高考數(shù)學(xué)(理科)專題教學(xué)案：平面向量的線性運(yùn)算及綜合應(yīng)用(含答案)

1、222?？紗栴} 8 平面向量的線性運(yùn)算及綜合應(yīng)用來源 中 教 網(wǎng)z,s, ep 真題感悟21(2011 江蘇卷)已知 e ，e 是夾角為 的兩個(gè)單位向量，ae 2e ，bke e ，若 ab1 2 3 1 2 1 20，則 k 的值為_2解析 因?yàn)?e ，e 是夾角為 的兩個(gè)單位向量，所以1 2 3e e |1 2e |e |1 22 1cose ，e cos ，又 ab0，所以(e 2e )(ke e )0，1 2 3 2 1 2 1 21 1 5 即 k 2(2k) 0，解得 k .2 4答案2.54(2012 江蘇卷)如圖，在矩形 abcd 中，ab 2，bc2，點(diǎn) e 為 bc 的中點(diǎn)

2、，點(diǎn) f 在邊 cd 上，若ab af 2，則ae bf的值是_解析 以頂點(diǎn) a 為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab、ad 所在直線分別為 x，y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，則a(0,0)， b( 2，0)，e( 2，1)，設(shè) f(x,2)，所以ab af( 2，0)(x,2) 2x 2 x1，即 f(1,2)， 所以ae bf( 2，1)(1 2，2) 2(1 2)2 2.答案23(2013 新課標(biāo)全國(guó)卷)已知兩個(gè)單位向量 a，b 的夾角為 60，cta(1t)b.若 b c0， 則 t_.1解析 因?yàn)橄蛄?a，b 為單位向量，又向量 a，b 的夾角為 60，所以 a b ，由 bc0，得21 1 1b cta

3、b(1t) b t(1t)1 t1t 1 t0.t2.2 2 2答案 2 4(2013 山東卷)已知向量ab與ac的夾角為 120，且|ab|3 ，|ac|2.若 a p abac， 且apbc，則實(shí)數(shù) 的值為_ _ 解析 由apbc知ap bc0，即ap bc(abac)(acab)(1)ab aca b 2ac1 2122222|a|b|2 2 2 21 72(1)32 940，解得 .答案712來源:考題分析高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有：平面向量這部分內(nèi)容在高考中的要求大部分都為 b 級(jí)，只有平面向量的應(yīng)用為 a 級(jí)要求， 平面向量的數(shù)量積為 c 級(jí)要求，應(yīng)特

4、別重視來源 中國(guó)教 育出版 網(wǎng) zzstep.co m試題類型可能是填空題，同時(shí)在解答題中經(jīng)常與三角函數(shù)綜合考查，構(gòu)成中檔題.1向量的概念(1)零向量模的大小為 0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為 0.a(2)長(zhǎng)度等于 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫單位向量，a 的單位向量為 .|a|(3) 方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量)(4) 如果直線 l 的斜率為 k，則 a(1，k)是直線 l 的一個(gè)方向向量(5) |b |cosa，b叫做 b 在向量 a 方向上的投影2兩非零向量平行、垂直的充要條件來 源:設(shè) a(x ，y )，b(x ，y )，1 1

5、2 2(1)若 abab(0)；ab x y x y 0.1 2 2 1(2)若 aba b0；abx x y y 0.1 2 1 23平面向量的性質(zhì)(1)若 a(x，y)，則|a| aa x y.(2)若 a(x ，y )，b(x ，y )，則1 1 2 2|a b | (xx )(yy ).2 1 2 1a b(3)若 a(x ，y )，b(x ，y )， 為 a 與 b 的夾角，則 cos 1 1 2 2x x y y 1 2 1 2x y x y 1 1 2 2.4當(dāng)向量以幾何圖形的形式出現(xiàn)時(shí)，要把這個(gè)幾何圖形中的一個(gè)向量用其余的向量線性表 示，就要根據(jù)向量加減法的法則進(jìn)行，特別是減法

6、法則很容易使用錯(cuò)誤，向量mnonom (其中 o 為我們所需要的任何一個(gè)點(diǎn))，這個(gè)法則就是終點(diǎn)向量減去起點(diǎn)向量5 根據(jù)平行四邊形法則，對(duì)于非零向量 a，b，當(dāng)|ab|ab|時(shí)，平行四邊形的兩條對(duì)角 線長(zhǎng)度相等，此時(shí)平行四邊形是矩形，條件|ab|ab|等價(jià)于向量 a，b 互相垂直，反之 也成立6 兩個(gè)向量夾角的范圍是0，在使用平面向量解決問題時(shí)要特別注意兩個(gè)向量夾角可22 3 2 3 6 3 63 2源:21 能是 0 或 的情況，如已知兩個(gè)向量的夾角為鈍角時(shí)，不單純就是其數(shù)量積小于零，還要求 不能反向共線來源中 教 網(wǎng)z,s,tep 熱點(diǎn)一 平面向量的線性運(yùn)算1

