菲涅耳半波帶

1、1,菲涅耳半波帶:菲涅耳圓孔和圓屏衍射 （Fresnel Half-wave Zone）,在衍射屏具有對(duì)稱性的一些簡(jiǎn)單情況下，用代數(shù)加法或矢量加法代替積分運(yùn)算，可以十分方便地對(duì)衍射現(xiàn)象作定性或半定量的解釋。,菲涅爾衍射可直接在衍射孔徑后方有限距離上進(jìn)行觀察，而無(wú)需夫瑯禾費(fèi)那樣借助成像透鏡。 使用菲涅耳基耳霍伏衍射積分公式計(jì)算菲涅耳衍射場(chǎng)十分復(fù)雜不易嚴(yán)格求解。,2,B0,B1,B3,B2,r1=r0+/2,r2=r1+/2,r3=r2+/2,一、菲涅耳半波帶,將波面 S 分成許多以 B0 為圓心的環(huán)形波帶，并使：,這樣分成的環(huán)形波帶稱為菲涅耳半波帶，任何相鄰兩波帶以相反的位相同時(shí)到達(dá)P點(diǎn)(光程差

2、/2）。,3,二、合振幅的計(jì)算,用a1、a2、ak分別表示各波帶在P點(diǎn)的振幅，則：,比較 a1、a2、ak各振幅的大?。?設(shè)S上的振幅均勻分布即A（Q）為常量，任取第K個(gè)半波帶：,面積 Sk,傾斜因子 K（k）,計(jì)算：,由惠菲原理,Bk,R,k,k,rk,h,P,取如圖的球冠，其面積,r0,在OPBk中有：,兩邊微分,代入ds,可將drk視為相鄰兩波帶間r的差值/2，則ds=sk,結(jié)論：sk/rk 與 K 無(wú)關(guān)，對(duì) 每個(gè)半波帶都相同。,5,影響 ak 的只剩下傾斜因子 K（k）：K， ak 緩慢減少。,用如下上下交替的矢量來(lái)表示 P 點(diǎn)處振幅的疊加,a1,a2,a3,a4,ak,Ak,a1 a

3、2,a3 a4,a1,a2,a3,a4,ak,Ak,k 為奇數(shù)時(shí),k 為偶數(shù)時(shí),合成一式,P 點(diǎn)的振幅為第一個(gè)波帶和最后一個(gè)波帶所發(fā)出次波的振幅相加（減）。,6,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，則,當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，則,綜合（1）、（2）兩式，有：,7,對(duì)自由空間傳播的球面波，波面為無(wú)限大，k，ak 0，則對(duì)于給定軸線上的一點(diǎn)P的振幅為：,即球面波自由傳播時(shí)，每各球面波上各此波波源在P點(diǎn)產(chǎn)生的合振動(dòng)等于第一個(gè)半波帶在P點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)振幅得一半，強(qiáng)度為它的4分之1。,計(jì)算圓孔對(duì)稱軸上光振幅的基本思想,把波面微分成若干個(gè)環(huán)狀半波帶,環(huán)狀半波帶的數(shù)目，便可以判定場(chǎng)點(diǎn)的光強(qiáng)和亮暗,環(huán)狀半波帶的數(shù)目為奇數(shù)，則場(chǎng)點(diǎn)為亮點(diǎn)； 環(huán)狀

4、半波帶的數(shù)目為偶數(shù)，則為暗點(diǎn)。 環(huán)狀半波帶的數(shù)目不是整數(shù)，則場(chǎng)點(diǎn)的強(qiáng)度介于上述兩種情況之間 。,如何確定園孔波面上的完整菲涅耳半波帶數(shù)目上來(lái),？,圓孔衍射,菲涅爾圓孔衍射,菲涅爾圓屏衍射,圓屏衍射,10,菲涅耳圓孔衍射,R,S,O,P,k,B0,r0,rk,B,A, 實(shí)驗(yàn)裝置, 計(jì)算P點(diǎn)的光強(qiáng),首先考慮通過(guò)圓孔的K個(gè)完整菲涅耳半波帶數(shù)：,K個(gè)完整菲涅耳半波帶數(shù),忽略,項(xiàng),在BAP中：,11,在BAO中：,比較兩式：,對(duì) P 點(diǎn)的整半波帶個(gè)數(shù),R（平行光入射）,K 與P在軸上的位置有關(guān)。,12,討論：, 對(duì) P 點(diǎn)若 S 恰好分成 K 個(gè)半波帶時(shí)：,K 為偶數(shù),最大,K 為奇數(shù),最小, 對(duì) P

