北京市通州區(qū)2018屆下學期高三年級三模考試數(shù)學試卷(文科

1、北京市通州區(qū)屆下學期高三年級三?？荚嚁?shù)學試卷（文科）本試卷共分?？荚嚂r長分鐘。第一部分 （選擇題共分）一、選擇題共小題，每小題分，共分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（）若集合 S x | x 0或x2 ， T x |1 x3 ，則 ST（） (2,3)（） (1,2)（） (1,3)（） (0,1)(2,3)（）若復數(shù) z(2 i)(1 i) ，則 z 的模等于（）（） 5（）10（） 32（）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）（）（）（）x 3,3 0, 則 y 的最大值為（）若 x, y 滿足 3x2yxy2 x0,1 / 12（） 1（） 1（）3（） 222（

2、）設(shè) f ( x) 為定義在 R 上的偶函數(shù)， 且 f ( x) 在 0,上為增函數(shù)， 則 f ( 2), f (), f (3) 的大小順序是（） f ( )f ( 2)f (3)（） f ( 2)f (3)f ()（） f ( )f (3)f ( 2)（） f (3)f ( 2)f ()（）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的長度為（）（） 1（）2（）3（） 2（）已知非零向量a,b ， 則“ a b 0 ”是“ a,b 夾角為銳角”的（）充分而不必要條件（）必要而不充分條件（）充分必要條件（）既不充分也不必要條件（）標準的圍棋棋盤共19 行 19 列， 361個格點，每個格點

3、上可能出現(xiàn)“黑 ”“白 ”“空 ”三種情況，因此有 3361 種不同的情況；而我國北宋學者沈括在他的著作夢溪筆談中，也討論過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”種，即 1000052 ，下列數(shù)據(jù)最接近3361的是（ lg30.477 ）1000052（） 10 37（） 10 36（） 10 35（） 10 34第二部分 （非選擇題共分）二、填空題共小題，每小題分，共分。2 / 12（）在平面直角坐標系xOy 中，角以 Ox 為始邊，終邊位于第四象限，且與單位圓交于點 (1, y) ，則 sin.2（）拋物線 y22 px( p0) 的準線與雙曲線 x2y21 的兩條

4、漸近線所圍成三角形的面積等4于 2 ，則 p .（）設(shè) P(n, n2 ) 是函數(shù) yx2 圖象上的動點，當點 P到直線 y x 1 的距離最小時， n .（）能夠說明 “設(shè) a, b, c 是任意實數(shù) 若 ab c ，則 a2ab c2 ”是假命題的一組整數(shù)a, b, c的值依次為 .（）在 ABC 中，C90 ， B 30uuruuur， AC 2 ， P 為線段 AB 上一點，則 PBPC 的取值范圍為 .（）某學校開展一次“五四”知識競賽活動，共有三個問題，其中第、題滿分都是分，第題滿分是分 每個問題或者得滿分， 或者得分 活動結(jié)果顯示， 每個參賽選手至少答對一道題，有名選手只答對其中

5、一道題， 有名選手只答對其中兩道題 答對第題的人數(shù)與答對第題的人數(shù)之和為， 答對第的人數(shù)與答對第題的人數(shù)之和為，答對第題的人數(shù)與答對第題的人數(shù)之和為則參賽選手中三道題全答對的人數(shù)是；所有參賽選手的平均分是三、解答題共小題，共分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（）（本小題分）已知 an 是等差數(shù)列，滿足a12 ， a414 ，數(shù)列 bn 滿足 b11 ， b46 ，且 an bn 是等比數(shù)列 .（）求數(shù)列 an 和 bn 的通項公式；（）若 nN*，都有 bn bk 成立，求正整數(shù)k 的值 .（）（本小題分）2已知函數(shù)f (x)12 3 cos(x)cos x2sin x .（）求f

6、( x) 的最小正周期；3 / 12（）求 ：當x0, ，1 f (x) 2 .2（）（本小 分）某社區(qū) 了解 區(qū)住 中離退休老人每天的平均 外“活 ”，從 區(qū)住 的離退休老人中隨機抽取了位老人 行 ， 得了每人每天的平均 外“活 ”（ 位：小 ），活 按照 ，）， ，）， ， ， 從少到多分成 ，制成 本的 率分布直方 如 所示（）求 中的 ；（）估 社區(qū)住 中離退休老人每天的平均 外 “活 ”的中位數(shù)；（）在 ，）、 ，） 兩 中采用分 抽 抽取人，再從 人中隨機抽取人，求抽取的兩人恰好都在同一個 的概率（）（本小 分）如 ，在四棱 PABCD 中，平面 PAB平面 ABCD ，四 形AB

7、CD 正方形， PAB 等 三角形，E 是 PB 中點，平面AED 與棱 PC 交于點 F .（）求 ：AD / / EF ；（）求 ：PB平面 AEFD ；V1（） 四棱 PAEFD 的體 V1 ，四棱 PABCD 的體 V2 ，直接寫出V2的 .4 / 12（）（本小題分）已知橢圓 C :x2y222 1( a b 0) 過點 P (2 3, 3) ，且兩焦點與短軸的一個頂點的連ab線構(gòu)成等腰直角三角形 .（）求橢圓 C 的方程；（）過 (0, 1) 的直線 l 交橢圓于 A ， B 兩點，試問：是否存在一個定點T ，使得以 AB為直徑的圓恒過點T ？若存在，求出點T 的坐標；若不存在，請

