更高更妙的高中數(shù)學(xué)思想與方法,第5版

1、更高更妙的高中數(shù)學(xué)思想與方法,第5版篇一：高考數(shù)學(xué)七大基本思想方法講解 高中數(shù)學(xué)思想方法 （貴州省六盤水市第一實(shí)驗(yàn)中學(xué) 553000 岑義其） 第一：函數(shù)與方程思想 （1）函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象，概括與提煉，在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時，起著重要作用 （2）方程思想是解決各類計算問題的基本思想，是運(yùn)算能力的基礎(chǔ) 高考把函數(shù)與方程思想作為七種重要思想方法重點(diǎn)來考查 第二：數(shù)形結(jié)合思想： （1）數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即數(shù)與形兩個方面 （2）在一維空間，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立一一對應(yīng)關(guān)系 在二維空間，實(shí)數(shù)對與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)建立一一對應(yīng)關(guān)系 數(shù)形結(jié)合中，選

2、擇、填空側(cè)重突出考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，在解答題中，考慮推理論證嚴(yán)密性，突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化 第三：分類與整合思想 （1）分類是自然科學(xué)乃至社會科學(xué)研究中的基本邏輯方法 （2）從具體出發(fā)，選取適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn) （3）劃分只是手段，分類研究才是目的 （4） 有分有合，先分后合，是分類整合思想的本質(zhì)屬性 （5） 含字母參數(shù)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類與整合的研究，重點(diǎn)考查學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性與周密性 第四：化歸與轉(zhuǎn)化思想 （1）將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題 （2）靈活性、多樣性，無統(tǒng)一模式，利用動態(tài)思維，去尋找有利于問題解決的變換途徑與方法 （3）高考重視常用變換方法：一般與特

3、殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、命題的等價轉(zhuǎn)化 第五： 特殊與一般思想 （1）通過對個例認(rèn)識與研究，形成對事物的認(rèn)識 （2）由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)、由局部到整體、由實(shí)踐到理論 （3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反復(fù)認(rèn)識過程 （4） 構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點(diǎn)、確立特殊位置，利用特殊值、特殊方程 （5） 高考以新增內(nèi)容為素材，突出考查特殊與一般思想必成為命題改革方向 第六：有限與無限的思想： （1）把對無限的研究轉(zhuǎn)化為對有限的研究，是解決無限問題的必經(jīng)之路 （2）積累的解決無限問題的經(jīng)驗(yàn)，將有限問題轉(zhuǎn)化為無限問題來解決是解決的方向（3）立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法來解

4、決，實(shí)際上是先進(jìn)行有限次分割，再求和求極限，是典型的有限與無限數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用 （4）隨著高中課程改革，對新增內(nèi)容考查深入，必將加強(qiáng)對有限與無限的考查 第七：或然與必然的思想： （1）隨機(jī)現(xiàn)象兩個最基本的特征，一是結(jié)果的隨機(jī)性，二是頻率的穩(wěn)定性 （2）偶然中找必然，再用必然規(guī)律解決偶然 （3）等可能性事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、隨機(jī)事件的分布列、數(shù)學(xué)期望是考查的重點(diǎn)篇二：高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧與方法 1. 上高中后我們應(yīng)該注意哪些問題，哪些疑難雜癥，哪些易錯，哪些要怎么學(xué)，有什么技巧才能學(xué)好的？ 答：第一，你要有自信，自信是成功的一半，現(xiàn)在你在學(xué)法上