5、點(diǎn)若 S 中還含有不完整的半波帶時(shí)：,光強(qiáng)介于最大和最小之間,實(shí)驗(yàn)證實(shí)：,確定觀察點(diǎn)P，改變，P點(diǎn)的光強(qiáng)發(fā)生變化,確定圓孔半徑，P點(diǎn)在對(duì)稱軸上移動(dòng)，光強(qiáng)發(fā)生變化,13, 若 不用光闌（k）：,無(wú)遮攔的整個(gè)波面對(duì)P點(diǎn)的光強(qiáng)等于第一個(gè)波帶在該點(diǎn)的光強(qiáng)的一半。,例：,計(jì)算：,很小,1、對(duì)P點(diǎn)而言，無(wú)遮攔的整個(gè)波面光能傳播，幾乎可認(rèn)為沿直線OP進(jìn)行。,2、沿OP改變P點(diǎn)的位置時(shí)，r0，P點(diǎn)的光強(qiáng)越來(lái)越小，而不會(huì)在1/2（a1+a2）和1/2（a1-a2）之間變化。,14, 若 對(duì)點(diǎn)，圓孔僅夠分成一個(gè)半波帶, 要發(fā)生衍射，光源 O 的線度要足夠小。,二、圓屏衍射,O,B0,P,P點(diǎn)的振幅：,圓屏遮蔽了個(gè)

6、K半波帶,從K+1個(gè)半波帶,從最后的半波帶（a0）,在 P 點(diǎn)疊加，合振幅為：,不管圓屏的位置和大小怎樣，圓屏幾何影子的中心永遠(yuǎn)有光（泊松點(diǎn)）。,圓屏的面積，ak+1，到達(dá)P點(diǎn)的光愈強(qiáng)。,15,菲涅耳衍射（圓孔和圓盤） （Fresnel Diffraction）,一、菲涅耳圓孔衍射,將一束光（例激光）投射在一個(gè)圓孔上，并在距孔12m處放置一接收屏，可觀察衍射圖樣。,根據(jù)前面的討論，如果圓孔很小，則從圓孔露出半波帶的數(shù)量很少，即對(duì)圓孔后光強(qiáng)起作用的半波帶數(shù)量很少，設(shè)有k個(gè)半波帶。,16,則有 ak（）a1，,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，,所以P點(diǎn)為亮點(diǎn),當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，,所以P點(diǎn)為暗點(diǎn),17,由此可見(jiàn)，想知道圓

7、孔衍射場(chǎng)軸線上某點(diǎn)是亮點(diǎn)還是暗點(diǎn)，必須知道圓孔所包含的半波帶數(shù)目。,如圖，O點(diǎn)為點(diǎn)光源，光通過(guò)光闌上的圓孔，圓孔半徑為Rh，S為光通過(guò)圓孔時(shí)的波面。設(shè)圓孔包含有k個(gè)整數(shù)半波帶。,由于hr0，則h2可略去,18,又因?yàn)?(略去 ),由（1）、（2）、（3）式可得,19,由上式可見(jiàn)，圓孔包含的半波帶的數(shù)目和圓孔的半徑Rh，圓孔到P點(diǎn)的距離r0，以及入射光波的波長(zhǎng)，還有點(diǎn)光源到衍射屏距離R都有關(guān)。,當(dāng)Rh、R、一定時(shí)，改變r(jià)0，即改變光屏的位置，我們可以看到，光屏的中心點(diǎn)會(huì)有時(shí)明時(shí)暗的變化。,20,二、圓屏衍射,當(dāng)點(diǎn)光源發(fā)出的光通過(guò)圓屏（盤）衍射時(shí),由于圓屏不透明，被圓屏擋住部分的波面對(duì)軸線上p點(diǎn)的

