題正確的是( ) A.經(jīng)過兩條直線有且只有一個平面 B.經(jīng)過一條直線和一個點有且只有一個平面 C.如果平面與有三個公共點，則兩個平面一定是重合平面 D.兩個平面、有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線 解析：根據(jù)公理2、公理3知選D. 418. 已知四點，無三點共線，則可以確定( ) A.1個平面 B.4個平面 C.1個或4個平面 D.無法確定 解析： 因為無三點共線，所以任意三個點都可以確定平面，若第四個點也在內(nèi)，四個點確定一個平面，當?shù)谒膫€點在外，由公理3知可確定4個平面.故選C. 419. 已知球

17、的兩個平行截面的面積分別為5和8，它們位于球心的同一側(cè)且相距是1，那么這個球的半徑是( ) A.4 B.3 C.2 D.5 22 85，AC，解析： 如圖，設(shè)球的半徑是r，則BD22x. OA又AB1BD，設(shè)5，AC8.2222. r+5xr+8,(x+1)3 解之，得rB. 故選求.在桌面上有三個球兩兩相切，且半徑都為1，在桌面與三球間放置一個小球，使它與三個球相切 420. . 此小球半徑垂足O平面的垂線，的小球，球O為放置在桌面上與已知三球相切的半徑為r過O作OO解析： 如圖，312321+r,，OH1-r,OOOHO為H，它一定是OO的中心，連接O，OO，在RtOH中，OH111231

18、113321222222. +OH，即(1+r)H(+(1-r)，解得rOOO1133 ?兩點間球面距兩點，它們的經(jīng)度差為、B，求球面上A421. 地球半徑為R，在北緯45圈上有A、B2. 離 現(xiàn)在我們將這個球的截面問題轉(zhuǎn)化為較為熟悉的長方體問如圖1)解析：本題關(guān)鍵是求出AOB的大小，(ABO為三條相互垂直的棱，可構(gòu)造一個長方體，問題轉(zhuǎn)化為長方體截面，OAOB題.如圖2，以O(shè)O，111. BOA的問題內(nèi)求?2222BAAB+OOR OR，OOAOB OBOA 解： 2如圖，OOBO，OA111111124?，A、B間的球面距離為 AOB為等邊， AOBR. R， 33422. 一個圓在平面上的

19、射影圖形是( ) A.圓 B.橢圓 C.線段 D.圓或橢圓或線段 解析：D ，21cm，兩球心間的距離為17cm和10cm兩面都是凸形的鏡中，它的面都是球冠形，球半徑分別為 423. 求此鏡面的表面積和體積 222222-OAO-COC，即10-x O21-x,C解析：軸截面如圖，設(shè)Ox，則COABO AO11212212224,17-152,h10-6，則17-(21-x)x，解得6,CO15,又設(shè)左邊球缺的高為h,右邊的球缺高為hh2111213222). 288(310-2)+417-4)(cm(3S2(172+104)148(cm),V2表3424. 正三棱錐的底面邊長是2cm，側(cè)棱與

20、底面成60角，求它的外接球的表面積. 解析：如圖，PD是三棱錐的高，則D是ABC的中心，延長PD交球于E，則PE就是外接球的直徑，324332PDPAPE而，APAE，tan60AB，PAD60，PDAD2,PAAD3332PA84642. (cm)S，R，球PD339425. 求證：球的外切正四面體的高是球的直徑的2倍. 證明： 設(shè)球的半徑為R，正四面體的高為h，側(cè)面積為S，則有VV+V+V，如圖，BCDBCDAABDOOABCO11Sh4SR,h即4R. 33 ?R，求AR 426.地球半徑為，、A的球面距離為BA線上，且45B兩地都在北緯、B兩地經(jīng)度的差. 3 的弧度數(shù)，A如圖，解析：O

21、為球心，O為北緯45小圓的圓心，知、B的球面距離，就可求得AOB1. 進而求得線段AB、B兩地的經(jīng)度差的大小就是B中，AOBA的長，在AO11 45圓的中心， 解： 設(shè)O是北緯1 都在此圓上，A、B2R. OBAO112?R 的球面距離為、，BA3?R?l3,AOB為等邊三角形. AOBR3RABR，在AOB中， 111222222，AB ROAR+OB+R1122AOB90. 1A、B兩地的經(jīng)度差是90. 評析：注意搞清緯度和經(jīng)度的問題，球面距離三步驟的運用是非常重要的問題. 427. 已知圓錐的母線長為l，母線對圓錐底面的傾角為，在這個圓錐內(nèi)有一內(nèi)切球，球內(nèi)又有一個內(nèi)接的正方體，求這個內(nèi)接

