11平面直角坐標(biāo)系

1、一、平面直角坐標(biāo)系,第一講 坐標(biāo)系,1.平面直角坐標(biāo)系,教學(xué)目標(biāo)】 知識(shí)與技能：回顧在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法,平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變換。 過(guò)程與方法：體會(huì)坐標(biāo)系的作用,體會(huì)坐標(biāo)變換的作用。 情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。 【重點(diǎn)與難點(diǎn)】 重點(diǎn)：理解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換。 難點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系, 用伸縮變換解決實(shí)際問(wèn)題,1、建立平面直角坐標(biāo)系 2、設(shè)點(diǎn)（點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)） 3、列式（方程與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)） 4、化簡(jiǎn) 5、說(shuō)明,坐標(biāo)法解決問(wèn)題的步驟,聲響定位問(wèn)題,某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽到一

2、聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽到巨響的時(shí)間比其他兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)晚4s，已知各觀測(cè)點(diǎn)到中心的距離都是1020m，試確定該巨響的位置。(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s，各相關(guān)點(diǎn)均在同一平面上,B,A,C,思考,怎樣建立直角坐標(biāo)系才有利于我們解決這個(gè)問(wèn)題,以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，以BA方向?yàn)閤軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn),則 A(1020, 0), B(1020, 0), C(0, 1020,設(shè)P（x, y）為巨響的聲點(diǎn),因A點(diǎn)比B點(diǎn)晚4s聽到爆炸聲,故|PA| |PB|=3404=1360,由B、C同時(shí)聽到巨響聲，得|PC|=|PB|， 故P在BC的垂直平分線PO上,PO的方程為y=

3、x,由雙曲線定義P點(diǎn)在以A, B為焦點(diǎn)的雙曲線 上,a=680, c=1020,b2=c2-a2=10202-6802=53402,所以雙曲線的方程為,用y=x代入上式，得,思考,答:巨響發(fā)生在信息中心的西偏北450, 距中心,我們以信息中心為基點(diǎn)，用角和距離刻畫了點(diǎn)P的位置。這種方法與用坐標(biāo)刻畫點(diǎn)P的位置有什么區(qū)別和聯(lián)系？你認(rèn)為哪種方法更方便,例1.已知ABC的三邊a, b, c滿足b2+c2=5a2,BE,CF分別為邊AC, CF上的中線，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系探究BE與CF的位置關(guān)系,A(0, 0) , B(c, 0) , F( , 0,解：以ABC的頂點(diǎn)為原點(diǎn),邊AB所在的直線x軸，

4、建立直角坐標(biāo)系，由已知，點(diǎn)A、B、F的坐標(biāo)分別為,所以2x2+2y2+2c2-5cx=0,由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2,即x2+y2+c2=5(x-c)2+y2,因此，BE與CF互相垂直,1）如果圖形有對(duì)稱中心，可以選擇對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn),2）如果圖形有對(duì)稱軸，可以選擇對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,3）使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能地在坐標(biāo)軸上,你能建立與上述解答中不同的直角坐標(biāo)系解決這個(gè)問(wèn)題嗎？比較不同的直角坐標(biāo)系下解決問(wèn)題的過(guò)程，你認(rèn)為建立直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)注意些什么,探究,練習(xí)1. 圓O1與圓O2的半徑都是1，|O1O2|=4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN (M、N分

5、別為切點(diǎn)),使得PM= PN，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,解：以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,則兩圓的圓心坐標(biāo)分別為O1(-2, 0)，O2(2, 0)，設(shè)P(x, y,則PM2=PO12-MO12,同理，PN2,練習(xí)2. 已知點(diǎn)A為定點(diǎn)，線段BC在定直線 l 上滑動(dòng)，已知BC=4，點(diǎn)A到直線 l 的距離為3，求ABC的外心的軌跡方程,練習(xí)3. 用兩種以上的方法證明：三角形的三條高線交于一點(diǎn),練習(xí)3. 用兩種以上的方法證明：三角形的三條高線交于一點(diǎn),2. 平面直角坐標(biāo)系中的 伸縮變換,思考,怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=sin2x,

6、在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)P(x, y),保持縱坐標(biāo)不變,將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)的1/2，就得到正弦曲線y=sin2x,上述變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的壓縮變換,即：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn),保持縱坐標(biāo)y不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)1/2，得到點(diǎn)P(x, y)，坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為,我們把式叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)壓縮變換,怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sinx,在正弦曲線上任取一點(diǎn)P(x, y),保持橫坐標(biāo)x不變，將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，就得到曲線y=3sinx,上述變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的伸長(zhǎng)變換,即：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn),設(shè)P(x, y)是平面直

7、角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，保持橫坐標(biāo)x不變，將縱坐標(biāo)y伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，得到點(diǎn)P(x, y),坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為,我們把式叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸長(zhǎng)變換,在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)P(x, y)，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)的1/2,怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sin2x,在此基礎(chǔ)上，將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，就得到正弦曲線y=3sin2x,即在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)P(x,y)，若設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)變換得到點(diǎn)為P(x, y)，坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為,把這樣的變換叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸縮變換,設(shè)P(x, y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，在變換,定義,的作用下，點(diǎn)P

8、(x, y) 對(duì)應(yīng)P(x, y,稱 為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換,上述都是坐標(biāo)伸縮變換，在它們的作用下,可以實(shí)現(xiàn)平面圖形的伸縮,在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不變，在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換,把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到,例1 在直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形 經(jīng)過(guò)伸縮變換,后的圖形,1) 2x+3y=0,2) x2+y2=1,代入 2x+3y=0,得到經(jīng)過(guò)伸縮變換后的圖形的方程是,得到經(jīng)過(guò)伸縮變換后的圖形的方程是,直線仍然變成直線，而圓可以變成橢圓,結(jié)論,可以變成圓？拋物線，雙曲線變成什么曲線,練習(xí),3 將點(diǎn)（2，3）變成點(diǎn)（3，2）的伸縮變換是（,6 設(shè)M1是A1(x1, y1)與B1(x2, y2)的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)伸縮變換后, 它們分別為M2, A2, B2，求證：M2是A2B2的中點(diǎn),7 在同一直角坐標(biāo)系下，求滿足下列圖形的伸