5、有問題。第二：養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，做好預(yù)習(xí)，把預(yù)習(xí)沒看懂的東西，第二天上課著重聽。上課做筆記要學(xué)會簡記，以聽為主，把老師總結(jié)的重點(diǎn)基準(zhǔn)記清，課后題量要適當(dāng)，只有做到一定量，才能做到歸納和總結(jié)，我認(rèn)為一個人如果學(xué)會了總結(jié)，就會變得越來越厲害。第三，注意自己做錯的題，重要的不是做題多，而是做過的題要記得，要明白。 還有，多跟同學(xué)溝通是很好的學(xué)習(xí)方法，就是同學(xué)問題的時候你可以跟她一起看看，或者他問你，你也要給他講明白，這樣一是可以從別人那里發(fā)現(xiàn)自己不會的，還可以加深已經(jīng)會了得記憶。 其實(shí)，數(shù)學(xué)在每個章節(jié)里，題型就那么幾種，一定要學(xué)會總結(jié)，和按時復(fù)習(xí)，做題的時候往你總結(jié)的東西上想和靠。 2. 一、抓住課

6、堂。理科學(xué)習(xí)重在平日功夫，不適于突擊復(fù)習(xí)。平日學(xué)習(xí)最重要的是課堂分鐘，聽講要聚精會神，思維緊跟老師。同時要說明一點(diǎn)，許多同學(xué)容易忽略老師所講的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，而注重題目的解答，其實(shí)諸如“化歸”、“數(shù)形結(jié)合”等思想方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)重要于某道題目的解答 二、高質(zhì)量完成作業(yè)。所謂高質(zhì)量是指高正確率和高速度。寫作業(yè)時，有時同一類型的題重復(fù)練習(xí)，這時就要有意識的考查速度和準(zhǔn)確率，并且在每做完一次時能夠?qū)Υ祟愵}目有更深層的思考，諸如它考查的內(nèi)容，運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，解題的規(guī)律、技巧等。另外對于老師布置的思考題，也要認(rèn)真完成。如果不會決不能輕易放棄，要發(fā)揚(yáng)“釘子”精神，一有空就靜心思考，靈感總是突然來到你身邊的

7、。最重要的是，這是一次挑戰(zhàn)自我的機(jī)會。成功會帶來自信，而自信對于學(xué)習(xí)理科十分重要；即使失敗，這道題也會給你留下深刻的印象。 三、勤思考，多提問。首先對于老師給出的規(guī)律、定理，不僅要知“其然”還要“知其所以然”，做到刨根問底，這便是理解的最佳途徑。其次，學(xué)習(xí)任何學(xué)科都應(yīng)抱著懷疑的態(tài)度，尤其是理科。對于老師的講解，課本的內(nèi)容，有疑問應(yīng)盡管提出，與老師討論。總之，思考、提問是清除學(xué)習(xí)隱患的最佳途徑。 四、總結(jié)比較，理清思緒。（）知識點(diǎn)的總結(jié)比較。每學(xué)完一章都應(yīng)將本章內(nèi)容做一個框架圖或在腦中過一遍，整理出它們的關(guān)系。對于相似易混淆的知識點(diǎn)應(yīng)分項(xiàng)歸納比較，有時可用聯(lián)想法將其區(qū)分開。（）題目的總結(jié)比較。同

8、學(xué)們可以建立自己的題庫。我就有兩本題集。一本是錯題，一本是精題。對于平時作業(yè)，考試出現(xiàn)的錯題，有選擇地記下來，并用紅筆在一側(cè)批注注意事項(xiàng)，考試前只需翻看紅筆寫的內(nèi)容即可。我還把見到的一些極其巧妙或難度高的題記下來，也用紅筆批注此題所用方法和思想。時間長了，自己就可總結(jié)出一些類型的解題規(guī)律，也用紅筆記下這些規(guī)律。最終它們會成為你寶貴的財富，對你的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有極大的幫助。 五、有選擇地做課外練習(xí)。課余時間對我們中學(xué)生來說是十分珍貴的，所以在做課外練習(xí)時要少而精，只要每天做兩三道題，天長日久，你的思路就會開闊許多。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法固然重要，但刻苦鉆研，精益求精的精神更為重要。只要你堅持不懈地努力，就一定可