22、正方體的體積. ?，RODADtan以內(nèi)接正方體對角面為軸截面，如圖.連接OA，OAD,VAR解析：設(shè)球半徑為，22?8323222(lcos4R則，3xEGVl,ADlcos,Rlcostan,x,又設(shè)正方體棱長為xR.正方體932?3)tan. 2222為定+PB，(1)求證：PA+PCPA 如圖，過半徑為R的球面上一點P作三條兩兩垂直的弦、PB、PC428.值；(2)求三棱錐PABC的體積的最大值. 解析：先選其中兩條弦PA、PB，設(shè)其確定的平面截球得O，AB是O的直徑，連PO并延長交O11112222，然后只要證得PC和PDPD是矩形，確定是大圓就可以了ABPA+PB. PADBD于，

23、解： (1)設(shè)過PA、PB的平面截球得O ，PBPA，1222. PA+PB，則PADB是矩形，PD于是ABO的直徑，連PO并延長交OD111 平面O，為球心，則設(shè)OOO11 平面，PCO1PD. O，截球得大圓，又PC的平面經(jīng)過球心OOPC，因此過PC、PD1. 是球的直徑CD2222222. 定值+PC 故 PACD+PB+PC4RPD1 xyz，ABCzx(2)設(shè)PA、PB、PC的長分別為、y、，則三棱錐P的體積V646222264Rzx?y?111632222. V()Rxyz53273363636343. RV27343. 即 V R最大272的證明可為是大圓，探求得定值4R(1)，

24、如本題評析：定值問題可用特殊情況先“探求”(1)若先考慮PAB. 指明方向. 球面上任一點對球的直徑所張的角等于90，這應(yīng)記作很重要的性質(zhì). 的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑求棱長為429. a 6、B、Cr，O底面BCD于H，則AH點與Aa，設(shè)內(nèi)切球的球心為O、，半徑為解析：AH如圖，作36111，則每個側(cè)面積為S，有S4DSAH，rAHa,設(shè)相連，得四個錐體，設(shè)底面為Sr124332外接球心為O，半徑R，過A點作球的半徑交底面BCD于H，則H為BCD的外心，求得BHa,AH336662a,由相交弦定理得a(2R-a)(a). 33336a. 解得R3 . 求證：球的任意兩個大圓互相平分43

25、0.這條直徑也是兩個大圓的公共直徑，所以它們必交于過球心的直徑，證明：因為任意兩個大圓都過球心O. 所以任意兩個大圓互相平分22. 2.在球心的同一側(cè)有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積各為49cm和400cm求球的表面積. ，解： 如圖，設(shè)球的半徑為R27 49， OOBB2220 A同理 O1(x+9)cm. OOOOxcm，則設(shè)21222 xARtOO中，可得R+20在1222 OOB中，可得R+(x+9)7在Rt22222 7+20+(x+9)x15cm 解方程得 x2222 25+20Rx22) 2500S4OA(cm球 1，43431. 球面上有個點，其中任意兩點的球面距離都等于

26、大圓周長的經(jīng)過3個點的小圓的周長為，6) 那么這個球的半徑為( 333 D. C.2 A.4 B.2 AOB為球心，、C，Or2.如圖，設(shè)三點A、,R解析： 設(shè)球半徑為，小圓半徑為rr，則24B?OB ，又OABOCCOA3AOB是等邊三角形 同理，BOC、COA都是等邊三角形，得ABC為等邊三角形. 邊長等于球半徑R，r為ABC的外接圓半徑. 33ABR r 3333 Rr23B. 應(yīng)選，則球表面2BCCAAB 432. 已知球面上A、B、C三點的截面和球心的距離都是球半徑的一半，且) 積是( 16648 C.4 B.A.D. 993. AO解析： 如圖，過ABCO三點的截面圓的圓心是O，球

