專題11 圓錐曲線的幾何性質(zhì)與應(yīng)用【解析版】

1、第三章 解析幾何專題 11 圓錐曲線的幾何性質(zhì)與應(yīng)用【壓軸綜述】縱觀近幾年的高考命題，圍繞圓錐曲線的幾何性質(zhì)與應(yīng)用的高考?jí)狠S題，逐漸呈現(xiàn)“多樣化”，即離心率問 題、漸近線問題、圓錐曲線中的三角形問題、求其它曲線的方程問題、與平面向量相結(jié)合問題等.在上述各類壓軸題型中，圓錐曲線的離心率的求法是一類常見題型，也是歷年高考考查的熱點(diǎn)，解題規(guī)律 更易把握.求解圓錐曲線的離心率的值或取值范圍，其關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)牡攘炕虿坏攘筷P(guān)系，以過渡到含有 離心率 e 的等式或不等式使問題獲解1、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)a, b, c的比例關(guān)系（只需找出其中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系即可），方法通常有

2、兩個(gè)方向：（1）利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形（曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形），那么可考慮 尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與a 有關(guān)，另一條邊為焦距.從而可求解（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用a, b, c進(jìn)行表示，再利用條件列出等式求解2、離心率的范圍問題：在尋找不等關(guān)系時(shí)通常可從以下幾個(gè)方面考慮：（1）題目中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對(duì)橫坐標(biāo)的范圍有要求 .如果問題圍繞在“曲線上存在一點(diǎn)”，則可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用a, b, c表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破口（2）若題目中有一個(gè)核心

3、變量，則可以考慮離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可（3）通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于a, b, c的不等式，進(jìn)而解出離心率注：在求解離心率范圍時(shí)要注意圓錐曲線中對(duì)離心率范圍的初始要求：橢圓：e (0,1) 本專題通過例題說明各類問題解答規(guī)律與方法.【壓軸典例】，雙曲線：e (1,+)x2 y2例 1. (2016全國(guó)卷)已知 o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，f 是橢圓 c： 1(ab0)的左焦點(diǎn)，a，b 分別為 c 的左、a2 b2右頂點(diǎn)p 為 c 上一點(diǎn)，且 pfx 軸過點(diǎn) a 的直線 l 與線段 pf 交于點(diǎn) m，與 y 軸交于點(diǎn) e.若直線 bm 經(jīng)過 oe 的中點(diǎn)，則 c 的離心率為( )

4、a.13b.12.|on| |ob|a 2mc na m aaacc.23d.34【答案】a【解析】本題以橢圓內(nèi)點(diǎn)線的交錯(cuò)關(guān)系為條件，而結(jié)論是橢圓的離心率，思考目標(biāo)自然是要得到 a，b，c 滿足的等量關(guān)系，那么方向不外乎兩個(gè)：坐標(biāo)關(guān)系或幾何關(guān)系，抓住條件“直線 bm 經(jīng)過 oe 的中點(diǎn)”作為 突破口適當(dāng)轉(zhuǎn)化，獲得所需等式詳解：法一：數(shù)形結(jié)合法如圖，設(shè)直線 bm 與 y 軸的交點(diǎn)為 n，且點(diǎn) n 的坐標(biāo)為(0，m)，根據(jù)題意，點(diǎn) n 是 oe 的中點(diǎn)，則 e(0,2m)，x y從而直線 ae 的方程為 1，因此點(diǎn) m 的坐標(biāo)為c，a 2m2m(ac) a又obnfbm， |fm| |fb|所以

5、， 2m(ac)即amac c 1 1 ，解得 ，所以橢圓 c 的離心率為 .a a 3 3法二：交點(diǎn)法x y x y同法一得直線 ae 的方程為 1，直線 bn 的方程為 1.又因?yàn)橹本€ ae 與直線 bn 交于點(diǎn) m，且a 2m a mc n 1，pfx 軸，可設(shè) m(c，n)則 1，法三：三點(diǎn)共線法c 1 1 消去 n，解得 ，所以橢圓 c 的離心率為 .a 3 3x y c同法一得直線 ae 的方程為 1，由題意可知 mc，2m1 a 2mc2m1 m m c 1 1 ，解得 ，所以橢圓 c 的離心率為 .c a a 3 3法四：方程法，n(0，m)，b(a,0)三點(diǎn)共線，則設(shè) m(c

