非常好雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

1、雙曲線的性質(zhì),雙曲線的標準方程,復(fù) 習(xí),Y,X,F1,F2,A1,A2,B1,B2,焦點在x軸上的雙曲線圖像,2.對稱性,1.范圍,關(guān)于x軸、y軸和原點都是對稱,x軸、y軸是雙曲線的對稱軸，原點是對稱中心， 又叫做雙曲線的中心,x,-y,x,y,x,y,x,-y,課堂新授,3.頂點,1）雙曲線與對稱軸的交點，叫做雙曲線的頂點,4、離心率,e是表示雙曲線開口大小的一個量,e越大開口越大,1）定義,2）e的范圍,3）e的含義,5. e的幾何意義,x,y,o,a,b,c,b,a,c,A1,D,D,A1,在雙曲線中e越大,開口越大,A1,A2,B1,B2,a,b,c,幾何意義,思考,規(guī)定,6.雙曲線的

2、漸近線,兩種雙曲線的漸近線方程，怎樣統(tǒng)一記憶,7.雙曲線的畫法,定頂點,畫矩形,畫漸近線,畫雙曲線,方程是,漸近線方程為 _ _,定義：實軸與虛軸等長的雙曲線,x 2 y 2 = k (k 0,8.等軸雙曲線,離心率 e = _,8.等軸雙曲線,9.共軛雙曲線,焦點在x軸上,焦點在y軸上,實軸長=2a、虛軸長=2b,實軸長=2b、虛軸長= 2a,共軛雙曲線的焦點共圓,以已知雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線叫原 雙曲線的共軛雙曲線，求證： (1)雙曲線和它的共軛雙曲線有共同的漸近線； (2)雙曲線和它的共軛雙曲線的四個焦點在同一個圓上,Y,X,A1,A2,B1,B2,F1,F2,o,F2,

3、F1,證明:(1)設(shè)已知雙曲線的方程是,則它的共軛雙曲線方程是,漸近線為,漸近線為,可化為,故雙曲線和它的共軛雙曲線有共同的漸近線,2)設(shè)已知雙曲線的焦點為F(c,0),F(-c,0,它的共軛雙曲線的焦點為F1(0,c), F2(0,-c,c=c,所以四個焦點F1, F2, F3, F4在同一個圓,問:有相同漸近線的雙曲線方程一定是共軛雙曲線嗎,例1 :求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長,虛半軸長, 焦點坐標,離心率,漸近線方程。（教材58頁例3,解：把方程化為標準方程,可得:實半軸長a=4,虛半軸長b=3,焦點坐標是(0,-5),(0,5,離心率,漸近線方程,例題講解,所以c=5,關(guān)

4、于x軸、y軸、原點對稱,圖形,方程,范圍,對稱性,頂點,離心率,A1（- a，0），A2（a，0,B1（0，-b），B2（0，b,F1(-c,0) F2(c,0,關(guān)于x軸、y軸、原點對稱,A1（- a，0），A2（a，0,漸進線,無,關(guān)于x軸、y軸、原點對稱,圖形,方程,范圍,對稱性,頂點,離心率,A1（- a，0），A2（a，0,A1（0，-a），A2（0，a,關(guān)于x軸、y軸、原點對稱,漸進線,F2(0,c) F1(0,-c,4,6,0,練習(xí)題:填表,方程,實軸長,虛軸長,范圍,頂點,焦點,離心率,漸近線,所表示的雙曲線有如下結(jié)論： （1）有相同的頂點 （2）有相同的焦點 （3）有相同的離心

5、率 （4）有相同的漸近線 其中正確的是 ( ) A. （1）（4）B. （2）（4） C. （3）（4）D. （4,結(jié)論,C,記住,例3、雙曲線的虛軸長、實軸長、焦距成等差數(shù)列，右準線方程是 x =1.且經(jīng)過點A（2，2）.（1）求雙曲線的離心率e; (2)雙曲線右焦點的軌跡方程,3、教材61頁練習(xí)2-4，習(xí)題A組3、4、6,教材58頁例4,課堂練習(xí),錯了,1、“共漸近線”的雙曲線,0表示焦點在x軸上的雙曲線；0表示焦點在y軸上的雙曲線,2、“共焦點”的雙曲線,例5 :求下列雙曲線的標準方程,例題講解,法二：巧設(shè)方程,運用待定系數(shù)法. 設(shè)雙曲線方程為,法二：設(shè)雙曲線方程為,解之得k=4,回顧：