9、以學(xué)好數(shù)學(xué)。相信自己，數(shù)學(xué)會使你智慧的光芒更加耀眼奪目！ “數(shù)學(xué)是一切科學(xué)之母”、“數(shù)學(xué)是思維的體操”，它是一門研究數(shù)與形的科學(xué)，它不處不在。要掌握技術(shù)，先要學(xué)好數(shù)學(xué)，想攀登科學(xué)的高峰，更要學(xué)好數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)，與其他學(xué)科比起來，有哪些特點(diǎn)？它有什么相應(yīng)的思想方法？它要求我們具備什么樣的主觀條件和學(xué)習(xí)方法？本講將就數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法作簡要的闡述。 一、數(shù)學(xué)的特點(diǎn) 數(shù)學(xué)的三大特點(diǎn)： 嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、廣泛的應(yīng)用性 所謂數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，指數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的邏輯性和較高的精通性，一般以公理化體系來體現(xiàn)。 什么是公理化體系呢？指得是選用少數(shù)幾個不加定義的概念和不加邏輯證明的命題為基礎(chǔ)，推出一些

10、定理，使之成為數(shù)學(xué)體系，在這方面，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得是個典范，他所著的幾何原本就是在幾個公理的基礎(chǔ)上研究了平面幾何中的大多數(shù)問題。在這里，哪怕是最基本的常用的原始概念都不能直觀描述，而要用公理加以確認(rèn)或證明。 中學(xué)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)科學(xué)在嚴(yán)謹(jǐn)性上還是有所區(qū)別的，如，中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)集的不斷擴(kuò)充，針對數(shù)集的運(yùn)算律的擴(kuò)充并沒有進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐谱C，而是用默認(rèn)的方式得到，從這一點(diǎn)看來，中學(xué)數(shù)學(xué)在嚴(yán)謹(jǐn)性上還是要差很多，但是，要學(xué)好數(shù)學(xué)卻不能放松嚴(yán)謹(jǐn)性的要求，要保證內(nèi)容的科學(xué)性。 比如，等差數(shù)列的通項(xiàng)是通過前若干項(xiàng)的遞推從而歸納出通項(xiàng)公式，但要予以確認(rèn)，還需要用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。 數(shù)學(xué)的抽象性表現(xiàn)在對空間形式

11、和數(shù)量關(guān)系這一特性的抽象。它在抽象過程中拋開較多的事物的具體的特性，因而具有十分抽象的形式。它表現(xiàn)為高度的概括性，并將具體過程符號化，當(dāng)然，抽象必須要以具體為基礎(chǔ)。 至于數(shù)學(xué)的廣泛的應(yīng)用性，更是盡人皆知的。只是在以往的教學(xué)、學(xué)習(xí)中，往往過于注重定理、概念的抽象意義，有時卻拋卻了它的廣泛的應(yīng)用性，如果把抽象的概念、定理比作骨骼，那么數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用就好比血肉，缺少哪一個都將影響數(shù)學(xué)的完整性。高中數(shù)學(xué)新教材中大量增加數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用和研究性學(xué)習(xí)的篇幅，就是為了培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力。 我們來看看一個生活中有趣的問題。 在任何一次集會中，握過奇數(shù)次手的人必有偶數(shù)個，試證明。 如果抓住兩個關(guān)

12、鍵：一是握手總次數(shù)必為偶數(shù)， 二、高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn) 往往有同學(xué)進(jìn)入高中以后不能適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進(jìn)而影響到學(xué)習(xí)的積極性，甚至成績一落千丈。為什么會這樣呢？讓我們先看看高中數(shù)學(xué)和初中數(shù)學(xué)有些什么樣的轉(zhuǎn)變吧。 1理論加強(qiáng) 2課程增多 3難度增大 4要求提高 三、掌握數(shù)學(xué)思想 高中數(shù)學(xué)從學(xué)習(xí)方法和思想方法上更接近于高等數(shù)學(xué)。學(xué)好它，需要我們從方法論的高度來掌握它。我們在研究數(shù)學(xué)問題時要經(jīng)常運(yùn)用唯物辯證的思想去解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)思想，實(shí)質(zhì)上就是唯物辯證法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用的反映。中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要重點(diǎn)掌握的的數(shù)學(xué)思想有以上幾個：集合與對應(yīng)思想，初步公理化思想，數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)動思想，轉(zhuǎn)化思想，變換思想。 例如，數(shù)列

