完整版排列組合的21種例題

1、咼考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解排列組合應(yīng)用題的 21種策略排列組合問(wèn)題是高考的必考題，它聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，不 易掌握，實(shí)踐證明，掌握題型和解題方法，識(shí)別模式，熟練運(yùn)用，是解決排列組合應(yīng)用 題的有效途徑；下面就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略 1. 相鄰問(wèn)題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排 列.例1. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果 A,B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的 排法種數(shù)有A、60 種 B 、48 種 C 、36 種 D 、24 種2. 相離問(wèn)題插空排：元素相離（即不相鄰）問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素

2、插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端例2. 七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是A 1440 種 B 、3600 種 C 、4820 種 D 、4800 種3. 定序問(wèn)題縮倍法：在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù) 的方法 例3. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（代B可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是A、24 種 B 、60 種 C 、90 種 D 、120 種4. 標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題分步法：把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1, 2, 3, 4填入標(biāo)號(hào)為1,

3、 2, 3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè) 方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有A 6 種 B 、9 種 C 、11 種 D 、23 種5. 有序分配問(wèn)題逐分法：有序分配問(wèn)題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5.（ 1）有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需 2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是A 1260 種 B 、2025 種 C 、2520 種 D 、5040 種（2）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案有AC12C8C4 種 B3C：2C；C：種C 、C1；C；A；種D6. 全員分配問(wèn)題分組法:例6.（

4、1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送 方案有多少種？（2）5本不同的書，全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為A 480 種 B 、240 種 C 、120 種 D 、96 種7. 名額分配問(wèn)題隔板法：例7.10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方 案？8. 限制條件的分配問(wèn)題分類法：例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開(kāi) 發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？9. 多元問(wèn)題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計(jì)數(shù)，

5、最后總計(jì).例9. ( 1)由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十 位數(shù)字的共有A 210 種B 、300 種 C 、464 種 D 、600 種(2) 從1, 2, 3-，100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被 7整除，這兩 個(gè)數(shù)的取法(不計(jì)順序)共有多少種？(3) 從1, 2, 3,，100這100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被 4整除的取法(不計(jì) 順序)有多少種？10. 交叉問(wèn)題集合法：某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式 n(AU B) n(A) n(B) n(AI B).例10.從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4X100米接力

6、賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四 棒，共有多少種不同的參賽方案？11. 定位問(wèn)題優(yōu)先法：某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元素；再排 其它的元素。例11.1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？12. 多排問(wèn)題單排法：把元素排成幾排的問(wèn)題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理.例12. (1) 6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排 3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是A 36 種 B 、120 種 C 、720 種 D 、1440 種(2) 8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排 4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1 個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？13. “至少

7、”“至多”問(wèn)題用間接排除法或分類法：抽取兩類混合元素不能分步抽.例13.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)， 則不同的取法共有A 140 種B 、80 種 C 、70 種 D 、35 種14. 選排問(wèn)題先取后排：從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14. (1)四個(gè)不同球放入編號(hào)為1, 2, 3, 4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有 多少種？(2) 9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不 同的分組方法？15. 部分合條件問(wèn)題排除法：在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不

8、 符合條件數(shù)，即為所求.例15. (1)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有A 70 種 B 、64 種 C 、58 種D 、52 種(2)四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有A 150 種B 、147 種 C 、144 種 D 、141 種16. 圓排問(wèn)題線排法：把n個(gè)不同元素放在圓周n個(gè)無(wú)編號(hào)位置上的排列，順序(例如按順時(shí)鐘)不同的排法才算不同的排列，而順序相同(即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合)的排法認(rèn) 為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計(jì)順序而首位、末位之分，下列n個(gè)普通排列：a1,a2,a3L ,an;a2, a3,34,L ,an,L ;an, a-i,L ,a

9、n 1在圓排列中只算一種，因?yàn)樾D(zhuǎn)后可以重 合，故認(rèn)為相同，n個(gè)元素的圓排列數(shù)有 m種.因此可將某個(gè)元素固定展成線排，其它n的n 1元素全排列.例16.5對(duì)姐妹站成一圈，要求每對(duì)姐妹相鄰，有多少種不同站法？17. 可重復(fù)的排列求幕法：允許重復(fù)排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象， 元素不受位置 的約束，可逐一安排元素的位置，一般地n個(gè)不同元素排在m個(gè)不同位置的排列數(shù)有mn 種方法.例17.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？18. 復(fù)雜排列組合問(wèn)題構(gòu)造模型法：例18.馬路上有編號(hào)為1, 2, 3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰 的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿

10、足條件的關(guān)燈方案有多少種？19. 元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問(wèn)題可以考慮枚舉法：例19.設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1, 2，3, 4, 5的盒子現(xiàn)將這5個(gè) 球投入5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同，問(wèn)有多少種不同的方法？20. 復(fù)雜的排列組合問(wèn)題也可用分解與合成法：例20. (1) 30030能被多少個(gè)不同偶數(shù)整除？(2)正方體8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少隊(duì)異面直線？21. 利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法：對(duì)應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題處理.例21. (1)圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少個(gè)？(2)

