高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 5.3 平面向量的數(shù)量積教師用書(2021年最新整理)

1、（浙江專用）2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 5.3 平面向量的數(shù)量積教師用書（浙江專用）2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 5.3 平面向量的數(shù)量積教師用書 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對文中內(nèi)容進行仔細校對，但是難免會有疏漏的地方，但是任然希望（浙江專用）2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 5.3 平面向量的數(shù)量積教師用書）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進步的源泉，前進的動力。本文可編輯可修改，如果覺

2、得對您有幫助請收藏以便隨時查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績進步，以下為（浙江專用）2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 5.3 平面向量的數(shù)量積教師用書的全部內(nèi)容。20(浙江專用）2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 5。3 平面向量的數(shù)量積教師用書1向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作a,b，則aob就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是0,2平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積，記作ab投影|acos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|與

3、b在a的方向上的投影b|cos 的乘積3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量,為a與b（或e）的夾角則（1）eaaeacos .（2）abab0。（3)當(dāng)a與b同向時，ab|a|b;當(dāng)a與b反向時，ab|a|b|.特別地，aa|a2或a|。(4）cos 。(5)ab|a|b|。4平面向量數(shù)量積滿足的運算律（1）abba；（2）(a）b(ab）a（b)(為實數(shù))；(3)(ab)cacbc。5平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a（x1，y1),b(x2，y2）,則abx1x2y1y2，由此得到（1)若a（x，y）,則a|2x2y2或|a。（2）設(shè)a(x1，y1），b(x2，

4、y2)，則a，b兩點間的距離ab|。(3）設(shè)兩個非零向量a,b，a（x1，y1)，b(x2，y2），則abx1x2y1y20.（4)若a，b都是非零向量,是a與b的夾角，則cos .【知識拓展】1兩個向量a,b的夾角為銳角ab0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角ab0且a，b不共線2平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(ab）(ab)a2b2。（2）（ab)2a22abb2.(3）(ab)2a22abb2?！舅伎急嫖觥颗袛嘞铝薪Y(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)（1）向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量（）(2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向

5、量（)（3）由ab0可得a0或b0.(）（4）（ab)ca(bc)(）(5）兩個向量的夾角的范圍是0，()1(教材改編）已知向量a(2，1），b（1,k)，a（2ab）0，則k等于(）a12 b6c6 d12答案d解析2ab（4,2)（1，k)(5，2k)，由a(2ab）0，得(2，1)(5，2k）0,102k0，解得k12。2(2016臨安質(zhì)檢）已知向量a與b的夾角為30，且|a1，2ab1，則b|等于（)a. b. c. d。答案c解析由題意可得ab|b|cos 30b|，4a24abb21，即42|b|b21，由此求得b|,故選c。3(2016溫州調(diào)研)若平面四邊形abcd滿足0，()0

6、，則該四邊形一定是(）a直角梯形 b矩形c菱形 d正方形答案c解析由0得平面四邊形abcd是平行四邊形，由()0得0，故平行四邊形的對角線垂直，所以該四邊形一定是菱形,故選c。4（2016北京）已知向量a（1，),b(,1),則a與b夾角的大小為_答案解析設(shè)a與b的夾角為，則cos ，又因為0，所以。題型一平面向量數(shù)量積的運算例1(1）（2016天津）已知abc是邊長為1的等邊三角形，點d，e分別是邊ab，bc的中點，連接de并延長到點f，使得de2ef，則的值為(）a b.c。 d。（2）已知正方形abcd的邊長為1，點e是ab邊上的動點,則的值為_；的最大值為_答案（1）b(2）11解析（

7、1) 如圖，由條件可知，所以（）（）22.因為abc是邊長為1的等邊三角形，所以|1，bac60，所以。（2）方法一以射線ab，ad為x軸,y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則a（0，0),b（1,0)，c（1，1)，d（0，1），設(shè)e（t,0)，t0,1,則（t，1)，(0，1)，所以(t，1)（0，1)1.因為(1,0)，所以(t,1)(1，0)t1，故的最大值為1。方法二由圖知，無論e點在哪個位置，在方向上的投影都是cb1，|11，當(dāng)e運動到b點時，在方向上的投影最大，即為dc1，（）max|11.思維升華平面向量數(shù)量積的三種運算方法（1)當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解,即aba