27、心是，連結(jié)AO、OO， 則OO. BC為正三角形CA2，故ABCABC中，AB323 2AO33R R，則OAR，OO設(shè)球半徑為2 2R2322222 OAOO中，+(+OA)，即RRt在OAO434 R3642球面面積為 4R9A. 應(yīng)選12AOAO說明 因為4AB1，所以球面積SR從而選4.A. R2，且它的八個頂點都在同一球面上，這個球的表面積3、4、5 433. 長方體的一個頂點上的三條棱分別是) 是( 22 B.25D.200 C.50A.20 2R. ，球的半徑為R，則l解析： 正方體的對角線為l22222+5l+44R50 得：3250R S4從而球應(yīng)選C. 434. 在球面上有

28、四個點P、A、B、C.如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PAPBPCa,那么這個球的表面積是 . 解析：由已知可得PA、PB、PC實際上就是球內(nèi)接正方體中交于一點的三條棱，正方體的對角線長就是球3a. CDCD，則過球心O，對角線C的直徑，連結(jié)過點的一條對角線CD322. aa)3(4S球表面積2的玻璃小球都浸沒于容器的水中，若取出這兩個5cm，兩個直徑為5cm圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑為 435.cm. 小球，則容器內(nèi)的水面將下降 . 解析：球的體積等于它在容器中排開水的體積42h,V 5 V 解： 設(shè)取出小球后，容器水平面將下降hcm，兩小球體積為V21球球31255 h即 25hcm. 3

29、35. 應(yīng)填3 436. 空間四邊形ABCD的四條邊相等，那么它的兩條對角線AC和BD的關(guān)系是（ ） A相交且垂直 B相交但不垂直 C不相交也不垂直 D不相交但垂直 解析：D取BD中點O，則BDAO，BDCO，故BD平面ACO，因此BDAC 437. 已知a、b是異面直線，那么經(jīng)過b的所在平面中（ ） A只有一個平面與a平行 B有無數(shù)個平面與a平行 C只有一個平面與a垂直 D有無數(shù)個平面與a垂直 ?a/aa?與a平行，這個平面是過確定的平面b，由且平行于a和b解析：A過b上任一點P作直線 ? ，則a不垂直時，假設(shè)存在平面b ，使b，這與，且a的唯一一個平面故排除B當a與ba、b不垂直矛盾，所以

30、當a、b不垂直時，不存在經(jīng)過b且與a垂直的平面，當a、b垂直時，過b且與a垂直的平面是唯一的，設(shè)a、b的公垂線為c，則由c和b所確定的平面與a垂直，且唯一 ? 內(nèi)，且與直線l異面，則直線l所成角為與直線，直線a在平面a438. 若直線l與平面所成的角的?3 ）取值范圍是（ 2?， 0 0， BA ?33?2?， ， C D ?3323?是平面的斜線，斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切C因為直線l解析：；又因為異面直線所成的角不大于，故選角中最小的角，故a與l所成的角大于或等于C 32?上的射影是兩條相交直線，則a和b的位置關(guān)系是（ ）均在平面 外，若a、b在平面 439

31、. 直線a、b A異面直線 B相交直線 C平行直線 D相交或異面直線 解析：D ? 外的一點，則PAB、PBCP是平面、PCD、PDA440. ABCD是平面中是直 內(nèi)的一個四邊形，角三角形的最多有（ ） A1個 B2個 C3個 D4個 解析：D作矩形ABCD，PA平面AC，則所有的三角形都是直角三角形 ?，且PFEF于F，那么線段PE、PF、PG的關(guān)系是（ ）441. 已知直線PG平面于G，直線EF APEPGPF BPGPFPE CPEPFPG DPFPEPG ?為直PG為斜邊，PF中，PGFRt在EFGF，則EFPF，EF，PG9-17如圖答C解析： 中，PF為直角邊，PE為斜邊，PEP

32、F，所以有PEPFPGPG角邊，PF在RtPFE 442. 下列命題中正確的是（ ）?a? b，則的斜線，直線b垂直于a在平面aA 若a是平面內(nèi)的射影為?a? 在平面垂直于aa內(nèi)的射影為b B若a是平面的斜線，平面，則內(nèi)的直線b?a? aa在平面，則內(nèi)的射影是平面 C若a的斜線，直線b平行于平面b，且b垂直于?a? 內(nèi)的射影b，則 D若a是平面a的斜線，b是平面b內(nèi)的直線，且垂直于a在另一個平面?是直b的結(jié)論排除A令9-18解析：C如圖答，直線b垂直于a在平面 內(nèi)的射影，但不能得出a?aa?同線a與其在b內(nèi)的射影的結(jié)論排除確定的平面，在B 內(nèi)取垂直于b的直線為，不能得出a?b?bP?，因為與P

