(最新整理)數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)

1、(完整)數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)(完整)數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí) 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時(shí)也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺得對您有幫助請收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績進(jìn)步，以下為(完整)數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)的全部內(nèi)容。2016計(jì)算方法復(fù)習(xí)務(wù)必通過本提綱例子和書上例子掌握如下書本內(nèi)容:1. 會(huì)高斯消去法;會(huì)矩陣三角分解法；會(huì)choles

2、ky分解的平方根法求解方程組2. 會(huì)用插值基函數(shù);會(huì)求lagrange, 會(huì)計(jì)算差商和newton插值多項(xiàng)式和余項(xiàng)3. 會(huì)jacobi迭代、gaussseidel迭代的分量形式,迭代矩陣，譜半徑，收斂性4. 會(huì)寫非線性方程根的newton 迭代格式；斯蒂芬森加速5. 會(huì)用歐拉預(yù)報(bào)校正法和經(jīng)典四階龍格庫塔法求解初值問題6. 會(huì)最小二乘法多項(xiàng)式擬合7. 會(huì)計(jì)算求積公式的代數(shù)精度；(復(fù)化)梯形公式和（復(fù)化）辛普生公式求積分;高斯-勒讓德求積公式第1章、數(shù)值計(jì)算引論(一)考核知識點(diǎn)誤差的來源類型；絕對誤差和絕對誤差限，相對誤差和相對誤差限，有效數(shù)字；誤差的傳播.（二） 復(fù)習(xí)要求1。了解數(shù)值分析的研究對

3、象與特點(diǎn)。2.了解誤差來源與分類，會(huì)求有效數(shù)字； 會(huì)簡單誤差估計(jì).3。了解誤差的定性分析及避免誤差危害。（三）例題例1. 設(shè)x=0。231是精確值x=0。229的近似值,則x有2位有效數(shù)字。例2. 為了提高數(shù)值計(jì)算精度， 當(dāng)正數(shù)充分大時(shí)， 應(yīng)將改寫為 。例3。 的相對誤差約是的相對誤差的1/3 倍。第2章、非線性方程的數(shù)值解法(一）考核知識點(diǎn)對分法；不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂性;收斂速度； 迭代收斂的加速方法；埃特金加速收斂方法;steffensen斯特芬森迭代法；牛頓法；弦截法。（二) 復(fù)習(xí)要求1.了解求根問題和二分法。2。了解不動(dòng)點(diǎn)迭代法和迭代收斂性；了解收斂階的概念和有關(guān)結(jié)論。3。理解掌握加速

4、迭代收斂的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4.掌握牛頓法及其收斂性、下山法， 了解重根情形。5.了解弦截法。（三）例題1.為求方程x3x21=0在區(qū)間1。3,1.6內(nèi)的一個(gè)根,把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是（ )（a） （b)（c) (d)迭代公式解:在（a）中,=1.076故迭代發(fā)散。應(yīng)選擇(a）。可以驗(yàn)證在(b)，(c）， （d）中，j(x)滿足,迭代收斂。2。用newton法求方程在區(qū)間內(nèi)的根, 要求。解 此方程在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)根，而且在區(qū)間（2，4）內(nèi).設(shè)則 , newton法迭代公式為， 取,得. 3設(shè)可微，求方程根的newton迭代格式為4。 牛頓切線法是

5、用曲線f（x）上的點(diǎn)的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐步逼近f(x）0的解；而弦截法是用曲線f(x）上的；兩點(diǎn)的連線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐步逼近f(x)0的解。5。 試確定常數(shù)使迭代公式 。產(chǎn)生的序列收斂到,并使收斂階盡量高.解 因?yàn)榈瘮?shù)為,而.根據(jù)定理知，要使收斂階盡量高，應(yīng)有，,由此三式即可得到所滿足的三個(gè)方程為： ，,.解之得，,且，故迭代公式是三階收斂的.p25。例24p30。例26p33.例28p35例210p35.例2-11p38.例213p39。例214p41.例216p45。例218p48.例220第3章、線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法（一)考核知識點(diǎn)高斯消去法，列主元消去法；矩陣三角