13、、一次函數(shù)、解析幾何中的直線幾個概念都可以用函數(shù)（特殊的對應(yīng)）的概念來統(tǒng)一。又比如，數(shù)、方程、不等式、數(shù)列幾個概念也都可以統(tǒng)一到函數(shù)概念。 再看看下面這個運(yùn)用“矛盾”的觀點(diǎn)來解題的例子。 已知動點(diǎn)q在圓x2+y2=1上移動，定點(diǎn)p（2，0），求線段pq中點(diǎn)的軌跡。 分析此題，圖中p、q、m三點(diǎn)是互相制約的，而q點(diǎn)的運(yùn)動將帶動m點(diǎn)的運(yùn)動；主要矛盾是點(diǎn)q的運(yùn)動，而點(diǎn)q的運(yùn)動軌跡遵循方程x02+y02=1；次要矛盾關(guān)系：m是線段pq的中點(diǎn)，可以用中點(diǎn)公式將m的坐標(biāo)（x，y）用點(diǎn)q的坐標(biāo)表示出來。 x=(x0+2)/2 y=y0/2 顯然，用代入的方法，消去題中的x0、y0就可以求得所求軌跡。 數(shù)學(xué)思

14、想方法與解題技巧是不同的，在證明或求解中，運(yùn)用歸納、演繹、換元等方法解題問題可以說是解題的技術(shù)性問題，而數(shù)學(xué)思想是解題時帶有指導(dǎo)性的普遍思想方法。在解一道題時，從整體考慮，應(yīng)如何著手，有什么途徑？就是在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下的普遍性問題。 有了數(shù)學(xué)思想以后，還要掌握具體的方法，比如：換元、待定系數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法、分析法、綜合法、反證法等等。只有在解題思想的指導(dǎo)下，靈活地運(yùn)用具體的解題方法才能真正地學(xué)好數(shù)學(xué)，僅僅掌握具體的操作方法，而沒有從解題思想的角度考慮問題，往往難于使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入更高的層次，會為今后進(jìn)入大學(xué)深造帶來很有麻煩。 在具體的方法中，常用的有：觀察與實(shí)驗(yàn)，聯(lián)想與類比，比較與分類，分析與

15、綜合，歸納與演繹，一般與特殊，有限與無限，抽象與概括等。 要打贏一場戰(zhàn)役，不可能只是勇猛沖殺、一不怕死二不怕苦就可以打贏的，必須制訂好事關(guān)全局的戰(zhàn)術(shù)和策略問題。解數(shù)學(xué)題時，也要注意解題思維策略問題，經(jīng)常要思考：選擇什么角度來進(jìn)入，應(yīng)遵循什么原則性的東西。一般地，在解題中所采取的總體思路，是帶有原則性的思想方法，是一種宏觀的指導(dǎo)，一般性的解決方案。 中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思維策略有： 以簡馭繁、數(shù)形結(jié)全、進(jìn)退互用、化生為熟、正難則反、倒順相還、動靜轉(zhuǎn)換、分合相輔 如果有了正確的數(shù)學(xué)思想方法，采取了恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維策略，又有了豐富的經(jīng)驗(yàn)和扎實(shí)的基本功，一定可以學(xué)好高中數(shù)學(xué)。 四、學(xué)習(xí)方法的改進(jìn) 身