6、橢圓的第二定義,橢圓的第二定義：動點到定點的距離與動點到定直線的距離的比為定值e （0e1)，則動點的軌跡是橢圓,雙曲線的第二定義：動點到定點的距離與動點到定直線的距離的比為定值e （e1)，則動點的軌跡是雙曲線,x,y,l,解：設(shè)d是點P到直線的距離根據(jù)題意得,令,雙曲線的第二定義,定點為雙曲線的焦點，定直線為雙曲線相對應(yīng)于此焦點的準線，常數(shù)e為雙曲線的離心率,2. 準線方程,兩準線間的距離是,3. 焦半徑公式,重在理解，關(guān)鍵用第二定義,A,變式1：點P到左準線的距離多少,13或13/5,反思：為什么原題及變式1只有一解,變式：求|PA|+|PF|的最小值,F1,x,R,B,PF1|=a+e

7、x0, |PF2|=ex0-a,a+ex0=4(ex0- a,總結(jié),1、雙曲線的第一定義與第二定義是等價的，可以互相推出，雙曲線的離心率是焦距與實軸長的比，雙曲線上的點到焦點 的距離與這點到相應(yīng)準線的距離的比也是離心率。這也是雙曲線的一個幾何性質(zhì),2、求雙曲線方程要根據(jù)具體條件具體對待，確定焦點 的位置很重要的,3、把雙曲線的性質(zhì)分焦點在x軸上和焦點在y軸上進行歸納總結(jié),5、注意等軸雙曲線和共軛雙曲線的概念、特征、性質(zhì),4、注意雙曲線的性質(zhì)與橢圓的性質(zhì)的比較,直線和雙曲線的位置關(guān)系,直線與雙曲線位置關(guān)系(從“形”角度研究,相交,相切,相離,有兩個公共點,有一個公共點,只有一個公共點,沒有公共點

8、,在同一支,分別在兩支,直線與漸近線平行,注意：直線與雙曲線只有一個公共點，情況有兩種，與橢圓不同,位置關(guān)系與交點個數(shù),相離:0個交點,相交:一個交點,相交:兩個交點,相切:一個交點,b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0,1.二次項系數(shù)為0時，L與雙曲線的漸近線平行或重合。 重合：無交點；平行：有一個交點,2.二次項系數(shù)不為0時,上式為一元二次方程,相切一點: =0 相 離: 0,直線與雙曲線的位置關(guān)系,特別注意： 直線與雙曲線的位置關(guān)系中,一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支,練習(xí)：求下列直線與雙曲線的交點坐標,1,2,3,4,無解,例1 如果直線y=kx-1

9、與雙曲線x2-y2=4沒有公共點，求 k的取值范圍,即此方程無解,引申：（1）如果直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4有兩個公共 點，求k的取值范圍,直線與雙曲線位置關(guān)系(從“數(shù)”角度研究,問: k1有何幾何意義,2）如果直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4的右支有兩個公共 點，求k的取值范圍,此時等價于（1）式方程有兩個不等的正根，則,左支,兩支都有,實際上，0可省略，為什么,引申：（3）如果直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4只有一個公 共點，求k的值,即此方程只有一解,直線與雙曲線只有一個公共點有兩種情況,直線平行漸近線,直線與雙曲線相切,注意：極易疏忽,解題回顧,根據(jù)直線與已知雙

10、曲線公共點的個數(shù)，求直線斜率k的取值范圍問題的方法,有兩個或沒有公共點時，根據(jù)雙曲線聯(lián)立 后的一元二次方程的判別式或根的分布來判斷,1,有一個公共點時，考慮一元二次方程的二次項系數(shù)為零和判別式等于零兩種情況,2,利用數(shù)形結(jié)合，求出漸近線和切線斜率，利用圖形觀察直線變化時與曲線交點的情況確定k的取值范圍,練習(xí)1、 若過雙曲線3x2-y2=3的右焦點F2，作直線l 與雙曲線的兩支都相交，則直線l 的傾斜角的取值范圍是,變式：在上題中，若l 與雙曲線在第一象限內(nèi)有交點，則l 的斜率的取值范圍是,數(shù)形結(jié)合，可以快捷解題,2.雙曲線x2-y2=1的左焦點為F,點P為左支下半支上任意一點 (異于頂點),則