6、分解法；平方根法；追趕法；迭代法的基本概念，雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法，超松弛迭代法sor，迭代解數(shù)列收斂的條件。（二） 復(fù)習(xí)要求1。了解矩陣基礎(chǔ)知識，了解向量和矩陣的幾種范數(shù)。2。掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。4。掌握直接三角分解法,平方根法，了解追趕法,了解有關(guān)結(jié)論。5.了解矩陣和方程組的性態(tài)，會(huì)求其條件數(shù)。6.了解迭代法及其收斂性的概念。7。掌握雅可比(jacobi)迭代法、高斯-賽德爾（gauss-seidel）迭代法和超松弛（sor)迭代法。(三）例題1.分別用順序gauss消去法和直接三角分解法(杜利脫爾分解)求解線性方程組解：1) gauss消去法,回代 x3=3

7、, x2=2， x1=12） 直接三角分解法（杜利脫爾分解）：=lu解ly=b得y=(14,-10,72）t解，ux=y得x=（1，2，3）t2. 用平方根法(cholesky分解）求解方程組：解：由系數(shù)矩陣的對稱正定性,可令，其中l(wèi)為下三角陣。求解可得，求解可得3.討論的jacobi迭代和gaussseidel迭代的收斂性其中，解:jacobi迭代法的迭代矩陣則jacobi迭代收斂gaussseidel迭代矩陣gaussseidel迭代發(fā)散.4.已知方程組，其中,（1)列出jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法的分量形式;(2)討論上述兩種迭代法的收斂性。解：(1）jacobi迭

8、代法： jacobi迭代矩陣: 收斂性不能確定 （2）gaussseidel迭代法： gauss-seidel迭代矩陣: 該迭代法收斂 5. 給定方程組，用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法是否收斂？解：由系數(shù)矩陣可知,（1)雅可比迭代矩陣為,由可知，因而雅可比迭代法發(fā)散。（2)高斯塞德爾迭代矩陣為，由可知，因而高斯-塞德爾迭代法收斂。p68.例3-3p68。例3-4p72.例35p76.例37p77。例3-8p78。例3-9p79。例3-10p88.例315p89.例3-16p91.例317p98.例324p110.例330p111.例3-31p118.例336第4章、插值法(一）考核知識點(diǎn)插

9、值多項(xiàng)式，插值基函數(shù)，拉格朗日插值多項(xiàng)式，差商及其性質(zhì)，牛頓插值多項(xiàng)式,差分與等距插值；分段線性插值；樣條函數(shù)，三次樣條插值函數(shù).(二） 復(fù)習(xí)要求1。了解插值的概念.2.掌握拉格朗日（lagrange）插值法及其余項(xiàng)公式。3。了解均差的概念及基本性質(zhì)，掌握牛頓插值法。4.了解差分的概念，會(huì)牛頓前插公式、后插公式.5。了解埃爾米特(hermite）插值及其余項(xiàng)公式.6。知道高次插值的病態(tài)性質(zhì),會(huì)分段線性插值和分段埃爾米特插值及其誤差和收斂性。7.會(huì)三次樣條插值,知道其誤差和收斂性。（三）例題例1. 設(shè)，則-x（x2),的二次牛頓插值多項(xiàng)式為;例2。 設(shè)l0（x）,l1(x),l2(x),l3(x

10、）是以x0,x1，x2,x3為互異節(jié)點(diǎn)的三次插值基函數(shù)，則= 例3. 給定數(shù)據(jù)表：，1246741011求4次牛頓插值多項(xiàng)式，并寫出插值余項(xiàng).解：一階差商二階差商三階差商四階差商142134061710由差商表可得4次牛頓插值多項(xiàng)式為：，插值余項(xiàng)為。例4 已知函數(shù)y=f(x)的觀察數(shù)據(jù)為xk2045yk5131試構(gòu)造f(x)的拉格朗日多項(xiàng)式pn （x）,并計(jì)算f(1）。解 先構(gòu)造基函數(shù) 所求三次多項(xiàng)式為p3(x)= p3(1)例5。 已知一組觀察數(shù)據(jù)為012123試用此組數(shù)據(jù)構(gòu)造lagrange插值多項(xiàng)式, 并求。解: ，所以 =，。例6。，求，.解:，p130。例4-4p131。例45p13

