平面向量的數(shù)量積

1、5.3平面向量的數(shù)量積最新考綱1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.考情考向分析主要考查利用數(shù)量積的定義解決數(shù)量積的運算、投影、求模與夾角等問題，考查利用數(shù)量積的坐標表示求兩個向量的夾角、模以及判斷兩個平面向量的平行與垂直關(guān)系一般以選擇題、填空題的形式考查，偶爾會在解答題中出現(xiàn)，屬于中檔題 .1 向量的夾角已知兩個非零向量a 和 b，作 OA a，OB b，則 AOB 就是向量 a 與 b 的夾角，向量夾角的范圍是 0， 2

2、平面向量的數(shù)量積設(shè)兩個非零向量a， b 的夾角為 ，則數(shù)量 |a|b| cos 叫做 a 與 b 的數(shù)量積，記定義作 ab投影|a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影幾何意義數(shù)量積 ab 等于 a 的長度 |a|與 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的乘積3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè) a，b 都是非零向量，e 是單位向量，為 a 與 b(或 e)的夾角則(1)ea ae |a|cos .(2)a b? ab0.(3)當 a 與 b 同向時， ab |a|b|；當 a 與 b 反向時， ab |a|b|.特別地， aa |a|2 或

3、 |a|aa.(4)cos ab .|a|b|(5)|ab| |a|b|.4 平面向量數(shù)量積滿足的運算律(1)ab ba；(2)( a) b(ab) a(b)(為實數(shù) )；(3)( a b) cac bc.5 平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標表示設(shè)向量 a (x1， y1)，b (x2， y2) ，則 ab x1x2 y1y2，由此得到(1)若 a (x， y)，則 |a|2x2 y2 或 |a| x2 y2.22(2)設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)，則 A，B 兩點間的距離 |AB | |AB|x2 x1 y2 y1 .(3)設(shè)兩個非零向量a，b， a (x1， y1)， b (x

4、2， y2)，則 ab?x1x2 y1y2 0.x1x2y1y2ab x22 y22 .(4)若 a， b 都是非零向量， 是 a 與 b 的夾角，則 cos |a|b|x12 y12知識拓展1兩個向量 a， b 的夾角為銳角 ? ab0 且 a， b 不共線；兩個向量 a， b 的夾角為鈍角 ? ab0，則 a 和 b 的夾角為銳角；若ab0，則 a 和 b 的夾角為鈍角 ( )題組二教材改編2 P105 例 4 已知向量 a (2,1)， b ( 1， k)，a(2a b) 0，則 k _.答案12解析 2a b (4,2) ( 1， k) (5,2 k)，由 a(2a b) 0，得 (2

5、,1) (5,2 k) 0， 102 k 0，解得 k12.3 P106T3 已知 |a|5， |b| 4， a 與 b 的夾角 120 ，則向量b 在向量 a 方向上的投影為_答案 2解析由數(shù)量積的定義知，b 在a 方向上的投影為|b|cos 4 cos 120 2.題組三易錯自糾4設(shè)向量 a ( 1,2)， b (m,1)，如果向量a 2b 與 2a b 平行，那么a 與 b 的數(shù)量積等于_答案52解析a 2b (1 2m,4)， 2a b ( 2 m,3)，由題意得3( 1 2m) 4( 2m) 0，則1m 2，15所以 ab 1 2 2 1 2.5已知點 A( 1,1)，B(1,2)，

6、C(2， 1)，D(3,4)，則向量 AB在 CD 方向上的投影為 _答案322解析，AB (2,1)， CD (5,5) 153 2ABCD由定義知， AB在 CD 方向上的投影為2 .52|CD|6已知 ABC 的三邊長均為1，且 ABc， BC a， CA b，則 ab bc ac _.答案32解析 a， b b， c a， c 120， |a| |b| |c| 1， ab bc ac1 1 cos 120 1， 23 ab bc ac 2.題型一平面向量數(shù)量積的運算1設(shè)四邊形 ABCD 為平行四邊形， |AB| 6，|AD | 4，若點 M，N 滿足 BM 3MC，DN 2NC，)則A