7、 2【例 1】 (2013 江蘇卷)設(shè) d，e 分別是abc 的邊 ab，bc 上的點(diǎn)，ad ab，be bc.2 3 若de ab ac( ， 為實(shí)數(shù))，則 的值為_1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 解析 如圖，dedbbe ab bc ab (acab) ab ac，則 ，1 22 1 ， .1 2答案12來源:規(guī)律方法 在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作字母，其運(yùn)算類似于代數(shù)中合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)可以進(jìn)行類比本例中的第(1)題就是把向量de用 ab，ac表示出來，再與題中已知向量關(guān)系式進(jìn)行對(duì)比，得出相等關(guān)系式，可求相應(yīng)的系

8、數(shù)來 【訓(xùn)練 1】 (2013 天津卷)在平行四邊形 abcd 中，ad1，bad60，e 為 cd 的中點(diǎn)若 ac be1，則 ab 的長(zhǎng)為_ 1 解析 在平行四邊形 abcd 中，取 ab 的中點(diǎn) f，則befd，befdad ab，又ac2 adab， 1 1 1 1 ac be ( ad ab )( ad ab ) ad 2 ad ab ad ab ab 2 | ad |2 | ad | ab|cos2 2 2 21 1 1 1 60 |ab|21 |ab| |ab| 1.2 2 2 2 |ab| 2 1 |ab|0，又|ab|0，|ab| .2答案12熱點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積【例 2

9、】 (2013 蘇州期中)已知 o，a，b 是平面上不共線的三點(diǎn)，設(shè) p 為線段 ab 垂直平分 線上任意一點(diǎn)，若|oa|7，|ob|5，則op(oboa)的值為_解析 設(shè) ab 的中點(diǎn)為 c，則來源:322222 22 22 23 22 op(oboa)(occp) aboc ab1 (oaob)(oboa)21 1 (|ob| |oa| ) (2549)12.2 2答案 12來源 。 zs 。 規(guī)律方法 求數(shù)量積的最值，一般要先利用向量的線性運(yùn)算，盡可能將所求向量轉(zhuǎn)化為長(zhǎng) 度和夾角已知的向量，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)知識(shí)求解最

10、值 【訓(xùn)練 2】 (2013 湖南卷)已知 a，b 是單位向量，a b0.若向量 c 滿足|cab|1，則|c| 的取值范圍是_解析 由 a，b 為單位向量且 a b0，可設(shè) a(1,0)，b(0,1)，又設(shè) c(x，y)，代入|cab|1 得(x1) (y1) 1，又|c| x y ，故由幾何性質(zhì)得 1 1 1|c | 1 1 1，即 21|c| 21.答案 21， 21熱點(diǎn)三 平面向量與三角函數(shù)的綜合【例 3】 (2013 南通調(diào)研)已知向量 m(sin x，1)，n(cos x,3)sin xcos x(1)當(dāng) mn 時(shí)，求 的值；3sin x2cos x(2)已知在銳角abc 中，a，

11、b，c 分別為角 a，b，c 的對(duì)邊， 3c2asin(ab)，函數(shù) f(x)(mn) m，求 fb 的取值范圍 8解 (1)由 mn，可得 3sin xcos x，1 11 sin xcos x tan x1 3 2于是 tan x ， .3 3sin x2cos x 3tan x2 1 9 3(2)在abc 中 abc，于是 sin(ab)s in c，由正弦定理，得 3sin c2sin asin c，sin c0，sin a3 .又abc 為銳角三角形，a ，于是 b .f(x)(mn) m 2 3 6 21cos 2x 1 2(sin xcos x,2)(sin x，1)sin xs

12、in xcos x2 sin 2 x2 sin2 2 23，22x 44 2 3 2 3 388422 22 6 2 3 2222 6 6 6 66 6fb sin 2 b sin 2b .由 b 得 2b，0sin 2b1，2 3 2 3 sin 2b ，2 2 2 2 3 2 3 即 f(b ) ， .8 2 2 2來源 中 國(guó) 教 育出 版網(wǎng)規(guī)律方法 在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語(yǔ)言表述三角函數(shù) 中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角 函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識(shí)解決平面向量問題在解決此類問題 的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量 或者三角函數(shù)的知識(shí)解決問題【訓(xùn)練 3】 (2013 江蘇卷)已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0. (1)若|ab | 2，求證：ab；(2)設(shè) c(0,1)