33、內(nèi)任取點P， 確定平面b，設(shè)，則過b理排除D如圖答9-19，在?a?aabb?b/bb? 正確， ，則 b ， a于是C DABCDABC 的棱長為443. 設(shè)正方體1，則1111CB _；的距離等于A （1）到1BD ；的距離等于_ （2）A到1CDAB ）A到平面_；的距離等于（ 311CDBA 到平面的距離等于_（ 4）AB11CAEC?B?ABABACB 的中點E，取AE）連接解析：1AC，則，則，連結(jié)1111112AC?CB2C?BCE? 中， 到直線 AE為點A，的距離，在RtACE112262136222?AE2)?2()(B?AE 的距離等于即A到C ，、122222ABD?A

34、DADABAADD?3BD2?AD，=1Rt ，AB ，），（2連結(jié) 平面 在AB中，111111111BDBD?ADAB?h? ，則A設(shè)到即的距離為h1112261126BD?1?2?h?3h? ，的距離為 ，即點A到 132233 ADADAF?ADAADDAADD， CDF于，則，且AF平面 CD （3）連結(jié)平面交1111111ABCDABCDAD?2，為點A到平面， AF平面 的距離 AFAF CDAD=D1111112AD?AF 122ABCDABCD的距離等于A點， ABCD， AB平面AB到平面 ） （4 11112CDBA 到平面的距離，等于112ABCDABCD則 444.

35、已知正方體1111AD與平面ABCD所成的角等于_； （1） 1AC與平面ABCD所成的角的正切值等于_（2）； 1ADBBCC所成的角等于）_ 與平面； （3111DCBBCC所成的角等于_與平面； （4） 1111BCBBDD所成的角等于_. ）與平面 （5111DD?DADAD?DAD ， 與平面ABCD所成的角，解析：（1） 為ABCD平面1111=45 AC?21ACCC?CC?CAC，與平面 ABCD平面ABCD， ，則所成的角為設(shè)（ 2） 1111CC121?ACC?tan? 1AC22 BBCCBC/ADADADBBCCADBBCC所 平面平面 與平面， （3） 1111111

36、1111 成的角為0CDCCBBCDCBBC 與平面90所成的角為平面 4 （） ， 11111111 BHBB ABCD HADAC5 （）連結(jié)，交于連結(jié)， 平面，ABCDCH平面11BB?CHBBDDBHBCBBDD 平面 BDCH ，又 ， CH 為在平面內(nèi)的射影111111112AC?CH?2C?BDBBDH?CBBC， 所成的角設(shè)正方體棱長為為1 與平面，則1111122?CBH?30?BCBBDD所成的角為，即30與平面 1111445. 如圖9-29，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點求證：MNAB 圖9-29 解析：連結(jié)AC，取AC中點O，連結(jié)OM，

37、ON由OMBC，得OMAB又NOPA，且PAAB，故NOAB由此可得AB平面OMN因此MNAB ?4AcmAAA另b的公垂線段，為是異面直線，它們所成角為30，a、如圖446. 9-30，直線a、b有B在直線a上，且BA=2cm，求點B到直線b的距離 ?aaa?aBC/A?，于DCD于，則C，與b確定平面在平面 ，解析：如圖答9-20過作b作 內(nèi)作?A?ba?A?bBCAAaAA/?AAA?aAA?， ， 連結(jié)BD ?DaA?Ca/? ，bb CDb， BD（三垂線定理），即BD為B點到的距離BC ?A90?AB?2?CA?D?30ACDC在=1 與為異面直線ab所成的角， ，CD， 2222

38、2?17BD?17?4?1?CDBD?BC?4?ABC?A ，BCDRt中，BCD，CD，=1=90 447. 如圖9-31，SA、SB、SC三條直線兩兩垂直，點H是S在平面ABC上的射影，求證：H是ABC的 垂心 ABC H是S在平面平面SAB， ABSC SCSC解析： SA，SCSB，且SASB=S， ，由三垂線定理 ABSC 連結(jié)CH，CH為SC在平面ABC上的射影，上的射影， SH平面ABC兩條垂邊的垂線H為ABCAB的垂線同理AHBC，即AH為BC的逆定理可知CHAB，即CH為 H為垂心ABC線的交點， 求=60，BAC都是以D為直角頂點的直角三角形，且AD=BD=CD448. 如