16、處應(yīng)試教育的怪圈，每個教師和學(xué)生都不由自主地陷入“題?！敝?，教師拍心某種題型沒講，高考時做不出，學(xué)生怕少做一道題，萬一考了損失太慘重，在這樣一種氛圍中，往往忽視了學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)，每個學(xué)生都有自己的方法，但什么樣的學(xué)習(xí)方法才是正確的方法呢？是不是一定要“博覽群題”才能提高水平呢？ 現(xiàn)實(shí)告訴我們，大膽改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，這是一個非常重大的問題。 （一） 學(xué)會聽、讀 我們每天在學(xué)校里都在聽老師講課，閱讀課本或者資料，但我們聽和讀對不對呢？讓我們從聽（聽講、課堂學(xué)習(xí)）和讀（閱讀課本和相關(guān)資料）兩方面來談?wù)劙?。學(xué)生學(xué)習(xí)的知識，往往是間接的知識，是抽象化、形式化的知識，這些知識是在前人探索和實(shí)踐的基礎(chǔ)上提煉出

17、來的，一般不包含探索和思維的過程。因此必須聽好老師講課，集中注意力，積極思考問題。弄清講得內(nèi)容是什么？怎么分析？理由是什么？采用什么方法？還有什么疑問？只有這樣，才可能對教學(xué)內(nèi)容有所理解。聽講的過程不是一個被動參于的過程，在聽講的前提下，還要展開來分析：這里用了什么思想方法，這樣做的目的是什么？為什么老師就能想到最簡捷的方法？這個題有沒有更直接的方法？ “學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，在聽講的過程中一定要有積極的思考和參預(yù)，這樣才能達(dá)到最高的學(xué)習(xí)效率。 閱讀數(shù)學(xué)教材也是掌握數(shù)學(xué)知識的非常重要的方法。只有真正閱讀和數(shù)學(xué)教材，才能較好地掌握數(shù)學(xué)語言，提高自學(xué)能力。一定要改變只做題不看書，把課本當(dāng)成

18、查公式的辭典的不良傾向。閱讀課本，也要爭取老師的指導(dǎo)。閱讀當(dāng)天的內(nèi)容或一個單元一章的內(nèi)容，都要通盤考慮，要有目標(biāo)。 比如，學(xué)習(xí)反正弦函數(shù)，從知識上來講，通過閱讀，應(yīng)弄請以下幾個問題： (1)是不是每個函數(shù)都有反函數(shù)，如果不是，在什么情況下函數(shù)有反函數(shù)？ （2）正弦函數(shù)在什么情況下有反函數(shù)？若有，其反函數(shù)如何表示？ （3）正弦函數(shù)的圖象與反正弦函數(shù)的圖象是什么關(guān)系？ （4）反正弦函數(shù)有什么性質(zhì)？ （5）如何求反正弦函數(shù)的值？ （二） 學(xué)會思考 愛因斯坦曾說：“發(fā)展獨(dú)立思考和獨(dú)立判斷的一般能力應(yīng)當(dāng)始終放在首位”，勤于思考，善于思考，是對我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提出的最基本的要求。一般來說，要盡力做到以下兩點(diǎn)。

19、 1、 善于發(fā)現(xiàn)問題和提出問題 2、善于反思與反求篇三：從高考試題看數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí) 從高考試題看數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí) 一、高考對數(shù)學(xué)思想方法的要求 1、考試大綱、考試說明的要求 “數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想和方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查，注重展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值”（考試說明（理科，2007年） 數(shù)學(xué)思想和方法，是對數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括，考查時必須要與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，通過數(shù)學(xué)知識的考查，反映考生對數(shù)學(xué)思想和方法的理解；要從學(xué)科整體意義和思想價值上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度”（考

20、試大綱（理科，2007年） 2、高考評價報告要求 “在高考命題時，以經(jīng)常使用的重要數(shù)學(xué)思維方法常編制解答題給予重點(diǎn)考查，而選擇題與填空題則鼓勵考生積極思維，選擇最佳思維方法，優(yōu)化解答過程，減少解答時間，并以此指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)加強(qiáng)思維方法的教學(xué)，提高考生的思維水平”（2007年教育部考試中心高考數(shù)學(xué)測量理論與實(shí)踐） 3、考試中心對教學(xué)與復(fù)習(xí)的建議 “數(shù)學(xué)思想方法較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識有更高的層次具有觀念性的地位，如果說數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可用文字和符號來記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)意識，只能領(lǐng)會、運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決，中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法有數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)和方程思

