人教版高中數(shù)學(xué)必修4三角函數(shù)

1、任意角一、知識概述1、角的分類：正角、負(fù)角、零角.2、象限角：（1）象限角. （2）非象限角（也稱象限間角、軸線角）.3、終邊相同的角的集合：所有與角終邊相同的角，連同角自身在內(nèi)，都可以寫成k360(kZ)的形式；反之，所有形如k360(kZ)的角都與角的終邊相同4、準(zhǔn)確區(qū)分幾種角銳角：090；090：090；第一象限角：5、弧度角：弧長等于半徑的弧所對應(yīng)的角稱為1弧度角（1 rad）.1 rad=，1=rad.6、弧長公式：l=R.7、扇形面積公式：.二、例題講解例1、寫出下列終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式的元素寫出來：（1）60；（2）21；（3）36314解： （1） ，S中滿

2、足的元素是（2） ，S中滿足的元素是（3） ，S中滿足的元素是例2、寫出終邊在y軸上的角的集合.解析：.注：終邊在x軸非負(fù)半軸：.終邊在x軸上：.終邊在y=x上：.終邊在坐標(biāo)軸上：.變式：角與的終邊關(guān)于x軸對稱，則=_.答案：.角與的終邊關(guān)于y軸對稱，則=_.答案：任意角的三角函數(shù)一、知識概述1、定義：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)是一個任意角，的終邊與圓心在坐標(biāo)原點的單位圓交于點P（x，y），那么sin=y，cos=x，tan=.注：對于確定的角，其終邊上取點，令，則.的終邊沒有表明一定是正角或負(fù)角，以及的大小，只表明與的終邊相同的角所在的位置.2、公式一：，其中.3、三角函數(shù)線角的終邊與單位圓交于P點

3、，過P作PMx軸于M，則sin=MP(正弦線)，cos=OM（余弦線）.過A作單位圓的切線，則的終邊或其反向延長線交此切線于點T，則tan=AT（正切線）.注：若，則.二、例題講解例1、已知角的終邊上一點，且，求的值解：，.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，例2、化簡下列各式（1）；（2）解：（1）（2） 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系一、知識概述1、平方關(guān)系：2、商數(shù)關(guān)系：二、例題講解例1、已知tan為非零實數(shù)，用tan表示sin，cos解：，.，即有，又為非零實數(shù)，為象限角當(dāng)在第一、四象限時，即有，從而，；當(dāng)在第二、三象限時，即有，從而，例2、已知，試確定使等式成立的角的集合例3、已知，求sinx，cosx的

4、值解：由等式兩邊平方：，即，為一元二次方程的兩個根，解得又，因此例4、化簡：.解法一：原式=.解法二：原式=.解法三：原式=.例5、已知，則（1）_(2)_(3)_解：（1）；（2）；三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一、知識概述誘導(dǎo)公式一：.誘導(dǎo)公式二：.誘導(dǎo)公式三：，誘導(dǎo)公式四：，.誘導(dǎo)公式五：，誘導(dǎo)公式六：，引申：誘導(dǎo)公式七：，誘導(dǎo)公式八：，記憶公式的口訣“奇變偶不變，符號看象限”二、例題講解例1、化簡：（1）；（2）（3）（4）（5）解：（1）原式（2）原式=.（5）例2、已知求的值解：由得，所以例3、已知則_解：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）一、知識概述1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象2、性質(zhì)：定

5、義域：xR值域：1，1周期性：都是周期函數(shù)，且最小正周期為.二、例題講解例1、作函數(shù)的簡圖（2）描點連線（圖象見視頻）.例2、求下列函數(shù)的周期（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）令，則.f(xT)=f(x)恒成立，.周期為4.注：.（2）.注：.（3）T=（4）T=假設(shè)，使令x=0，得，與時矛盾T=.例3、求下列函數(shù)的定義域：（1）； (2) y=lg(2sinx1)解：（1），(2) ，.其定義域為.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）一、知識概述1、圖象（見視頻）2、性質(zhì)：（1）定義域：都為R.（2）值域：都為1，1.（3）周期性：都是周期函數(shù)，且T=2.（4）奇偶性：y=sinx是奇

6、函數(shù)，y=cosx是偶函數(shù).（5）對稱性：y=sinx的對稱中心為(k，0)（kZ），對稱軸為.y=cosx的對稱中心為，對稱軸為.（6）單調(diào)性：y=sinx在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.y=cosx在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.二、例題講解例1、在中，若函數(shù)y=f(x)在0，1上為單調(diào)遞減函數(shù)，則下列命題正確的是（）ABCD解：，.所以答案：C例2、求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：（1）；（2）；（3）；（4）y=|sin（x）|解：（1）法一：圖象法（圖象見視頻）.法二：令，.所以，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為（2）令，所以，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是（3）令.所以，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是.法二：，令，所以，函數(shù)的遞增區(qū)