6、，m)，則直線 am 的方程為 ym ma (xa)，所以 e0， ac m.直線 bm 的方程為 y (xa)，caac1ma與 y 軸交于點(diǎn)0， 2ma ma c 1 1 ，由題意知， ，即 ac2(ac)，解得 ，所以橢圓 c 的離心率為 .ac ac a 3 3法五：幾何法mf ac在aoe 中，mfoe，所以 .oe aoe2 a oe 2a在bfm 中，onmf，所以 ，即 .mf ac mf acmf oe ac 2a c 1 1 所以 1，即 ac2(ac)，解得 ，所以橢圓 c 的離心率為 .oe mf a ac a 3 3例 2.（2019全國(guó)高考真題（理） 已知雙曲線 c

7、：x2 y2- =1(a 0,b 0) a2 b2的左、右焦點(diǎn)分別為 f ，f ，過1 2f 的直線與 c 的兩條漸近線分別交于 a，b 兩點(diǎn)若 f a =ab1【答案】2.【解析】，f b f b =0 1 2，則 c 的離心率為_分析:通過向量關(guān)系得到f a =ab 和 oa f a ，得到 aob =aof 1 1 1，結(jié)合雙曲線的漸近線可得bof =aof , 2 1bof =aof =boa =60 2 10,從而由ba=tan 600= 3可求離心率.詳解:如圖，由f a =ab, 1得f a =ab . 1又of =of ,1 2得 oa 是三角形f f b1 2的中位線，即bf

8、 / / oa, bf =2oa. 2 2由f b f b =0 1 2，得f b f b , oa f a , 1 2 1則ob =of1有aob =aof1，又 oa 與 ob 都是漸近線，得bof =aof , 又 bof +aob +aof =p 2 1 2 1，得bof =aof =boa =60 0 , 2 1又漸近線 ob 的斜率為ba=tan 600 = 3，所以該雙曲線的離心率為e =c b= 1 +( ) 2 = 1 +( 3) 2 =2 a axx2 2x 2 y 2例 3. （2019浙江高考真題）已知橢圓 + =19 5的左焦點(diǎn)為 f ，點(diǎn) p 在橢圓上且在 軸的上方

9、，若線段 pf 的中點(diǎn)在以原點(diǎn)o為圓心， of 為半徑的圓上，則直線 pf 的斜率是_.【答案】 15【解析】分析:結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長(zhǎng)度用坐標(biāo)表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可 進(jìn)一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡(jiǎn)潔.詳解:方法 1：由題意可知|of |=|om |= c = 2，由中位線定理可得pf =2 | om |=4 ，設(shè) p ( x, y ) 1可得( x -2)2+y2=16，聯(lián)立方程x 2 y 2+ =19 5可解得x =-3 21, x =2 2（舍），點(diǎn) p 在橢圓上且在 軸的上方，15 3 15 求得 p - , ，所以 k =pf

10、212= 15方法 2：焦半徑公式應(yīng)用解析 1：由題意可知|of |=|om |= c = 2，由中位線定理可得pf =2 | om |=4 ，即 a -ex =4 x =-1 p p32215 求得 p -3 15,2 2，所以kpf= = 1512.例 4.（2019全國(guó)高考真題（理） 設(shè)f ，f1 2x 2 y 2 為橢圓 c : + =136 20的兩個(gè)焦點(diǎn)， m 為c上一點(diǎn)且在第一象限.若 mf f 為等腰三角形，則 m 的坐標(biāo)為_.1 2【答案】 (3,15 )【解析】分析:根據(jù)橢圓的定義分別求出mf 、mf1 2，設(shè)出 m 的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出 m 的坐標(biāo).詳解:由已知可