11、某城市的街區(qū)有12個(gè)全等的矩形組成，其中實(shí)線表示馬路，從 A到B的最短路徑 有多少種？B答案1. 解析：把A,B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，A4 24 種，答案：D.2. 解析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為A種，再用甲乙去插6個(gè)空位有A2種，不同的排法種數(shù)是AA23600種，選B.3. 解析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是 5個(gè)元素全排 列數(shù)的一半，即丄人5 60種，選B.24. 解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有3X 3X 1=

12、9種填法，選B.5. 解析：先從 10 人中選出 2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌?8 人中選 1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)， 第三步從另外的 7 人中選 1 人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有 C120C18C71 2520種，選 C.6. 答案： A.7. 解析：把四名學(xué)生分成3組有C2種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有 A種，故 共有 C42A33 36種方法.說(shuō)明：分配的元素多于對(duì)象且每一對(duì)象都有元素分配時(shí)常用先分組再分配 .8. 答案： B.9. 解析： 10個(gè)名額分到 7個(gè)班級(jí)， 就是把 10個(gè)名額看成 10個(gè)相同的小球分成 7堆，每 堆至少一個(gè)，可以在 10 個(gè)小球的 9 個(gè)空位中插入 6 塊木板

13、，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分 配方案，故共有不同的分配方案為 C96 84 種.10. 解析：因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來(lái)分類，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派遣方案 A84種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有 3種方 法，然后安排其余學(xué)生有As5方法，所以共有3A3;若乙參加而甲不參加同理也有3A83種； 若甲乙都參加，貝U先安排甲乙，有 7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個(gè)城市有 A種，共有7A；方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為 A 3AA 3A83 7A；4088種.11. 解析：按題意， 個(gè)位數(shù)字只可能是 0、1、2、3 和 4共 5種情況， 分別有 A55 、A14

14、 A31A33 、 A31A31A33、AzMA和A3A個(gè)，合并總計(jì)300個(gè),選B .12. 解析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被 7 整除時(shí)，他們的乘積就能被 7 整除，將這100 個(gè)數(shù)組成的集合視為全集 I, 能被 7 整除的數(shù)的集合記做 A 7,14,21,L 98 共有 14 個(gè)元素, 不能被 7 整除的數(shù)組成的集合記做 eIA 1,2,3,4,L ,100 共有 86 個(gè)元素；由此 可知，從A中任取2個(gè)元素的取法有C：，從A中任取一個(gè)，又從eA中任取一個(gè)共有 C114C816 ，兩種情形共符合要求的取法有 C124 C114C816 1295種.13. 解 析 ： 將 I 1,2,3L

15、 ,100 分 成 四 個(gè) 不 相 交的 子集 ， 能被 4 整 除的 數(shù)集 A 4,8,12,L 100 ；能被 4 除余 1 的數(shù)集 B 1,5,9,L 97 ，能被 4 除余 2 的數(shù)集 C 2,6,L ,98 ，能被 4 除余 3 的數(shù)集 D 3,7,11,L 99 ，易見(jiàn)這四個(gè)集合中每一個(gè)有 25個(gè)元素；從A中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從B,D中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從 C中任取兩 個(gè)數(shù)也符合要求； 此外 其它取法都不符合要求 ； 所以符合要求的取法共有C225C125C125C25 種 .14, 解析：設(shè)全集=6人中任取4人參賽的排列, A= 甲跑第一棒的排列 , B= 乙跑 第四棒的排列

16、，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：n(I) n(A) n(B) n(A B) A64 A53 A53 A42 252 種. 法；所以共有 A31A44 72 種.16. 解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共種，選 C.17. 解析：看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排 2個(gè)，有A種，某1個(gè)元素 排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有 A1種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有A5種，故共 有 A14A42A55 5760種排法.18. 解析 1：逆向思考， 至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)， 不取另一種型號(hào)的電 視機(jī)，故不同的取法共有 C93 C43 C

17、53 70 種, 選. C解析 2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型 1 臺(tái)乙型 2 臺(tái)；甲型 2 臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有C；C； C；C： 70臺(tái),選C .19. 解析：“先取”四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有C2種，“再排”在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A：種，故共有c2a3 144種.20. 解析：先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名，有C2C；種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有 A中排法, 故共有 C52C42A22120種.21. 解析：正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成 C：四面體，但6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有C84 12 58

18、個(gè).22. 解析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有C：o種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：在四面體的 四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為C；，四個(gè)面共有4C；個(gè)；過(guò)空間四邊形各邊中點(diǎn) 的平行四邊形共3個(gè)；過(guò)棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)的三角形共 6個(gè).所以四點(diǎn)不共面的情 況的種數(shù)是 C140 4C64 3 6 141種.23. 解析：首先可讓 5 位姐姐站成一圈，屬圓排列有 A44 種，然后在讓插入其間，每位均 可插入其姐姐的左邊和右邊，有 2種方式，故不同的安排方式 24 25 768種不同站法.1說(shuō)明：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有 丄A；種不同排法.m24. 解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有 7種不同方案, 第二步：將第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有 7種不同方案，依次類推，由分步計(jì)數(shù)原理知 共有76種不同方案.25. 解析：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模型，在 6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮的燈C5 種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.說(shuō)明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊(duì)模型， 裝盒模型可使問(wèn)題容易解決.26. 解析：從5個(gè)球中