8、|bcosa，b（2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a（x1，y1)，b（x2，y2)，則abx1x2y1y2。(3）利用數(shù)量積的幾何意義求解（1）(2016全國丙卷)已知向量，則abc等于()a30 b45 c60 d120(2）(2015天津)在等腰梯形abcd中，已知abdc，ab2，bc1,abc60。點e和f分別在線段bc和dc上，且，則的值為_答案(1)a（2）解析(1)1，|1，cosabc，又0abc180，abc30。（2)在等腰梯形abcd中，abdc,ab2,bc1,abc60,cd1，,，21cos 60212cos 6012cos 120.題型二平面向量數(shù)

9、量積的應(yīng)用命題點1求向量的模例2（1)（2016寧波模擬)已知平面向量a，b的夾角為,且|a，b2,在abc中,2a2b，2a6b，d為bc的中點，則|_.（2）在平面直角坐標(biāo)系中，o為原點，a(1,0），b（0，），c(3,0）,動點d滿足|1，則的最大值是_答案（1）2(2）1解析(1)因為(）（2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2）4（322cos 4）4，所以|2。(2)設(shè)d（x，y),由(x3，y）及|1，知(x3)2y21，即動點d的軌跡為以點c為圓心的單位圓又（1,0)(0，)(x，y）(x1，y),|。問題轉(zhuǎn)化為圓(x3)2y21上的點與點p（1，

10、）間距離的最大值圓心c（3，0)與點p(1,)之間的距離為，故的最大值為1.即|的最大值是1。命題點2求向量的夾角例3(1）已知單位向量e1與e2的夾角為,且cos ，向量a3e12e2與b3e1e2的夾角為，則cos _.（2)若向量a(k,3)，b(1，4），c(2,1),已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是_答案（1)（2)解析（1）因為a2（3e12e2)2923212cos 49，所以|a3，因為b2（3e1e2）2923112cos 18，所以|b2，又ab（3e12e2）(3e1e2)9e9e1e22e991128，所以cos 。（2）2a3b與c的夾角為鈍角，（2a3

11、b)c0,即（2k3，6）(2，1）0，4k660，k3.又若（2a3b）c，則2k312，即k.當(dāng)k時,2a3b（12,6）6c，即2a3b與c反向綜上，k的取值范圍為.思維升華平面向量數(shù)量積求解問題的策略（1)求兩向量的夾角：cos ，要注意0,（2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是abab0ab|ab。(3）求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有a2aa|a2或a|.|ab|。若a(x，y)，則a|.（1）（2015湖北）已知向量,|3，則_。(2）(2016紹興二模)已知單位向量a和b滿足ab|ab|，則a與b夾角的余弦值為（)a bc。 d.（3)在abc中，若a

12、120，1，則|的最小值是()a。 b2c。 d6答案(1)9（2）c(3）c解析(1）因為，所以0。所以()220329。(2）由ab|1，|ab|ab|，得22ab2(12ab1），即ab，cosa，b.（3)1，|cos 1201,即|2,|2|22222|26，|min.題型三平面向量與三角函數(shù)例4（2015廣東)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知向量m，n(sin x,cos x)，x。（1)若mn，求tan x的值；(2）若m與n的夾角為,求x的值解(1）因為m，n(sin x，cos x），mn。所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1。（2)

13、因為mn1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因為0x,所以x，所以x，即x。思維升華平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解（2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等（1）已知o為坐標(biāo)原點，向量(3sin ，cos )，（2sin ，5sin 4cos )，,且，則tan 的值為（)a bc。 d。（2)已知向量a(,），ab,ab，若oab是以o為直角頂點的等腰直