11、得a2 =36 , b 2 =20 , c 2 =a 2 -b 2=16 , c =4， mf = f f =2c =8 mf =41 1 2 2設(shè)點(diǎn) m 的坐標(biāo)為(x , y )(x0,y 0 0 0 0 0)，則mf f1 2=12f f y =4 y 1 2 0 0，又mf f1 2=124 82-22=4 15 , 4 y =4 15 ，解得 y = 150 0，x 20 +36(15)220=1，解得x =3 （ x =-3 0 0舍去）， m的坐標(biāo)為(3,15 )x 2 y 2例 5.（2019全國(guó)高考真題（文） 設(shè) f 為雙曲線 c： - =1a2 b2（a0，b0）的右焦點(diǎn)，o

12、 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 of 為直徑的圓與圓 x2+y2=a2 交于 p、q 兩點(diǎn)若|pq|=|of|，則 c 的離心率為（ ）a 2c2【答案】a【解析】b 3d 5設(shè)pq 與 x 軸交于點(diǎn) a ，由對(duì)稱性可知pq x軸，又pq =|of |=c，| pa |=c2, pa為以 of 為直徑的圓的半徑， a 為圓心| oa |=c2 mnc c p ,2 2 ，又 p 點(diǎn)在圓x 2 +y 2 =a 2上，c 2 c 2 c 2 c2 + =a 2 ，即 =a 2 , e 2 = =24 4 2 a 2 e = 2 ，故選 a例 6.（2018 全國(guó)卷 i）已知雙曲線 c：x 23-y2=1 ，o

13、為坐標(biāo)原點(diǎn)，f 為 c 的右焦點(diǎn)，過 f 的直線與 c 的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為 m、n.若 omn 為直角三角形，則|mn|=（ ）a32b3 c 2 3d4【答案】b【解析】分析：首先根據(jù)雙曲線的方程求得其漸近線的斜率，并求得其右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到fon =30 ，根 據(jù)直角三角形的條件，可以確定直線 mn 的傾斜角為 60或 120，根據(jù)相關(guān)圖形的對(duì)稱性，得知兩種情況求得的結(jié)果是相等的，從而設(shè)其傾斜角為 60，利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，之后分別與兩條漸近線方程聯(lián)立，3求得 m (3, 3), n ( , -232) ，利用兩點(diǎn)間距離公式求得 的值.詳解：根據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為

14、33，且右焦點(diǎn)為 f (2,0) ，從而得到 fon =30，所以直線mn的傾斜角為 60或120，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，設(shè)其傾斜角為 60，12222可以得出直線mn的方程為 y = 3( x -2) ，分別與兩條漸近線 y =3求得 m (3, 3), n ( , -23332x 和 y =-) ，33x 聯(lián)立，3所以 mn = (3 - )22+( 3 +32)2=3 ，故選 b.例 7.（2018 浙江卷）已知點(diǎn) p(0，1)，橢圓x24+y2=m(m1)上兩點(diǎn) a，b 滿足uurap=2 pb ，則當(dāng) m=_時(shí)，點(diǎn) b 橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大【答案】5【解析】分析:先根據(jù)條件得到 a,b

15、坐標(biāo)間的關(guān)系，代入橢圓方程解得 b 的縱坐標(biāo)，即得 b 的橫坐標(biāo)關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān) 系，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定最值取法.詳解：設(shè)a( x , y ), b ( x , y ) 1 1 2 2，由 ap =2 pb得-x =2 x ,1 -y =2( y -1),-y =2 y -3, 1 2 1 2 1 2x 2 x 2因?yàn)?a,b 在橢圓上,所以 1 +y 2 =m, 24 4+y22=m,4 x 2 x 2 3 m 2 +(2 y -3) 2 =m, 2 +( y - ) 2 =4 4 2 4，與x 224+y22=m 對(duì)應(yīng)相減得3 +m 1y = , x 2 =- ( m 2 -10