7、MNM等于 (A20 B. 15 C9 D6答案C解析3AM AB 4AD ，1 1 NM CM CN4AD 3AB，11AMNM(4AB 3AD) (4AB3AD )4121 22122 48(16AB 9AD) 48(16 6 9 4) 9，故選 C.，D 是AC的2(2018 屆“ 超級全能生 ” 全國聯(lián)考 )在 ABC 中， AB 4，BC 6， ABC 2 )中點， E 在 BC 上，且 AE BD，則 AEBC等于 (A16B 12C8D 4答案A解析以 B 為原點， BA， BC 所在直線分別為x， y 軸建立平面直角坐標系(圖略 )， A(4,0)，B(0,0)， C(0,6)

8、， D(2,3) ， 8設(shè) E(0， t)，BD (2,3)(4， t) 8 3t 0，t ，AE38 8即E0，3， AEBC 4，3 (0,6) 16.故選 A.思維升華平面向量數(shù)量積的三種運算方法(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即ab|a|b|cosa， b(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若1， y1)， b (x2， y21 2a( x)，則 ab x xy1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點 1求向量的模典例(1)(2018 屆廣州海珠區(qū)綜合測試)已知向量 a，b 的夾角為60，|a| 2，|a 2b| 2，則 |b|等

9、于 ()A 4B 2C. 2D 1答案D解析由 |a 2b| 2，得 (a 2b) 2 |a|2 4ab 4|b|2 4，即 |a|2 4|a|b|cos 60 4|b|2 4，則 |b|2 |b| 0，解得 |b| 0(舍去 )或 |b| 1，故選 D.(2)(2017 衡水調(diào)研 )已知在直角梯形ABCD 中， AD BC， ADC 90， AD 2， BC 1， P是腰 DC 上的動點，則|PA 3PB|的最小值為 _答案5解析建立平面直角坐標系如圖所示，則 A(2,0) ，設(shè) P(0，y)，C(0，b)，則 B(1，b)，則PA 3PB (2， y) 3(1，b y) (5,3b 4y)

10、所以 |PA 3PB| 25 3b 4y 2(0 y b)3當 y 4b 時， |PA 3PB|min 5.命題點 2求向量的夾角典例(1)(2017 西四校聯(lián)考山 ) 已知向量a， b 滿足 (2a b) (a b) 6，且 |a| 2， |b| 1，則a與 b 的夾角為 _2答案3解析 (2a b) (a b) 6， 2a2 2，a bb 6又 |a|2， |b| 1， ab 1， cosa， b ab 1，|a|b|22又 a， b 0 ， ， a 與 b 的夾角為 3 .(2)(2018 屆吉林百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知單位向量e1 與 e2 的夾角為與 2e1 e2的夾，向量 e1 2e23

11、角為2)，則 等于 (32A 3B 3C2或 3D 13答案B解析依題意可得1 2e2 12 4e12 2e22 7，|e|ee2同理， |2e1 e2|42 ，5而 (e1 2e2) (2e1 e2) 42，2又向量 e1 2e2 與 2e1 e2 的夾角為3 ，51 2e2 1 e24 1，可知 e2e212e21 e2722|e|2e|4 2 25由此解得 3或 3，又 420 ， 3.思維升華(1) 求解平面向量模的方法 寫出有關(guān)向量的坐標，利用公式|a|x2 y2即可 當利用向量的線性運算和向量的數(shù)量積公式進行求解，|a|a2.(2)求平面向量的夾角的方法ab 定義法： cos ，注