14、角三角形,則oab的面積為_答案(1)a（2)1解析(1)由題意知6sin2cos (5sin 4cos ）0，即6sin25sin cos 4cos20，上述等式兩邊同時除以cos2，得6tan25tan 40，由于，則tan 0，解得tan ,故選a.（2）由題意得，a1，又oab是以o為直角頂點的等腰直角三角形,所以，|。由得（ab）(ab）a2b20，所以a|b，由|得|ab|ab，所以ab0。所以ab2|a2b|22,所以|,故soab1.5利用數(shù)量積求向量夾角典例已知直線y2x上一點p的橫坐標(biāo)為a，直線外有兩個點a(1，1），b(3，3)求使向量與夾角為鈍角的充要條件錯解展示現(xiàn)場糾

15、錯解錯解中，cos 0包含了，即，反向的情況，此時a1，故，夾角為鈍角的充要條件是0a2且a1.糾錯心得利用數(shù)量積的符號判斷兩向量夾角的范圍時，不要忽視兩向量共線的情況1（2016北師大附中模擬）已知向量a（x1,2），b（2，1）,則ab的充要條件是(）ax bx1cx5 dx0答案d2若向量a,b滿足a|b|2,a與b的夾角為60，則|ab等于（）a2 b2c4 d12答案b解析|ab|2|a2b|22a|bcos 604422212，|ab|2.3(2016山西四校聯(lián)考)已知平面向量a，b滿足a(ab)3，且|a|2,|b1，則向量a與b夾角的正弦值為（)a b c。 d.答案d解析a(

16、ab）a2ab2221cosa，b42cosa，b3，cos0,，sina，b.4。 在abc中，如圖,若|，ab2，ac1,e，f為bc邊的三等分點，則等于（)a。 b。 c。 d.答案b解析若,則222222，即有0.又e，f為bc邊的三等分點，則（）()22（14）0.故選b。5(2016駐馬店質(zhì)檢)若o為abc所在平面內(nèi)任一點,且滿足（）(2)0，則abc的形狀為（)a正三角形 b直角三角形c等腰三角形 d等腰直角三角形答案c解析因為（）(2）0,即（）0,因為，所以(）()0,即|，所以abc是等腰三角形，故選c。*6。若abc外接圓的圓心為o，半徑為4，220，則在方向上的投影為（

17、)a4 b.c. d1答案c解析如圖所示，取bc的中點d,連接ad，od，則由平面向量的加法的幾何意義得2.又由條件得，所以2,即4，所以a，o,d共線所以oabc，所以cd為在方向上的投影因為|4，所以|3，所以| .7（2016紹興柯橋區(qū)二模)已知平行四邊形abcd中，ac3，bd2，則_。答案解析abcd中，,，3，|2，（）2（）25，.8在abc中，3,abc的面積s，則與夾角的取值范圍是_答案，解析由三角形面積公式及已知條件知sabcabbcsin b，所以abbcsin b3,由3，知abbccos（b)3，所以abbc，代入得，3,所以1tan b，所以b,而與的夾角為b，其取

18、值范圍為，9（2017臨安中學(xué)調(diào)研)已知在直角三角形abc中,acb90，acbc2，點p是斜邊ab上的中點，則_.答案4解析由題意可建立如圖所示的坐標(biāo)系,可得a(2，0），b(0,2)，p（1,1），c（0，0），則(）224.10（2015杭州模擬）已知，|，t，若點p是abc所在平面內(nèi)的一點，且,則的最大值等于_答案13解析建立如圖所示坐標(biāo)系，則b，c(0，t），,（0，t),t(0,t）(1，4），p(1，4），(1,t4）1717213。11在abc中，角a，b,c的對邊分別為a，b，c,向量m(cos(ab)，sin(ab)，n(cos b,sin b），且mn.（1)求sin a的值；(2）若a4，b5，求角b的大小及向量在方向上的投影解(1)由mn，得cos（ab）cos bsin(ab)sin b，所以cos a。因為0a，所以sin a 。(2)由正弦定理,