8、光強(qiáng)將沒(méi)有貢獻(xiàn)。 如圖,設(shè)圓屏遮蔽了開(kāi)始的k個(gè)半波帶，從第k+1個(gè)半波帶開(kāi)始，其余所有的半波帶所發(fā)出的次波都能到達(dá)P點(diǎn)。,這些半波帶的次波在P點(diǎn)疊加后振幅為:,因m，所以 am 0,21,因此,當(dāng)k不是很大時(shí)，有,即P點(diǎn)的光強(qiáng)近似等于光在自由空間傳播時(shí)的光強(qiáng)。應(yīng)該是一個(gè)亮點(diǎn)。,此亮點(diǎn)稱為泊松（Possion 178111840）亮斑。這是幾何光學(xué)中光的直線傳播所不能解釋的。,1818年在巴黎科學(xué)院大會(huì)上，菲涅爾提出了次波相干疊加原理，泊松根據(jù)由惠更斯菲涅耳原理導(dǎo)出圓盤軸線上應(yīng)是亮點(diǎn)。,不管圓屏的大小、位置如何，圓屏幾何影子的中心都有光到達(dá)，即P是始終是亮點(diǎn)。 - - 泊松(S. D. Pois

9、son)亮斑,22,泊松以此來(lái)證明惠更斯菲涅耳原理是錯(cuò)誤的。后來(lái)由阿拉果在實(shí)驗(yàn)中觀察到圓屏衍射軸線上的亮點(diǎn)，證明了惠更斯菲涅耳原理的正確性。,泊松（Poisson 17811840）法國(guó)數(shù)學(xué)家。 1812年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士。 泊松對(duì)積分理論、行星運(yùn)動(dòng)理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢(shì)理論和概率論都有重要貢獻(xiàn)。他一生共發(fā)表300多篇論著。,阿拉果（Arago 17861853） 法國(guó)科學(xué)家,23,討論,圓屏的面積NEN+1EP：P點(diǎn)變亮； 圓屏與光源間或圓屏與光屏間距離變化時(shí)，N隨之改變，P點(diǎn)的光強(qiáng)也將改變； 若圓屏足夠小，僅遮蔽中心半波帶的一部分，則光可完全繞過(guò)它，除在圓屏“影子”的中

10、心有亮點(diǎn)外，光屏上沒(méi)有任何影子； 光屏中心亮斑泊松斑 圓屏衍射圖樣：以P為中心，在其周圍有一組明暗交替的衍射環(huán)。,24,三、波帶片,從前面的討論可知，在相對(duì)于P點(diǎn)劃分的半波帶中，奇數(shù)序（1、3、5.） （或偶數(shù)序）半波帶所發(fā)出的次波在P點(diǎn)是同相位的，而奇數(shù)序和偶數(shù)序半波帶所發(fā)出的次波在P點(diǎn)是反相的（相差的奇數(shù)倍）。,若做一個(gè)特殊光闌，使之只允許序數(shù)為奇數(shù)的半波帶或序數(shù)為偶數(shù)的半波帶透光，則P點(diǎn)的振幅為同相位各次波疊加，因此疊加后將會(huì)振幅很大。,25,如圖，若只允許序數(shù)為奇數(shù)的半波帶透光，則P點(diǎn)的合振幅為,如圖，若只允許序數(shù)為偶數(shù)的半波帶透光，則P點(diǎn)的合振幅為,此時(shí)P點(diǎn)為光強(qiáng)很強(qiáng)的亮點(diǎn)。把這種特

11、殊光闌稱為菲涅耳波帶片。,26,由,可得,由上式，可較容易的制作波帶片。,半波帶的寬度是很小的，隨著級(jí)別k的增大，尤其如此，要在6.3mm的半徑內(nèi)容納100個(gè)半波帶，可以想見(jiàn)最外面的一些半波帶是非常細(xì)密的所以制作菲涅耳波帶片是件根細(xì)致的工作，不過(guò)在目前的條件下并不困難我們可見(jiàn)先在白紙上精密地繪制，然后用照相機(jī)進(jìn)行兩次拍攝和縮小，就可得到一張平面的菲涅耳波帶片 波帶片與透鏡相比，具有大面積、輕便、可折疊等優(yōu)點(diǎn)。特別適宜用于遠(yuǎn)程光通訊、光測(cè)距和宇航技術(shù)中,27,也可以做成方形波帶片。,它能成一個(gè)明亮的十字線。,除了按上式可做成同心圓環(huán)帶的波帶片外，還可以做成長(zhǎng)條形波帶片。,這種波帶片的特點(diǎn)是能使當(dāng)