21、想，分類討論思想，化歸和轉(zhuǎn)化思想” “數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識的同時獲得，與此同時又應(yīng)該領(lǐng)會它們在形成知識中的作用，到了復(fù)習(xí)階段應(yīng)該對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)基本方法進(jìn)行疏理、總結(jié)，逐個認(rèn)識它們的本質(zhì)特征、思維程序或者操作程序，逐步做到自覺地、靈活地施用于所要解決的問題.近幾年來，高考的每一道數(shù)學(xué)試題幾乎都考慮到數(shù)學(xué)思想方法或數(shù)學(xué)基本方法的運(yùn)用，目的也是加強(qiáng)這些方面的考查.同樣,這些高考試題也成為檢驗(yàn)數(shù)學(xué)知識,同時又是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的良好素材,復(fù)習(xí)時可以有意識地加以運(yùn)用.” 二、數(shù)學(xué)思想方法的三個層次 數(shù)學(xué)思想方法可分為三個層次，其主要內(nèi)容如下表三、近三年浙江高考試題對數(shù)

22、學(xué)思想考查的分布情況 四、用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)問題解決 1、函數(shù)與方程思想 考試中心對考試大綱的說明中指出：“高考把函數(shù)與方程的思想作為七種思想方法的重點(diǎn)來考查，使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的基本運(yùn)算，而在解答題中，則從更深的層次，在知識的網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力相綜合的角度進(jìn)行深入考查?！?什么是函數(shù)和方程思想？簡單地說，就是學(xué)會用函數(shù)和變量來思考，學(xué)會轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系,在解題時，用函數(shù)思想做指導(dǎo)就需要把字母看作變量，把代數(shù)式看作函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)做工具進(jìn)行分析，或者構(gòu)造一個函數(shù)把表面上不是函數(shù)的問題化歸為函數(shù)問題用方程思想做指導(dǎo)就需要把含字母的等式看作方程,研究方程的根有

23、什么要求. 著名數(shù)學(xué)家克萊因說“一般受教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會的重要事情是用變量和函數(shù)來思考”一個學(xué)生僅僅學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識，他在解決問題時往往是被動的，而建立了函數(shù)思想，才能主動地去思考一些問題 建立函數(shù)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課題，因?yàn)楹瘮?shù)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)，特別是高中數(shù)學(xué)的主線，函數(shù)思想的建立使常量數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)，中學(xué)數(shù)學(xué)中的初等函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列以及解析幾何都可以歸結(jié)為函數(shù),尤其是導(dǎo)數(shù)的引入為函數(shù)的研究增添了新的工具因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重函數(shù)思想是相當(dāng)重要的 對函數(shù)和方程思想的考查,主要是考查能不能用函數(shù)和方程思想指導(dǎo)解題,在用函數(shù)和方程思想指導(dǎo)解題時要經(jīng)常思考下面一些問題: -是否需

24、要把一個代數(shù)式看成一個函數(shù)? -是否需要把字母看作變量？ -如果把一個代數(shù)式看成了函數(shù)，把一個或幾個字母看成了變量，那么這個函數(shù)有什么性質(zhì)？ -如果一個問題從表面上看不是一個函數(shù)問題，能否構(gòu)造一個函數(shù)來幫助解題？ -是否需要把一個等式看作為一個含未知數(shù)的方程？ -如果是一個方程，那么這個方程的根（例如根的虛實(shí)，正負(fù)，范圍等）有什么要求？ (1)在解題中形成方程意識 將所求的量（或與所求的量相關(guān)的量）設(shè)成未知數(shù)，用它表示問題中的其它各量，根據(jù)題中的等量關(guān)系，列出方程，通過解方程或?qū)Ψ匠踢M(jìn)行研究，以求得問題的解決。 ?m22 例1（天津理10）設(shè)兩個向量a?(?2,?cos?)和b?(m,?sin