16、m +9) 4 4 4，當(dāng)且僅當(dāng) m =5時(shí)取最大值.例 8. （2019北京卷）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線c： 一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：就是其中之曲線 c 恰好經(jīng)過 6 個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）； 曲線 c 上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過 ；曲線 c 所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于 3.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）a.b. c. d.【答案】c【解析】分析：將所給方程進(jìn)行等價(jià)變形確定 x 的范圍可得整點(diǎn)坐標(biāo)和個(gè)數(shù)，結(jié)合均值不等式可得曲線上的點(diǎn)到坐 標(biāo)原點(diǎn)距離的最值和范圍，利用圖形的對(duì)稱性和整點(diǎn)的坐標(biāo)可確定圖形面積的范圍.詳解：由得, , ,所以 可為的整數(shù)

17、有 0,-1,1,從而曲線(-1,0),(-1,1)六個(gè)整點(diǎn),結(jié)論正確.恰好經(jīng)過(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),由得,解得 ,所以曲線 上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過. 結(jié)論正確.如圖所示,易知,四邊形的面積 ,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于 ,即“心形”區(qū)域的面積大于 3,說法錯(cuò)誤.故選 c.【壓軸訓(xùn)練】(2 22 2xx 2 y 21（2019天津南開中學(xué)高考模擬（理） 已知雙曲線 - =1 a 0, b 0a2 b 2)的左、右焦點(diǎn)分別為f 、f1 2，焦距為2c(c0)，拋物線y 2 =2cx準(zhǔn)線交雙曲線左支交于 a, b 兩點(diǎn)，且 aob =120，其中o為原點(diǎn)，則雙

18、曲線的離心率 e 為（ ）a 2b 1 + 2c1 + 3d 1 + 5【答案】c【解析】設(shè)拋物線y2=2 cx準(zhǔn)線與橫軸的交點(diǎn)為 m , m 的坐標(biāo)為 c - ,0 2 ，設(shè) a 在第二象限，由雙曲線的對(duì)稱性可知: moa =60 ，tan moa =am 3 c 3 am = c ， a 的坐標(biāo)為 ( - , c) ，焦距為 2 c ， om 2 2 2設(shè)a =1,b2=c2-a2=c2-1，又 e =ca=c，把 a 的坐標(biāo)代入雙曲線方程中，得c 3( - ) 2 ( c ) 2- =1 e a 2 b 24-8e2+4 =0 e2=4 +2 3 e = 3 +1，故本題選 c.2（20

19、19山東高考模擬（文） 如圖，點(diǎn) f 是拋物線y =8 x 的焦點(diǎn)，點(diǎn) a ， b 分別在拋物線 y =8 x及圓( x -2) 2 +y 2 =16的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且 ab始終平行于 軸，則 dabf 的周長(zhǎng)的取值范圍是（ ）a.(2,6)b.(6,8)c.(8,12)d.(10,14)【答案】c22a c, , b c, -a abc -b2c【解析】拋物線的準(zhǔn)線l：x =-2，焦點(diǎn) f（2，0），由拋物線定義可得af =x +2 a，圓 (x-2)+y2 =16的圓心為（2，0），半徑為 4， fab 的周長(zhǎng)= af + ab +bf =x +2 +(x-xa ba)+4 =6 +xb

20、，由拋物線y 2 =8 x及圓 (x-2)+y2 =16可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2， x （2，6）， b6 +x (812， b)，故選 c.3（2019四川棠湖中學(xué)高三期末（文） 已知雙曲線x 2 y 2- =1(a 0, b 0) 的離心率為 2，過右焦點(diǎn)且垂 a 2 b2直于 x 軸的直線與雙曲線交于 a, b 兩點(diǎn).設(shè) a, b 到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為 d 和 d ，且1 2d +d =6, 1 2則雙曲線的方程為（ ）ax 2 y 2- =13 9bx 2 y 2- =19 3x 2 y 2 c - =14 12【答案】a【解析】x 2 y 2 d - =112 4設(shè)雙曲線