39、圖9-32，ABD和ACD 證： 9-32 圖 ADC；1 （）BD平面 ABC內(nèi)的射影是ABC的垂心，則H為D在平面 （2）若HBC?a2aAB?AC?2由勾股定理可 BAC=60，則， =（解析：1）設(shè)AD=BD=CDa 知，BDC=90即BDDC，又 BDAD，ADDC=D， BD平面ADC （2）如圖答9-21，要證H是D在平面ABC上的射影，只需證DH平面ABD連結(jié)HA、HB、HC H是ABC的垂心， CHAB CDDA，CDBD， CD平面ABD， CDAB CH CD=C， AB平面DCH DH平面DCH， ABDH，即DHAB，同理DHBC 平面 ，=ABBCB DHABC 所

40、成的角ABP與平面PC，求直線60出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角為P是從點PC、PB、A P449. 的余弦值作PC上任取一點D，作所成的角PABDPH，則為PC與平面DH平面PAB于H9-22解析：如圖答，在內(nèi)的射影，AB、DF在平面P分別為，DEDF EH、FHDEHEPA于E，HFPB于F，連結(jié)PH，Rt DPF PE=PFDPFPB由三垂線定理可得DEPADF DPE=， DPEaPE3?在，=2EH，HPERtHPF HE=HF， PH是APB的平分線設(shè)=a，則PH=2EHaa3PE?2DP?2，PH=2aRt在DPHRtPDE中，DPE=60，DEPA， 中，DHHP，3PH2a

41、a3?2DP?DPH?cos? ， 3DPa23 . 四面體對棱長分別相等，分別是a,b,c.求體積450. 如圖).其充分條件是解析： 把四面體“嵌入”棱長為x,y,z的長方體(222?,xa?y?222y?z?b, ?222cxz?有實數(shù)解 ?222bc?ax?2?222c?b?a?y? ?2?222a?b?c?z?2?如果關(guān)于x,y,z的方程組有實數(shù)解，則四面體體積 111(xy)xyz-4Vzxyz 3232222222222)(?bb?cc)(?ab?ca?a)( 12. 對棱相等的四面體各面是全等的銳角三角形，本題采用了體積分割法，轉(zhuǎn)化法求體積說明 ?、ABCD，ABa,451.

42、如圖1，線段AB平面，線段CD平面，且平面平面，CD. ABCD的體積的距離為h，求四面體 圖1 圖2 解析：依題意可構(gòu)造一個底面對角線長為a，高為h的正四棱柱(如圖2). 2a.其體積為顯然，正四棱柱的底面邊長為 22122h. a(ha)V柱22而三棱錐CACB的體積為 1V. V柱錐6故四面體ABCD的體積為 4VV-4VV V-柱柱錐柱6112h. aV柱36說明 本題運用了“構(gòu)造輔助體”的解題技巧. 452. 求棱長為a的正方體ABCDABCD的面對角線AC與AB的距離. 1111111 解法一：連結(jié)BD，取AB的中點E，連BE交AB于M，連DE交AC于N，連MN. 1111111A

43、E1EN1， NDNE因為AC，所以111CDND2111EN1EM1，同理則. ED3EB31ENEM. .BDMN1EDEB1 、與MNABDABC為兩對角線的公垂線，由三垂線定理知都垂直，故1111 EBDEMN又13ENMN1a. 故.MN3EDBD311 CAAB111為直角三角形，由計MPNMP，則B，BN，過N作NPA于P解法二：取AM，連11113353221222Ma，A，于是+MNMa,故算，PMMNANa,PNa,故MNa.又ANA11113333331122；同理，由AAC的公垂線段，ANC.a可知MNAB故MN為AB與a,AMa,MN1111113333從而AB與AC

44、a. 的距離為1113 解法三：可轉(zhuǎn)化為求平行平面間的距離.連AD，CD，AC，BC.易知ADBC，ACAC.故平面ADC11111111111平面ABC.連BD，設(shè)與平面ADC交于M，與平面ABC交于N.因BD與圖中所示6條面對角線都1111112DD1垂直，故BD面ADC，也垂直于ABC.即MN是AC與AB的距離，在RtDDB中，DM11111111BD133a，而同理可求BNa，故 333333a-a-aa. MN333說明 上例還可以利用直線與平面平行、體積轉(zhuǎn)換等方法求解. 與對角面B上的一動點，和平面PBC平面PAD中， 在棱長為1的正方體ABCDABCDP是A453.1111111

