11平面直角坐標系

1、一、平面直角坐標系,第一講 坐標系,1.平面直角坐標系,教學目標】 知識與技能：回顧在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法,平面直角坐標系中的坐標變換。 過程與方法：體會坐標系的作用,體會坐標變換的作用。 情感態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 【重點與難點】 重點：理解平面直角坐標系中的伸縮變換。 難點：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼? 用伸縮變換解決實際問題,1、建立平面直角坐標系 2、設點（點與坐標的對應） 3、列式（方程與坐標的對應） 4、化簡 5、說明,坐標法解決問題的步驟,聲響定位問題,某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到一

2、聲巨響，正東觀測點聽到巨響的時間比其他兩個觀測點晚4s，已知各觀測點到中心的距離都是1020m，試確定該巨響的位置。(假定當時聲音傳播的速度為340m/s，各相關點均在同一平面上,B,A,C,思考,怎樣建立直角坐標系才有利于我們解決這個問題,以接報中心為原點O，以BA方向為x軸，建立直角坐標系.設A、B、C分別是西、東、北觀測點,則 A(1020, 0), B(1020, 0), C(0, 1020,設P（x, y）為巨響的聲點,因A點比B點晚4s聽到爆炸聲,故|PA| |PB|=3404=1360,由B、C同時聽到巨響聲，得|PC|=|PB|， 故P在BC的垂直平分線PO上,PO的方程為y=

3、x,由雙曲線定義P點在以A, B為焦點的雙曲線 上,a=680, c=1020,b2=c2-a2=10202-6802=53402,所以雙曲線的方程為,用y=x代入上式，得,思考,答:巨響發(fā)生在信息中心的西偏北450, 距中心,我們以信息中心為基點，用角和距離刻畫了點P的位置。這種方法與用坐標刻畫點P的位置有什么區(qū)別和聯(lián)系？你認為哪種方法更方便,例1.已知ABC的三邊a, b, c滿足b2+c2=5a2,BE,CF分別為邊AC, CF上的中線，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼堤骄緽E與CF的位置關系,A(0, 0) , B(c, 0) , F( , 0,解：以ABC的頂點為原點,邊AB所在的直線x軸，

4、建立直角坐標系，由已知，點A、B、F的坐標分別為,所以2x2+2y2+2c2-5cx=0,由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2,即x2+y2+c2=5(x-c)2+y2,因此，BE與CF互相垂直,1）如果圖形有對稱中心，可以選擇對稱中心為坐標原點,2）如果圖形有對稱軸，可以選擇對稱軸為坐標軸,3）使圖形上的特殊點盡可能地在坐標軸上,你能建立與上述解答中不同的直角坐標系解決這個問題嗎？比較不同的直角坐標系下解決問題的過程，你認為建立直角坐標系時應注意些什么,探究,練習1. 圓O1與圓O2的半徑都是1，|O1O2|=4，過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN (M、N分

5、別為切點),使得PM= PN，試建立適當?shù)淖鴺讼担髣狱cP的軌跡方程,解：以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系,則兩圓的圓心坐標分別為O1(-2, 0)，O2(2, 0)，設P(x, y,則PM2=PO12-MO12,同理，PN2,練習2. 已知點A為定點，線段BC在定直線 l 上滑動，已知BC=4，點A到直線 l 的距離為3，求ABC的外心的軌跡方程,練習3. 用兩種以上的方法證明：三角形的三條高線交于一點,練習3. 用兩種以上的方法證明：三角形的三條高線交于一點,2. 平面直角坐標系中的 伸縮變換,思考,怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=sin2x,

6、在正弦曲線y=sinx上任取一點P(x, y),保持縱坐標不變,將橫坐標x縮為原來的1/2，就得到正弦曲線y=sin2x,上述變換實質(zhì)上就是一個坐標的壓縮變換,即：設P(x,y)是平面直角坐標系中任意一點,保持縱坐標y不變，將橫坐標x縮為原來1/2，得到點P(x, y)，坐標對應關系為,我們把式叫做平面直角坐標系中的一個坐標壓縮變換,怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sinx,在正弦曲線上任取一點P(x, y),保持橫坐標x不變，將縱坐標伸長為原來的3倍，就得到曲線y=3sinx,上述變換實質(zhì)上就是一個坐標的伸長變換,即：設P(x,y)是平面直角坐標系中任意一點,設P(x, y)是平面直

7、角坐標系中任意一點，保持橫坐標x不變，將縱坐標y伸長為原來的3倍，得到點P(x, y),坐標對應關系為,我們把式叫做平面直角坐標系中的一個坐標伸長變換,在正弦曲線y=sinx上任取一點P(x, y)，保持縱坐標不變，將橫坐標x縮為原來的1/2,怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sin2x,在此基礎上，將縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，就得到正弦曲線y=3sin2x,即在正弦曲線y=sinx上任取一點P(x,y)，若設點P(x,y)經(jīng)變換得到點為P(x, y)，坐標對應關系為,把這樣的變換叫做平面直角坐標系中的一個坐標伸縮變換,設P(x, y)是平面直角坐標系中任意一點，在變換,定義,的作用下，點P

8、(x, y) 對應P(x, y,稱 為平面直角坐標系中的伸縮變換,上述都是坐標伸縮變換，在它們的作用下,可以實現(xiàn)平面圖形的伸縮,在伸縮變換下，平面直角坐標系不變，在同一直角坐標系下進行伸縮變換,把圖形看成點的運動軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換得到,例1 在直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形 經(jīng)過伸縮變換,后的圖形,1) 2x+3y=0,2) x2+y2=1,代入 2x+3y=0,得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是,得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是,直線仍然變成直線，而圓可以變成橢圓,結論,可以變成圓？拋物線，雙曲線變成什么曲線,練習,3 將點（2，3）變成點（3，2）的伸縮變換是（,6 設M1是A1(x1, y1)與B1(x2, y2)的中點，經(jīng)過伸縮變換后, 它們分別為M2, A2, B2，求證：M2是A2B2的中點,7 在同一直角坐標系下，求滿足下列圖形的伸