21、的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為f(c,0)（c0），則x =x =c a b，由c 2 y 2- =1a2 b2b 2 可得： y = ，a b 2 b 2 不妨設(shè)： ，雙曲線的一條漸近線方程為bx -ay =0，據(jù)此可得：d +d =則1 2d =12 bccbc -b 2 2 bc +b 2= ， d =2=9a 2 +b 2 a2 +b =2b =6 ，則 b =3, b，2=bc +bc2，c b2 9雙曲線的離心率： e = = 1 + = 1 + =2 ，a a 2 a21據(jù)此可得： a 2 =3，則雙曲線的方程為x 2 y 2- =13 9.本題選擇 a 選項(xiàng).4（2019張家口市第四中學(xué)高二月

22、考（文） 已知橢圓 c 的焦點(diǎn)為f ( -1,0 )， f (1,0 )，過 f 的直線與 c 1 2 2交于 a，b 兩點(diǎn).若 af=2f b，ab=bf，則 c 的方程為（ ）2 2 1a.x 22+y2=1b.x 2 y 2+ =13 2c.x 2 y 2+ =14 3d.x 2 y 2+ =15 4【答案】b【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)f b =n ，則 af =2n , bf = ab =3n 2 2 1，由橢圓的定義有2a = bf +bf =4n , af =2a - af =2n 在 af b 1 2 1 2 1中，由余弦定理推論得4n 2 +9n2 -9n 2 1cos f

23、 ab = =2 2n3n 3在 af f 1 2中，由余弦定理得4n2+4n21-2 2n2n =433 ，解得 n = 2 2 a =4 n =2 3 , a =3 , b2 =a 2 -c 2=3 -1 =2 , 所求橢圓方程為x 2 y 2+ =13 2，故選 b法二：由已知可設(shè)f b =n2，則af =2n , bf = ab =3n 2 1，由橢圓的定義有2a = bf +bf =4n , af =2a - af =2n 1 2 1 2在 af f 1 2和bf f1 2中，由余弦定理得4nn22 +4 -2 2n 2cosaf f =4 n2 1+4 -2 n2cosbf f =

24、9n22 12,，又af f , bf f 互補(bǔ)，cos af f +cos bf f =02 1 2 1 2 1 2 1，兩式消去cos af f ,cos bf f2 1 2 1，得 3n2+6 =11n2，解得n =32x 2 y 22 a =4 n =2 3 , a = 3 , b 2 =a 2 -c 2 =3 -1 =2 , 所求橢圓方程為 + =13 2，故選 b-1, -1, -3x 2 y 2a b2275（2019天津市新華中學(xué)高考模擬（理） 設(shè) f 、f1 2分別為雙曲線x 2 y 2- =1(a 0, b 0) 的左、右焦點(diǎn). a 2 b2若在雙曲線右支上存在點(diǎn) p ，滿

25、足pf = f f2 1 2，且 f 到直線 pf 的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲 2 1線的漸近線與拋物線 3a44c3y2=4 x的準(zhǔn)線圍成三角形的面積為（ ）3b55d3【答案】c【解析】依題意|pf |f f |，可知三角形 pf f 是一個(gè)等腰三角形，f 在直線 pf 的投影是其中點(diǎn)，由勾股定理可知 2 1 2 2 1 2 1|pf1|2 4c 2 -4a 2 =4b根據(jù)雙曲定義可知 4b2c2a，整理得 c2ba，代入 c2a2+b2整理得 3b24ab0，求得b 4=a 3雙曲線漸近線方程為 y43x，即 4x3y0，漸近線與拋物線的準(zhǔn)線x =-1 4 的交點(diǎn)坐標(biāo)為： ， 4

26、3，三角形 的面積為：1 8 41 =2 3 3.故選：c.6（2019吉林高考模擬（理） 已知雙曲線 - =1(a 0, b 0) 的左、右焦點(diǎn)分別為 f ， f ，過 f 且1 2 2斜率為 24 的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為 a ，若(ff +f a )fa=0，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能2 1 2 1為（ ）ax 2 y 2- =14 3bx 2 y 2- =13 4cx 2 y 2- =116 9dx 2 y 2- =19 161 2則： ，解得： 12【答案】d【解析】由(ff +f a )fa=0 2 1 2 1，可知f f =f a =2c 1 2 2，又 af 的斜率為 2