12、意 的取值范圍為0， 12 y1 2 坐標法：若 a (x1，y12，y2x xy)，則 cos .)， b( xx12 y12 x22 y22 解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進行求解跟蹤訓練(1)(2017 全國 )已知向量 a，b 的夾角為60，|a| 2，|b| 1，則 |a2b|_.答案23解析方法一|a 2b|a 2b 2 a2 4ab 4b2 22 4 2 1cos 60 4 12 12 2 3.方法二(數(shù)形結(jié)合法 )由 |a| |2b| 2 知，以 a 與 2b 為鄰邊可作出邊長為如圖，2 的菱形OACB，則 |a2b| |OC|.又 AOB 60，所以 |a 2

13、b|23.(2)(2017 山東 )已知 e1，e2 是互相垂直的單位向量，若3e1 e2 與 e1 e2 的夾角為 60，則實數(shù) 的值是 _答案33解析由題意知 |e1| |e2| 1， e1e2 0，1 e2 1 e2 23e12 2 3e12 e22| 3e|3ee 3 0 1 2.同理 |e1 e2|21 .3e1 e2 e1 e2所以 cos 60 1 e21 e2| 3e|e|123 1 e12 e22313ee2222，1 213解得 3 .題型三平面向量與三角函數(shù)典例(2017 廣州海珠區(qū)摸底)在 ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為a，b，c，向量 m (cos(A B)

14、， sin(AB)， n (cos B， sin B)，且 mn 35.(1)求 sin A 的值；(2)若 a 42， b 5，求角 B 的大小及向量 BA在BC 方向上的投影解 (1) 由 mn 35，3得 cos(AB)cos B sin(A B)sin B 5，所以 cos A35.因為 0Ab，所以 AB，則B4，2223由余弦定理得 (42) 5 c 2 5c 5，解得 c 1.故向量 BA在BC方向上的投影為22|BA|cos B ccos B 1 2 2 .思維升華平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成

15、立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等22跟蹤訓練 在平面直角坐標系xOy 中，已知向量 m2 ，2，n (sin x，cos x)，x 0， 2 .(1)若 m n，求 tan x 的值；(2)若 m 與 n 的夾角為，求 x 的值3解 (1) 因為 m22， (sin x，cos x)， 2 ，2nm n.所以 mn 0，即222 sin x 2cos x 0，所以 sin x cos x，所以 tan x 1. 1(2)因為 |m| |n| 1，所

16、以 mn cos3 2，即 221，所以 sinx1，2 sin x2 cos x242 因為0x2，所以4x 44， 5所以 x ，即 x12.46利用數(shù)量積求向量夾角典例 已知直線 y 2x 上一點 P 的橫坐標為 a，直線外有兩個點A( 1,1)，B(3,3)求使向量 PA與 PB夾角為鈍角的充要條件錯解展示 ：現(xiàn)場糾錯解錯解中， cos 0 包含了 ，即 PA， PB反向的情況，此時 a 1，且 a 1.故 PA， PB夾角為鈍角的充要條件是 0a|b|)答案A解析方法一 |a b| |ab|， |ab|2 |a b|2. a2 b2 2ab a2 b2 2ab. ab 0. a b.

17、故選 A.方法二利用向量加法的平行四邊形法則在 ?ABCD 中，設(shè) AB a， ADb，由 |ab| |a b|知， |AC| |DB |，從而四邊形 ABCD 為矩形，即 AB AD，故 a b.故選 A.2(2018 屆河北武邑中學調(diào)研)已知向量 a (2,1)，b (1,3)，則向量 2a b 與 a 的夾角為 ()A135B 60C45D 30答案C解析由題意可得 2a b 2(2,1) (1,3) (3， 1)，則 |2a b|32 1 210， |a|22 125，且 (2ab) a (3， 1) (2,1)6 1 5，設(shè)所求向量的夾角為 ，由題意可得 cos 2a b a52，|

18、2a b|a|10 52則向量2a b 與 a 的夾角為 45.|2a b| 等于 ()3 (2017 豫南九校聯(lián)考 )已知向量 a (m,2)，b (2， 1)，且 a b，則 aa b55A 3B1 C2 D.4答案B解析 a b， 2m 2 0， m 1，則 2a b (0,5)，a b(3,1) ， a(a b) 1 3 2 15，|2a b|2a b| 5， 5 1，故選 B.aa b54 (2018 樂山質(zhì)檢 )在 ABC 中， AB 3， AC 2， BC 10，則 ABAC等于 ()3223A 2B 3C.3D. 2答案DAB 2 AC2 BC2解析在 ABC 中， cos B