7、間是（4）函數(shù)的遞增區(qū)間為k，k（kZ）（圖象見視頻）法二：令.解得.函數(shù)的遞增區(qū)間為k，k（kZ）.正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、知識概述1、圖象：2、性質(zhì)：（1）定義域：；（2）值域：R；（3）周期性：；（4）奇偶性：奇函數(shù)；（5）對稱性：y=tanx的對稱中心為.（6）單調(diào)性：在內(nèi)單調(diào)遞增二、例題講解例1、求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）解：（1）由，得，的定義域為（2）令，sinx1，1且，定義域為R.（3）由已知，得，原函數(shù)的定義域為（備注：視頻中區(qū)間書寫有誤，后面一個應(yīng)該是半開半閉區(qū)間）例2、求函數(shù)的定義域，周期和單調(diào)區(qū)間函數(shù)y=Asin（x）的圖象一、知識概述的圖象可由y=s

8、inx的圖象經(jīng)過以下的變換得到：將y=sinx的圖象向左（右）平移個單位得到的圖象；將的圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍，得到的圖象；將的圖象保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的A倍，得到的圖象.A表示振幅，為周期，為頻率，為初相，為相位.二、例題講解例1、函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到解：將的圖象向左平移個單位，得到的圖象；將的圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到的圖象；將的圖象保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍，得到的圖象變式1：y=sinx的圖象由的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.解：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來的，得到的圖象；再將的圖象向右

9、平移個單位，得到y(tǒng)=sin2x的圖象；再將y=sin2x的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)=sinx的圖象.變式2：函數(shù)y=f(x)的圖象先向右平移個單位，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到的圖象，求f(x)的解析式.答案：.例2、已知函數(shù)（，）一個周期內(nèi)的函數(shù)圖象，如下圖所示，求函數(shù)的一個解析式解：由圖知：函數(shù)最大值為，最小值為，又，由圖知，法一：，.，代入上面兩式檢驗，得滿足條件.法二：.法三：令，.三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用例1、已知電流在一個周期內(nèi)的圖象如圖：（1）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求的解析式（2）如果t在任意一段秒的時間內(nèi)，電流都能取得最大值和最小值，那么的最小正整數(shù)值是

10、多少？例2、某港口水的深度y（米）是時間，單位：時）的函數(shù)，記作，下面是某日水深的數(shù)據(jù)：t時03691215182124y米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0經(jīng)長期觀察，的曲線可以近似地看成函數(shù)的圖象（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的近似表達(dá)式；（2）一般情況下船舶航行時，船底離海底的距離為5米或5米以上時認(rèn)為是安全的（船舶?？繒r，船底只需不碰海底即可）某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5米，如果該船希望在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港，請問，它至多能在港內(nèi)停留多長時間（忽略進(jìn)出港所需時間）？解：（1）由已知數(shù)據(jù)，易知函數(shù)的周期T=12，振幅A=3，b=10，（視頻板書中

11、應(yīng)為f(t)）（2）由題意，該船進(jìn)出港時，水深應(yīng)不小于56.5=11.5米，解得:，在同一天內(nèi)，取.該船可在當(dāng)日凌晨1時進(jìn)港，17時出港，在港口內(nèi)最多停留16個小時例3、如圖所示，一個摩天輪半徑為10米，輪子的底部在地面上2米處，如果此摩天輪按逆時針方向每20秒轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點P處（點P與摩天輪中心O高度相同）時開始計時：（1）求此人相對于地面的高度關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間此人相對于地面的高度不超過10米解：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)P所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，在t秒內(nèi)摩天輪轉(zhuǎn)過的角為，此人相對于地面的高度為（米）（2）令，則，故約有8.7

12、2秒此人相對于地面的高度不超過10米例4、某商品一年內(nèi)出廠價格在6元的基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動，已知3月份達(dá)到最高價格8元，7月份價格最低為4元該商品在商店內(nèi)的銷售價格在8元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動，5月份銷售價格最高為10元，9月份銷售價最低為6元（1）試建立出廠價格、銷售價格的模型，并求出函數(shù)解析式；（2）假設(shè)商店每月購進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月銷完，試寫出該商品的月利潤函數(shù)三角函數(shù)的綜合應(yīng)用例1、求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1），所以，值域為（2）.另解：，解得，（3），.（4）由題意，時，但，原函數(shù)的值域為（5），又，函數(shù)的值域為例2、是否存在、，（，），（0，），使等式sin（3）=cos（），cos（）=cos（）同時成立?若