27、247，所以易得cos af f =-2 1725，在daf f1 2中，由余弦定理得 af =1165c，由雙曲線的定義得165c -2c =2 a，所以 e =c 5=a 3，則 a : b =3: 4 ，所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為x 2 y 2- =19 16.故選 d7（2019天津高考模擬（理） 設(shè) e ， e 分別為具有公共焦點(diǎn) f ， f 的橢圓和雙曲線的離心率， p 為兩1 21 1曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足 pf pf =0 ，則 + 的值為（ ）1 2 e 2 e 21 2a12b13c2 d不確定【答案】c【解析】設(shè)橢圓、雙曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng)分別為2 a , 2 a 1 2，焦

28、距為 2 c ，pf + pf =2 a pf =a +a 1 2 1 1 1 2pf -pf =2 a pf =a -a 1 2 2 2 1 2，由勾股定理可得： pf12+ pf22=(2c)2，即：(a+a1 2)2+(a1-a2)2=4c2，整理可得：1 1a2 +a2 =2c2 , + =2e2 e21 2.故選：c.8.（2017 新課標(biāo)全國(guó)卷文科）已知橢圓 c：x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2 b 2的左、右頂點(diǎn)分別為 a ，a ，且以線段1 2a a 為直徑的圓與直線 1 2bx -ay +2 ab =0相切，則 c 的離心率為（ ）20a , p2a.c.6323

29、b.d.3313【答案】a【解析】以線段a a1 2為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)，半徑為 r =a ，圓的方程為x 2 +y 2 =a 2，直線bx -ay +2 ab =0與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即d =2 ab a 2 +b 2=a，整理可得 a 2 = 3b 2 ，即a2=3 (a2 -c 2),即 2 a 2 =3c 2 ，從而 e2=c 2 2=a2 3c 2 6，則橢圓的離心率 e = = =a 3 3，故選 a.9（2019天津高考模擬（理） 己知點(diǎn) a 是拋物線 cy12=2 px ( p 0)x 2 y 2與雙曲線 c - =1(a 0，b 0) 的

30、a 2 b 2一條漸近線的交點(diǎn)，若點(diǎn) a 到拋物線 c 的準(zhǔn)線的距離為 p，則雙曲線的離心率為（ ）1a 2b 3c 5d2【答案】c【解析】設(shè)a(x , y0 0)，則x +0p2=p x =0p p, y = 2 p =p 2 2由雙曲線方程可得漸近線方程為：y =bax若 a 為拋物線與y =baxp b 交點(diǎn)，則 ，可得 a=2即： b2=4 a2 c2=a2+b2=5a2c e = = 5a由對(duì)稱性可知， a 為拋物線與y =-bax交點(diǎn)時(shí)，結(jié)論一致p,y =2本題正確選項(xiàng)：c10（2019天津高考模擬（理） 已知f , f1 2分別雙曲線3 x 2 -y 2 =3a 2 ( a 0

31、)的左右焦點(diǎn)，是 p 拋物線y 2 =8 ax與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若pf +pf =12 1 2，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）a.x =-4b.x =-3c.x =-2d.x =-1【答案】c【解析】由題得雙曲線的方程為x 2 y 2- =1 ，所以 c a2 3a 22=a2+3a2=4 a 2 , c =2 a.所以雙曲線的右焦點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)重合.由題得 pf +pf =12 1 2pf +pf =2 a 1 2, pf =6 -a2.聯(lián)立雙曲線的方程和拋物線的方程得3 x2 -8ax -3a 2=0, x =-a3(舍）或x =3a.由拋物線的定義得 6-a=3a-(-2a),所以 a=

32、1,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為 x=-2，故選 c.11（2019天津高考模擬（文）已知雙曲線 c :x 2 y 2- =1a 2 b2( a 0, b 0)的右焦點(diǎn)為 f (c,0) ，直線 x =a 2c與一條漸近線交于點(diǎn) p ， dpof的面積為 a 2(o為原點(diǎn)），則拋物線y 2 =2bax的準(zhǔn)線方程為( )ay =12bx =1cx =-1dx = 2【答案】c【解析】不妨取雙曲線的漸近線方程為bx -ay =0，與直線 x =a2c a 2x = c a2 ab 聯(lián)立可得： ，即 ab c c c,由題意可得pof1 ab ab 2b c = =a ，b 2 a, =42 c 2 a，

