初中三角形知識點(diǎn)教學(xué)提綱

1、復(fù)習(xí)回顧三角形的相關(guān)知識命題人：李發(fā) 知識點(diǎn)一：三角形 1、三角形的定義：是由三條線段首尾順次相接所組成的平面圖形叫做三角形. 2、組成三角形的元素：三條邊和三個(gè)角 3、三角形的分類 三角形按邊的關(guān)系分類如下： 不等邊三角形? ?三角形底邊和腰不相等的等腰三角形（一般等腰三角形）?等腰三角形?底邊和腰相等的等腰三角形（等邊三角形或正三角形）?三角形按角的關(guān)系分類如下： 直角三角形（有一個(gè)角是直角的三角形）? ?三角形銳角三角形（三個(gè)角都是銳角的三角形）?斜三角形?鈍角三角形（有一個(gè)角是鈍角的三角形）?把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形，它是兩條直角邊相等的直角三角形.

2、 4、三角形的性質(zhì) 三角形三邊關(guān)系定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊且任意兩邊之差小于第三邊. ?三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180. ?三角形的外角和定理：三角形的三個(gè)外角和等于360. 三角形的內(nèi)外角定理：互補(bǔ)關(guān)系：三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)； 相等關(guān)系：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來兩個(gè)內(nèi)角的和. 不等關(guān)系：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角. 三角形的邊角關(guān)系：在同一個(gè)三角形中：大邊對大角，等邊對等角，小邊對小角；反之，大角對大邊，等角對等邊，小角對小邊也成立. 1、三角形的面積：三角形的面積5?高底 2 知識點(diǎn)二：等腰三角形 . 1、等腰三角形：

3、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形 2、等腰三角形的性質(zhì)定理及推論： 性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊推論1. 上的高三線合一. 60推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于 、三角形中的中位線3. 三角形中的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線; 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半 三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行；數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系； 常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：; 結(jié)論1：三

4、條中位線組成一個(gè)三角形，其周長為原三角形周長的一半; ：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形結(jié)論2; 3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形結(jié)論; ：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分4結(jié)論; 結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等 知識點(diǎn)三：直角三角形 1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余；30? 角所對的直角邊等于斜邊的一半；2、在直角三角形中， 3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；cb、a222的平方，即4、直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊c?a?b ABCD?AC?BC? 、常用關(guān)系式：由三角形面積公式可得：5 、直角三角形的射影

5、定理6從一定向一直線所引垂線的垂足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影；一條線段在直線上的正射影，是指線段的兩個(gè)端點(diǎn)在這條直線上的正射影間的線段.點(diǎn)和線段的正射影簡稱為射影 直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)； 推論：直角三角形中其中一條直角邊是該直角邊在斜邊上的射影與斜邊的比例中項(xiàng).即2?AD?BDCD ?90?ACB?2ABAD?AC? ABCD?2AB?BC?BD? 知識點(diǎn)四：全等三角形 1、全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形； 2、三角形全等的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等； 3、全等三角形的判定定理： SAS”）邊角

6、邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“ AAS”；角角邊定理：任意兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“ ASA”） 角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“SSS”）； 邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“HL：定理（斜邊、直角邊定理）直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL”）有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“ 4、全等變換：只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換； 全

7、等變換包括一下三種： 平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換； 對稱變換：將圖形沿某直線翻折180，這種變換叫做對稱變換； 旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換； 知識點(diǎn)五：相似三角形 a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，1、比例線段的概念：對于四條線段ac即?a:b=c:d）那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段（或 bd注意：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位 當(dāng)兩個(gè)比例式的每一項(xiàng)都對應(yīng)相同，兩個(gè)比例式才是同一比例式 bdadc,b,的第四比例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為：是比例線段是有順序