11、直線PF的斜率的變化范圍是_,例2 直線y=kx+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A、B兩點，當 k為何值時，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點,因為直線與雙曲線交于A、B兩點,設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則,而以AB為直徑的圓過原點，則OAOB，即x1x2+y1y2=0,過點P(1,1)與雙曲線,只有,共有_條,變題:將點P(1,1)改為 1.A(3,4) 2.B(3,0) 3.C(4,0) 4.D(0,0).答案又是怎樣的,4,1.兩條;2.三條;3.兩條;4.零條,交點的,一個,直線,1，1,練習(xí),1、直線與雙曲線的位置關(guān)系,相交有兩個公共點，0 有一個公共點（直線與漸近線平行或二次

12、方程的二次項系數(shù)為零,相切 有一個公共點， = 0,相離 沒有公共點， 0,小結(jié),注意二次曲線、二次方程、二次函數(shù)三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，直線與雙曲線的位置關(guān)系通常是轉(zhuǎn)化為二次方程，運用判別式、根與系數(shù)關(guān)系二次方程實根分布原理來解決,2,判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序,把直線方程代入雙曲線方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直線與雙曲線的 漸近線平行,相交（一個交點,計 算 判 別 式,例3、過雙曲線 的右焦點 傾斜角為 的直線交雙曲線于A，B兩點，求|AB|。（教材60 頁例6,例4雙曲線3x2-y2=3的左、右焦點分別為F1F2， (1)過左焦點F1作傾斜角為30的弦AB，弦長| A

13、B| ; (2)已知直線y=kx-1交雙曲線左右兩支,求k的范圍; (3)F2AB的周長（F2為雙曲線的右焦點,4)過雙曲線左焦點F1作直線l 交雙曲線于A、B兩點， 若|AB|=6, 則這樣的直線有幾條,解題回顧,求直線與雙曲線弦長方法,利用公式,1,和根與系數(shù)關(guān)系求弦長,若直線過焦點則可考慮利用第二定義,將弦長轉(zhuǎn)化為弦的端點到相應(yīng)準線距離的和與離心率的乘積,在應(yīng)用時要注意區(qū)分兩種情形,2,如果兩點在同一支上,那么,見圖一,如果兩交點分別在兩支上,那么,見圖二,A,B,F1,圖1,F1,A,B,圖2,x,x,y,y,焦點弦的最小值問題”的有關(guān)結(jié)論,1)當弦的兩端分別在雙曲線的兩支時,實軸就是

14、最短弦，其長為2a,2)當弦的兩端同在雙曲線的一支時,A(x1,y1,B(x2,y2,F(c, 0,引申: 過雙曲線3x2-y2=3左焦點F作直線l 交雙曲線于A、B兩點，若|AB|=6, 則這樣的直線有（） A.1條B.2條C.3條D.4條,例5.已知雙曲線的方程為 求以P(2,1)為中點的弦MN所在的直線方程. 試問是否存在被點B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直線方程，如果不存在說明理由,1) 4x-y-7=0,2) 2x-y-1=0,3)過點P(2,1)的直線l與所給雙曲線交于C,D兩 點,求線段CD中點M的軌跡方程,3) 4x-y-7=0,對于此類問題,常用點差法和方程討論法,但點要注意對檢驗,二.弦的中點問題(韋達定理與點差法,假設(shè)存在這樣的弦,不存在這樣的弦,k不存在顯然不合題意,設(shè)弦所在的直線方程為,并且交雙曲線于C(x1,y1) ,D(x2,y2,方程討論法,中點弦問題的解決思路: （1）通過聯(lián)列方程組，消去一個變量轉(zhuǎn)化成一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求斜率. （2）利用點差