33、拋物線方程為y2=4 x，其準(zhǔn)線方程為x =-1.f fx 2 y 2a b22222故選：c.12（2018全國(guó)卷 ii）已知 ， 是橢圓 c： + =1( a b 0) 的左，右焦點(diǎn)， a 是1 2c的左頂點(diǎn)，點(diǎn)3p 在過 a 且斜率為 的直線上，6pf f1 2為等腰三角形， f f p =120 1 2，則c的離心率為（ ）a23b12c13d14【答案】d【解析】分析：先根據(jù)條件得 pf =2c,再利用正弦定理得 a,c 關(guān)系，即得離心率.2詳解：因?yàn)閜f f1 2為等腰三角形， f f p =120 1 2，所以 pf =f f =2c, 2 1 2由 ap 斜率為36得，3 1

34、12tan paf = ,sin paf = ，cos paf =6 13 13，由正弦定理得pf sin paf2 = 2af sin apf2 2,11所以2ca +c=13 sin( -paf )3 2=133 12 1 1 - 2 13 2 132 1 = a =4c, e =5 4，故選 d.13（2019天津高考模擬（理） 以雙曲線上一點(diǎn) 為圓心作圓，該圓與 軸相切于 的一個(gè)焦點(diǎn) ，與 軸交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線 的離心率是（ ）.a. b.c.【答案】b【解析】不妨設(shè)點(diǎn) m 位于第一象限，由雙曲線的性質(zhì)可得，d.由圓的弦長(zhǎng)公式可得：，結(jié)合整理變形可得：可得 ，即 ，xoyaba b

35、2 2xam -2，-2m 2 m雙曲線中故選：b.，故 .14.（2019廣東佛山一中高二月考（文） 在平面直角坐標(biāo)系 中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為 f 的拋物線 x _.2x【答案】 y =2【解析】2=2 py ( p 0) 交于 a, b 兩點(diǎn)，若 af + bf =4 of，則該雙曲線的漸近線方程為p p p| af | +| bf | =y + +y + =4 y +y =p2 2 2，x2 y 2 - =1因?yàn)?a b 2 =2 py a 2 y2-2 pb 2 y +a 2 b2=0 2 pb 2，所以 y +y = =p a = 2b 漸近線方程 a b 2為 y =22x .1

36、5（2019廣東高考模擬（理） 已知拋物線y2=2 px ( p 0)的焦點(diǎn)為f , o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)m , n為拋物線準(zhǔn)線上相異的兩點(diǎn)，且 m , n 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為-4，直線 om ， on 分別交拋物線于 a 若 a，b，f 三點(diǎn)共線，則 p =_.【答案】2【解析】， b 兩點(diǎn)，設(shè) p2 p ，m ， n - ，n ，則直線om 的方程為： x =-p2 my，代入拋物線方程可得：y2=2 p -p2 my，解得： y =- ap 2m p3 p2 ，故 a 點(diǎn)坐標(biāo)為： 同理可得：b 點(diǎn)坐標(biāo)為： p3 p 2，-2n2 n，fa =， -1 = -1n m 2 m n22m n4又fp 02 ， p3 2m2p p2- ，-2 m p 3 p p2 fb = - ，-2n2 2 n又 a，b，f 三點(diǎn)共線， p3 p p 2 p3 p p2 - - = - -2m2 2 n 2n 2 2 m1 p 2 1 p 2 ，由 mn =-4p 2 1 p 2 1 1 1 p - = - ，即 - 1- =0 -4m n -4n m 又1 1- 0m n1 -p 24=0，p 0p =2故答案為：2x 2 y 216.（2018北京高考真題（理） 已知橢圓 m： + =1(a b 0)a 2 b 2x 2 y 2 ，雙曲線 n： - =1m 2 n2