8、說明理由 .（）（本小題分）已知函數(shù) f xex的定義域是 R ，且有極值點x22x b（）求實數(shù)b 的取值范圍；1（）求證：方程fx恰有一個實根2參考答案第一部分 （選擇題共分）一、選擇題共小題，每小題分，共分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。第二部分 （非選擇題共分）二、填空題共小題，每小題分，共分。（ ）3 （ ） 2 （） 1 （） 1 01（此題答案不唯一） （） 3, 2722（） 2 ； 29.55 / 12三、解答題共小題，共分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（）（）解：設(shè) a 的公差為d，則 da4a14n3所以 an2 (n1) 4 4n2 .故

9、 a 的通項公式為 a4n2 （nN*） .nn設(shè) cnanbn ，則 cn 為等比數(shù)列 .c1a1 b1 2 1 1 ， c4a4b414 6 8設(shè) cn 的公比為 q ，則 q3c48 ，故 q2 .c1則 cn2n 1 ，即 an bn2n 1所以 bn 4n 2 2n 1 （ nN*）故 bn的通項公式為 bn4n22n1 （ nN*） .（）解：由題意，bk 應為數(shù)列 bn 的最大項 .由 bn1bn4(n1) 2 2n4n22n142n1 （ nN* ）當 n3 時， bn 1bn0 ， bnbn 1 ，即 b1b2b3 ；當 n3 時， bn 1bn0 ，即 b3b4 ；當 n3

10、 時， bn 1bn0 ， bnbn 1 ，即 b4b5 b6綜上所述 ,數(shù)列 bn 中的最大項為 b3 和 b4 .故存在 k3 或 4，使nN*，都有 bn bk 成立 .（）（）解：因為f ( x)2 3 sin x cos x cos2 x3 sin 2 xcos 2x2sin(2 x6) ，6 / 12所以 f (x) 的最小正周期為.（）證明：因為0 x ，2所以 2 x7.666所以1) 1. sin(2x62所以1 2sin(2 x) 2 .6所以1 f ( x) 2 .（）（）解：由頻率分布直方圖，可知，轄區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外“活動時間 ”在 ，）的頻率為 同理，

11、在 ，）， ）， ，） ，）， ，） ，）， ，）， ， 的頻率分別為， ，由 0.040.080.150.5a0.250.150.070.040.021解得（）解：設(shè) “活動時間 ”的中位數(shù)為小時因為前組的頻率之和為，而前組的頻率之和為，所以由 （），解得所以估計該社區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外“活動時間 ”的中位數(shù)為小時（）解：由題意得平均戶外活動時間在，），）中的人數(shù)分別有人、人，按分層抽樣的方法分別抽取人、人，記作， ，及，從人中隨機抽取人，共有種，分別為：（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）

12、，（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）在同一組的有： （，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）（，），（，）共種，故抽取的兩人恰好都在同一個組的概率p164 369（）7 / 12（）證明：因為正方形ABCD ，所以 AD / / BC .因為 AD平面 PBC ， BC平面 PBC ，所以 AD / / 平面 PBC .因為 AD平面 AEFD ，平面 AEFD平面 PBCEF ，所以 AD / /EF

13、 .（）證明：因為正方形ABCD ，所以 ADAB.因 為 平 面PAB平 面ABCD， 平 面PAB平 面ABCDABAD平 面，ABCD ，所以因為所以AD平面 PAB.PB平面 PAB，ADPB .因為PAB為等邊三角形，E 是 PB 中點，所以 PBAE .因為所以AE平面 AEFD， AD平面 AEFD ， AEADA ，PB平面 AEFD .（）解： V13 .V28（）（）解：因為橢圓C 的兩焦點與短軸的一個頂點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，所以 a2b .所以橢圓 C 的方程為x2y21 .2b2b2又橢圓 C 經(jīng)過點 P (2 3,3) ，代入橢圓方程得 b 3 .8 / 12所

14、以 a 3 2 . 故所求橢圓方程為x2y2181.9（）解：由已知動直線 l 過 (0,1) 點 .當 l 與 x 軸平行時，以AB 為直徑的圓的方程為x2( y1)216；當 l 與 y 軸重合時，以AB為直徑的圓的方程為x2y29 .所以兩圓相切于點(0,3) ，即兩圓只有一個公共點 .因此，所求點T 如果存在，只能是點(0,3) .以下證明以AB 為直徑的圓恒過點T (0,3) ：當 l 與 x 軸垂直時，以 AB 為直徑的圓過點T (0,3) ；當 l 與 x 軸不垂直時，設(shè) l : ykx1 .ykx1,得 (2k 21)x2由 x2y24kx160 .1891由 (0,1) 在橢

15、圓內(nèi)部知0成立 .設(shè) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，則 x x4k,x x16.2k212k212121uuruur又 TA (x1, y13) ， TB( x2 , y23) ，uur uurx1x2( y13)(y2x1x2( kx14)(kx2所以 TA TB3)4)(1k2 ) x x24k(xx ) 16112(1k2 )1614k 4k16 0 .2k22k21所以 TATB ，即以 AB 為直徑的圓恒過點T (0,3) .所以存在一個定點T (0,3) 滿足條件 .（）（）解：由fxex的定義域是R，知44b 0 得 b 1 x22xbfxex x22x b 2x 2 ex x2b 2，x22x22x b22x b由 fx0 得 x22 b 0 ，故 b 2當 b2 時， fxx2ex20 ，函數(shù) fx 在 R 上單調(diào)遞增，無極值點x22 x29 / 12所以實數(shù) b 的取值范圍為 1 b 2（ ） 證 明 ： 由 （ ） 知 函 數(shù) f x的 兩 個 極 值 點 為 m2 b1,0 ，n2 b 0,1 ，x, mmfx0fx極大值