12、在垂直于軸的平面上會(huì)聚成一條明亮直線。直線的方向與波帶片的直線平行。,自由傳播波面不受限，軸上場(chǎng)點(diǎn)的振幅為,則它們的振幅之比為,光強(qiáng)之比為,例題：一塊波帶片的孔徑內(nèi)有20個(gè)半波帶，其中第1、3、5、19等10個(gè)奇數(shù)帶露出。第2、4、6、20等10個(gè)偶數(shù)帶遮蔽，試分析軸上場(chǎng)點(diǎn)的光強(qiáng)是自由傳播時(shí)光強(qiáng)的多少倍？,解：波帶片在軸上場(chǎng)點(diǎn)的振幅為,29,計(jì)算半波帶數(shù)目k的公式:,若令,還可以寫(xiě)成：,則有,和一般的會(huì)聚透鏡成像公式相似。因此，上式稱為波帶片的焦距公式。,即波帶片也有焦距，當(dāng)R時(shí)，有,30,從焦距公式可見(jiàn)，波帶片的焦距取決于波帶片通光孔的半徑Rhk,半波帶的數(shù)目k，和光波的波長(zhǎng)。,由于波帶片的

13、焦距和光波的波長(zhǎng)有關(guān)，因此它的色差比一般透鏡大的多。在激光出現(xiàn)以前，沒(méi)有什么實(shí)用意義。由于激光的高度相干性（單色性好），使波帶片的應(yīng)用成為現(xiàn)實(shí)。目前主要用在激光準(zhǔn)直方面。,31,波帶片的亮點(diǎn)相當(dāng)于點(diǎn)光源成的像。,當(dāng)使用單色光入射時(shí)， 在f/3， f/5， f/7等處也有亮點(diǎn)出現(xiàn)。即波帶片有多個(gè)焦距，因而，與透鏡成像的情況不同。對(duì)于給定的物點(diǎn)對(duì)應(yīng)于不同的焦距，波帶片可以給出多個(gè)像點(diǎn)。,波帶片與普通透鏡相比有自己的優(yōu)點(diǎn)，例如：長(zhǎng)焦距的普通物鏡的設(shè)計(jì)與加工都是相當(dāng)麻煩的。但不難制作長(zhǎng)焦距的波帶片，而且采用照相復(fù)制方法制造波帶片比光學(xué)玻璃冷加工省事.,又如普通透鏡無(wú)法將一個(gè)點(diǎn)光源成像為十字亮線。而方形

14、波帶片可以實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。,32,起衍射聚焦作用的波帶片和普通透鏡相比，具有面積大，輕便，可折疊等優(yōu)點(diǎn)。,特別適用于在遠(yuǎn)程通訊，測(cè)距以及航天技術(shù)中。波帶片的焦距隨波長(zhǎng)的增加而縮短，正好和玻璃透鏡的焦距色差相反。二者配合使用有利于消除光學(xué)系統(tǒng)的色差。,波帶片不僅給惠更斯菲涅耳原理提供令人信服的證據(jù)，而且在聲波、微波、紅外和紫外線、X射線的成像技術(shù)方面開(kāi)辟了新的方向。在近代全息照相術(shù)等方面也獲得了重要應(yīng)用。,原來(lái)的每一個(gè)半波帶可以分為2個(gè)，此次波相互抵消，是暗點(diǎn),原來(lái)的每一個(gè)半波帶分為3個(gè)，其中2個(gè)的次波抵消，還剩余1個(gè)，為次亮點(diǎn)，即次焦點(diǎn)。,當(dāng)波帶片不變時(shí)，r0改變，會(huì)引起k的改變，即可劃分的半波帶

15、數(shù)目改變。 r0減小，到r0/2時(shí)，k=2k，暗點(diǎn)； r0減小，到r0/3時(shí)，k=3k，亮點(diǎn)，次焦點(diǎn)； r0減小，到r0/4時(shí)，k=4k，暗點(diǎn),一系列次焦點(diǎn),例題1：波長(zhǎng)為6328的平行光垂直照射直徑為2.76mm的園孔，與孔相距1m處放一屏幕。試問(wèn)：（1）屏上正對(duì)園孔中心的p點(diǎn)是亮點(diǎn)還是暗點(diǎn)？（2）要使p點(diǎn)變成與（1）相反的情況，至少要把屏幕分別向前和向后移動(dòng)多少距離？,解：1）根據(jù)菲涅耳圓孔衍射半波帶公式求解，即有依題意， ，即有將題目給定的參數(shù)代入上式，得 半波帶數(shù)為奇數(shù)，表明P點(diǎn)是亮點(diǎn)。,2).依題意,對(duì) 取微分,即有 即有令 ,則 。即有 0，說(shuō)明光屏需后移 。,令 ，則 。即有 0