11、3。例47p135。例4-10p142。例413p143.例4-14p145。例415第5章、曲線擬合(一）考核知識點(diǎn)勒讓德多項(xiàng)式；切比雪夫多項(xiàng)式；曲線擬合； 最小二乘法,正則方程組，線性擬合，超定方程組的最小二乘解，多變量的數(shù)據(jù)擬合，多項(xiàng)式擬合;正交多項(xiàng)式曲線擬合.(二) 復(fù)習(xí)要求1。了解函數(shù)逼近的基本概念，了解范數(shù)和內(nèi)積空間.2.了解正交多項(xiàng)式的概念,了解切比雪夫多項(xiàng)式和勒讓德多項(xiàng)式以及它們的性質(zhì),知道其他常用正交多項(xiàng)式。3。了解曲線擬合的最小二乘法并會(huì)計(jì)算，了解用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合。（三）例題1已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘

12、法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)相擬合，并求均方誤差。解：由題意,，.故法方程為，解得。均方誤差為2. 給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0。10.10.40.91.6試用三次多項(xiàng)式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù).解 ， 正則方程 的解為，,， 得到三次多項(xiàng)式p174.例5-1p176.例53p178。例55p180.例56p181.例57p182.例5-8第6章、數(shù)值積分與數(shù)值微分（一)考核知識點(diǎn)代數(shù)精度；插值型求積公式，牛頓柯特斯公式，梯形公式和辛普森公式, 復(fù)合求積公式，求積公式的誤差，步長的自動(dòng)選擇，龍貝格求積公式，高斯型求積公式。（二點(diǎn)、三點(diǎn))高斯勒讓德求積公式。(二） 復(fù)習(xí)要求1。了解

13、數(shù)值求積的基本思想、代數(shù)精度的概念、插值型求積公式及其代數(shù)精度、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性。2.掌握牛頓-柯特斯公式及其性質(zhì)和余項(xiàng)； 梯形公式和辛普生公式.3. 掌握復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式及其余項(xiàng)。4. 掌握龍貝格(romberg）求積算法.5.會(huì)高斯求積公式。（三)例題1用下列方法計(jì)算積分，并比較結(jié)果。(1）龍貝格方法； (2）三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式。解： (1)采用龍貝格方法可得k01.33333311。1666671。09925921。1166671。1000001.09925931.1032111.0987261。0986411.09861341.0997681。0986201.098

14、6131.0986131.098613故有(2)采用高斯公式時(shí) 此時(shí) 令則利用三點(diǎn)高斯公式,則利用五點(diǎn)高斯公式，則2。用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式計(jì)算下列積分:； n=8；解：。精確值為。p200.例65p205。例6-8p207。例69p210.例6-11p213。例612p214.例6-13p216.例614p219。例6-15p225。例617，例618第7章、常微分方程初值問題的數(shù)值解法(一)考核知識點(diǎn)歐拉法, 后退歐拉法；梯形公式; 改進(jìn)歐拉法;龍格庫塔法，局部截?cái)嗾`差。(二) 復(fù)習(xí)要求1。掌握歐拉法和改進(jìn)的歐拉法，知道其局部截?cái)嗾`差。2。 知道龍格庫塔法的基本思想。知道二階、三階龍格庫塔法。掌握四階龍格庫塔法，知道龍格庫塔法的局部截?cái)嗾`差.（三）例題例1 用歐拉法解初值問題,取步長h=0.2。解h=0。2， f(x）=yxy2。首先建立歐拉迭代格式 當(dāng)k=0，x1=0.2時(shí)，已知x0=0，y0=1，有y（0。2)y1=0。21（401)0.8當(dāng)k1，x2=0.4時(shí),已知x1=0。2, y1=0.8,有y（0.4)y2=0.20.8(40。20。8)0。614 4當(dāng)k=2，x3=0.6時(shí)，已知x2=0。4,y2=0。6144,有y(0.6)y