45、1. 的最大值和最小值DABC所成的二面角的平面角分別為、，試求+11.D，P作PQEF于Q則PQ對角面ABC過對角面如圖解析：.對角面ABCDABCD，其交線為EF.111111PF. 、分別連PE AD(， PFQ三垂線定理).故由二面角的平面角定義知 ADEF，PE11 . 同理，PFQ1-x. 1)x，則PBA設(shè)Px,(0112 PQ，EQAP，QFPB112 時，有當0x122, ,tantanx2)?x(2122?tan?tan)(1?x2x2 tan(+)?tan?tan122?1?)2x2(1?x2 112?)(x?222?EF2時上式仍成立；類似地可以驗證.當x而當0tan(

46、，+)+tan()-cot-x-，EA22112取最大)時，tan(+)取最小值-2；當x0或1時，tan(+x1時，上式也成立，于是，當22. -值 0+， 又 2 (+)max-arctan2 )min-arctan2(+ 上，BDG、BC上，在對角線ABE的棱長為C 454. 如圖，已知正方體ABCDABD1，、F分別在棱1111111，DGGB1AE且BF，2，求平面EFG與底面ABCD所成的二面角的大小. 124 ，在底面GABCD上的射影為HHBD，解析：設(shè)GB2GH BDDD3112 GH3 所成的GMH，由三垂線定理知GMEF，則就是平面BFG與底面ABCDGM作HMEF于M，

47、連GH. 二面角的平面角，tanHM. 的值下面求HM. 建立如圖所示的直角坐標系，據(jù)題設(shè)可知1121) ，、F(1，)、H(E(，0)3234 的方程為直線EF1?x0?y4， 110?1240. 4x-6y-1即 由點到直線的距離公式可得211?6?4?1133 ，HM136226?44136134132tg，arctg. 1111113說明 運用解析法來求HM的值是本例的巧妙所在. 455. 如圖，平行六面體ABCDABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA長為2，且AAB111111A 則此平行六面體的體積為60AD1A即ABCD所以關(guān)鍵是求高，.由于底面是正方形，的體積，應(yīng)用公式解析

48、：一 求平行六面體ABCD1111 的距離到底面ABCD ，連結(jié)FAD，垂足分別為E、，垂足為A解法一：過點做AO平面ABCDO，過O做OEABOF11. 上的平分線AC，可知AE，AFO在BAD11AFOAAFAF AAAOcosOAFcoscos11AAAAAO11 cos60即cosAAOcos4512 cosAAO122AOsin A122 AOAAsinAAO1112 OAVS1ABCD把平行六面體分割成兩個斜三棱柱，它們等底面積、等高、如圖，平行六面體的對角面BDDB分析二 11ABD. BD體積相等，考察其中之一三棱柱A111 解法二：過B作BEAA，連結(jié)DE，可知面BDE是其直

49、截面，把斜三棱柱分割成上下兩部分，若把兩1部分重新組合，讓面ADB與面ADB重合，則得到一直棱柱，BDE是其底面，DD是其側(cè)棱，并且和1111斜三棱柱ABDABD的體積相等. 111取BD中點O，連結(jié)OE，易知 1122ODDE? BDOESBDBED223221222)()? 4222VSDD 1DEB直棱柱22V 2ABDBDA?421112VV 2ABD?AABCBD?ABCDD1111111“補”是常用的手段，另外本題分析二給出了求斜棱柱體積的另一方法：“割” 在解決體積問題時，點評 . 斜棱柱的體積直截面面積側(cè)棱長 . 平行六面體的各對角線交于一點，并且在這一點互相平分求證：(1)456. 對角線相等的平行六面體是長方體(2) DBC已知：平行六面體ABCDA1111 相交于一點，且在這點互相平分；、DB、BD、CA求證：(1)對角線AC1111. 時，該平行六面體為長方體DBBDCA(2)若AC1111 CC，BB，BB證明：(1)AA1111. CCAA11. ACC是平行四邊形對面角A11. AC相交，且互相平分CA與11. AC的中點為CA，C