16、，說(shuō)明光屏需前移 。,補(bǔ)充：一般情形下的波帶,將每一個(gè)半波帶劃分為兩個(gè)，則相鄰波帶發(fā)出的次波在P點(diǎn)位相差為/2，即第一個(gè)半波帶中的第一個(gè)波帶和第二個(gè)波帶的位相分別為/4和3/4； 再將每一個(gè)進(jìn)一步細(xì)分，第一個(gè)半波帶中的四個(gè)波帶的位相差為/4，位相依此為/16，5/16，9/16，13/16，。,可以將任何一個(gè)半波帶進(jìn)一步細(xì)分為n個(gè)，得到更多的波帶，相鄰波帶間光程差為/2n，位相差為/n。n很大時(shí)，位相差很小，用振幅矢量法，原來(lái)的每個(gè)半波帶的波矢變?yōu)橛蒼個(gè)小波矢組成的半圓。,半波帶的進(jìn)一步劃分,不是整數(shù)個(gè)半波帶,如果最后一個(gè)不是整數(shù)個(gè)半波帶，也可以得到合振動(dòng)。,衍射現(xiàn)象：,圓孔衍射：屏上可見(jiàn)同心

17、圓環(huán)?？讖礁淖?，圓環(huán)中心明暗迅速交替變化；屏沿軸向移動(dòng)，圓環(huán)中心明暗緩慢交替變化。 圓屏衍射：屏上可見(jiàn)同心圓環(huán)。屏直徑改變，或屏沿軸向移動(dòng)，圓環(huán)中心永遠(yuǎn)是亮點(diǎn)。,48,軸外點(diǎn)的衍射,對(duì)于軸外任意點(diǎn)Q的光強(qiáng)度，原則上也可以用同樣的方法進(jìn)行討論。 方法： 先設(shè)想衍射屏不存在，以M0為中心，對(duì)于Q點(diǎn)作半波帶； 然后再放上圓孔衍射屏，圓孔中心為O。 這時(shí)由于圓孔和波面對(duì)Q點(diǎn)的波帶不同心，波帶的露出部分如右圖所示，圖中為了清楚起見(jiàn)，把偶數(shù)帶畫(huà)上了斜線。 這些波帶在Q點(diǎn)引起振動(dòng)的振幅大小，不僅取決于波帶的數(shù)目，還取決于每個(gè)波帶露出部分的大小。 精確計(jì)算Q點(diǎn)的合成振動(dòng)振幅是很復(fù)雜的，但可以預(yù)計(jì)，當(dāng)Q點(diǎn)逐漸偏

18、離P點(diǎn)時(shí)，有的地方衍射光會(huì)強(qiáng)些， 有些地方會(huì)弱些。,49,2、菲涅耳積分法,(一)、菲涅耳積分 (二)、幾種菲涅耳衍射圖形 1、直邊衍射 2、單縫衍射 3*、矩孔衍射,50,帶有矩形開(kāi)口的光欄透射系數(shù)為：,(23),在單位振幅平面波正入射時(shí)，有： A(, )=T(, ) (24),(一)、菲涅耳積分,(25),右端兩個(gè)積分的形式相似，都可以歸結(jié)為菲涅耳積分：,(26),51,(26),將F(a)的實(shí)部和虛部分開(kāi)，有： F(a)=C(a)+jS(a) (27),C(a)和S(a)分別稱為菲涅耳余弦積分和菲涅耳正弦積分。 F(a)、C(a)和S(a)均不能以解析形式表示成a的初等函數(shù)，一般通過(guò)列表或圖解給出它們的值。,(29),當(dāng)積分下限不為零時(shí)，可以利用下式換算：,52,可以將C(a)和S(a)的數(shù)值繪制成圖示的曲線，稱為考紐蜷線(Cornu spiral)。 圖中橫坐標(biāo)為C(a)值，縱坐標(biāo)為S(a)值，變量a用自坐標(biāo)原點(diǎn)O開(kāi)始算起的弧長(zhǎng)表示，第一象限內(nèi)a0，第三象限內(nèi)a0。 (更加詳細(xì)的圖形里，某些重要的a值已標(biāo)明在曲線上相應(yīng)點(diǎn)的旁側(cè))。 當(dāng)a時(shí)，曲線分別趨于點(diǎn)Z(0.5，0.5)和點(diǎn)Z(-0.5，-0.5)。,53,(二)、幾種菲涅耳衍射圖形,1、直邊衍射,一個(gè)平面光波或柱面光波通過(guò)與其傳播方向