8、的，如果說? ca 、比例的性質(zhì)2b?c?cb?c?aabcad?c:da:b2(2)基本性質(zhì)：(1)；: acbd：)(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換反比性質(zhì)? bdacb?ad?c?aca?bc?d?合比性質(zhì)：等等 ?ca?發(fā)生同樣和差變化比例仍成立如：ca? ?bdbd c?da?bdb? c?bd?a?acema?c?e?ma?(b?d?f?n?0)等比性質(zhì)：如果 ?，那么 bdfnb?d?f?nbad?bc，除注意：實(shí)際上，由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如a:b?c:da:c?b:db:a?d:cc:a?d:bd:c?b:ac:?adbbdc:?a:，還可化為

9、，了可化為，d:b?c:a 類型 斜三角形 直角三角形 SASSSSAASASAHL 全等三角形的判定 ） （ 3、比例線段的有關(guān)定理 平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等. 推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.（三角形中位線定理的逆定理） 推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰.（梯形中位線定理的逆定理） 平行線等分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例 推論：(1)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例 平行于三角形一邊且和其它兩邊相交的直

10、線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例(2)那么這條直線平行于三角形第)如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線所得的對應(yīng)線段成比例，定理： 三邊 4、相似三角形相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似三角形的定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形. 相似比（或相似系數(shù)） 注意： 1）相似三角形是相似多邊形中的一種；（ 2）應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來理解相似三角形；（ 3）相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣，但大小可以不同；（ ；（4）相似用“”表示，讀作“相似于” ）相似三角形的對應(yīng)邊之比叫做相似比（5 相似三角形的判定方法 所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例預(yù)備定理：平行

11、于三角形一邊并且和其它兩邊相交的直線， 定理的基本圖形語言： ADE?ABC?DE/BC 數(shù)學(xué)符號語言：簡述為：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似1判定定理：. 兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似：如果一個(gè)三角的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相判定定理2. 似簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似：如果一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似簡述判定定理3. 為：三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似 ：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似判定定理4 三角形相似

12、的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：比邊對應(yīng)成兩一條直角邊與斜邊對應(yīng)成比例兩角對應(yīng)相等三邊對應(yīng)成比例 相似三角形的判定 例夾角相等從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對應(yīng)邊相等”的條件改為“對應(yīng)邊成比例”就可得到相似三角形的判定定理，這就是我們數(shù)學(xué)中的用類比的方法，在舊知識的基礎(chǔ)上找出新知識并從中探究新知識掌握的方法. 相似三角形的性質(zhì)定理：（1）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比； （2）相似三角形的周長比等于相似比； （3）相似三角形的面積比等于相似比的平方； （4）相似三角形內(nèi)切圓與外接圓的直徑比、周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方. 相

13、似三角形的等價(jià)關(guān)系 ?ABC?ABC?ABC有 (1)反身性：對于任一 ?ABC?ABC?ABC?ABC ，則 (2)對稱性：若?CBCA?ABCB?ACBA?ABC?BCA?，則(3)傳遞性：若 ，且相似直角三角形 引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的線段成比例，那么這兩條直線平行于三角形的第三邊.（與三角形的中位線定理類似） 定理：如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形相似. 定理：如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似. 定理：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一直邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似. 經(jīng)過歸納和總結(jié)，相似三

14、角形有以下幾種基本類型 DEADEABCBC ，則平行線型：常見的有如下兩種，ADEADE CBCB 2221230?cos 1 222?1=?B?AADEABC ，則由公共角相交線型：常見的有如下四種情形，如圖，已知得，AAE1DCEB 1CBD?1=?B?A?B?DACBADC，則由對頂角得，則由公共角如下左圖，已知；如下右圖，已知ABCADE?2?1? 得，AEDD2A11 CBCB33?不存在1 tan0 3?B?DADEABC?CAE?BAD，下圖為常見的基本圖形 旋轉(zhuǎn)型：已知，則AED BCACB90ABCD?母子型：已知?，ACDABCCBD ，則C BAD 解決相似三角形問題，關(guān)鍵是要善于從復(fù)雜的圖形中分解出（構(gòu)造出）上述基本圖形 知識點(diǎn)六：銳角三角函數(shù)的概念（建立在直角三角形的基礎(chǔ)之上） 1、如圖，在ABC中，C=90b?A的鄰邊?A的對邊acossin ；?AA?c斜邊斜邊cb的鄰邊A的對邊a?A?tanc