25、?),其中?,m,?為實(shí) 2 ? 數(shù).若a?2b,則的取值范圍是 () m a.?6,1 b.4,8 c.(?,1 d.?1,6 例2、（全國1理12）函數(shù)f(x)?cosx?2cos a( 22 x 的一個單調(diào)增區(qū)間是 2 ?2? 3, )b(,) c(0,) d(?,) 362663 ? 5，x4例3、（上海文8）某工程由a，b，c，d四道工序組成，完成它們需用時間依次為2， c可以開工；b，c天四道工序的先后順序及相互關(guān)系是：a，b可以同時開工；a完成后， 完成后，d可以開工若該工程總時數(shù)為9天，則完成工序c需要的天數(shù)x最大是 3 x2y2 例4、（浙江理9文10）已知雙曲線2?2?1(

26、a?0，b?0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2， abp是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且pf1?pf2，pf1pf2?4ab，則雙曲線的離心率是（ ）2 3 該等量關(guān)系轉(zhuǎn)換成等于a、b、c的關(guān)系等式，即可轉(zhuǎn)換得關(guān)于未知量e的方程，解方程即得e的取值。 (2)在解題中形成函數(shù)意識 在解題中，要對所給的問題觀察、分析、判斷并善于挖掘題目中的條件，構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式、妙用函數(shù)的性質(zhì)。 例6、對于滿足0p4的一切實(shí)數(shù)，不等式xpx4xp3恒成立，試求x的取值范圍一例，我們習(xí)慣上把x當(dāng)作自變量，構(gòu)造函數(shù)yx(p4)x3p,于是問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)p0,4時，y0恒成立，求x的取值范圍解決這個等價的問題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二

27、次方程的區(qū)間根原理，可想而知，這是相當(dāng)復(fù)雜的 如果把p看作自變量，x視為參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)y(x1)p(x4x3)，則y是p的一次函數(shù)，就非常簡單即令 f(p)(x1)p(x4x3)函數(shù)f(p)的圖象是一條線段，要使f(p)0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(0)0，且f(4)0，解這個不等式組即可求得x的取值范圍是(,1)(3,)本題看上去是一個不等式問題，但是經(jīng)過等價轉(zhuǎn)化，我們把它化歸為一個非常簡單的一次函數(shù)，并借助于函數(shù)的圖象建立了一個關(guān)于x的不等式組來達(dá)到求解的目的又如，已知（3x7x4x7x5）（3x7x4x7x5）a0a1xa2x?a40x，試求a0a2a4?a40的值此題的第一感覺，可能會聯(lián)想到二

28、項(xiàng)式定理，但是仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)左邊并不是某兩個二項(xiàng)式的展開式但比較一下對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，它們的偶次冪項(xiàng)的系數(shù)都相等，而x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性便不難解決 2 40 4 3 2 5 4 3 2 5 2 2 2 2 x2 ?y2?1交于a、b兩點(diǎn)，記例5、（浙江文21)(本題15分)如圖，直線ykxb與橢圓4 aob的面積為s (i)求在k0，0b1的條件下，s的最大值； （)當(dāng)ab2，s1時，求直線ab的方程 (3)、在求變量取值范圍中形成不等式的意識 數(shù)學(xué)中很多變量的范圍往往可將它們間的關(guān)系建立一個不等式通過解 不等式即可求得。2y22x?1（a0,b0）離心率e=例7、雙曲線 3a2b2 的直線與原點(diǎn)間距離為(1)求雙曲線方程； ,過點(diǎn)a（0,-b）和b（a,0） 。 2 (2)若直線l:y=kx+m(k?0，m?0)與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)c、d，且c、d兩點(diǎn)都在以a為圓心的圓上，求函數(shù)m=f(k)的解析式及值域。