19、AC2ABAC94 10 1 23 2 4， 1 3 ABAC |AB|AC|cos BAC 3 2 42. 5(2017 沈陽質(zhì)檢 )在 ABC 中， |AB AC|AB AC|，AB 2，AC 1， E， F 為 BC 的三等 )分點，則 AEAF 等于 (8102526A. 9B. 9C. 9D. 9答案B解析 由 |ABAC |，化簡得 ABAC 0，又因為 AB 和 AC 為三 AC| |AB角形的兩條邊，它們的長不可能為0，所以 AB 與 AC 垂直，所以 ABC為直角三角形 以 A 為原點， 以 AC 所在直線為x 軸，以 AB 所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(

20、0,0) ，B(0,2)， C(1,0)不妨令E2214為 BC 的靠近 C 的三等分點，則E 3，3 ，F(xiàn)3，3 ，2214所以 AE3，3，AF3，3 ， 212410所以 AE AF3 3339 .6 (2017 駐馬店質(zhì)檢 )若 O 為 ABC 所在平面內(nèi)任一點，且滿足(OB OC) (OB OC2OA) 0，則 ABC 的形狀為 ()A 正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形答案C解析因為 (OB OC) (OBOC 2OA) 0，即 CB(ABAC AC CB，) 0，因為 AB所以(AB AC) AC) 0，即 |AB | |AC|，(AB所以 ABC 是等腰三角形，故

21、選C.7 (2017 國全 )已知向量a ( 1,2)， b (m,1)若向量ab 與 a 垂直，則m _.答案7解析 a ( 1,2)，b (m,1)， a b ( 1 m,2 1) (m 1,3)又 ab 與 a 垂直， (a b) a 0，即 (m 1) ( 1) 3 2 0，解得 m 7.38 (2018 銀川質(zhì)檢 )已知向量a，b 的夾角為4 ， |a| 2， |b| 2，則 a(a 2b) _.答案6解析a(a 2b) a2 2ab 22 22 22 6.9(2018 屆吉林長春普通高中一模)已知平面內(nèi)三個不共線向量a，b，c 兩兩夾角相等，且|a| |b|1， |c| 3，則 |

22、ab c| _.答案2解析因為平面內(nèi)三個不共線向量a， b， c 兩兩夾角相等，所以由題意可知，a， b， c 的夾120， 又 |a| |b| 1 ，|c| 3 ， 所 以 ab 13， |a b c| 角 為2 ， ac bc 21 19 2 12 32 3 2.22210(2017 巢湖質(zhì)檢 )已知 a (， 2)，b (3，2)，如果 a 與 b 的夾角為銳角，則的取值范圍是 _答案， 411，3 0，3 32 40，解析 a 與 b 的夾角為銳角，則3ab0 且 a 與 b 不共線，則2 0，2 6解得 4或 01，333411所以 的取值范圍是 ，30， 33， .11 (2018

23、 貴陽質(zhì)檢 )已知 |a|4， |b| 3， (2a 3b) (2a b) 61.(1)求 a 與 b 的夾角 ；(2)求 |a b|；(3)若 AB a， BC b，求 ABC 的面積解 (1) 因為 (2 a 3b) (2 a b) 61，所以 4|a|2 4ab 3|b|2 61.又 |a|4， |b| 3，所以 64 4ab 27 61，所以 ab 6，所以 cos ab 61|a|b|4 32.2又 0 ，所以 3 .(2)|a b|2 (a b)2 |a|2 2ab |b|2 42 2 ( 6) 32 13，所以 |a b| 13.2與 BC的夾角 ，(3)因為 AB32 所以 A

24、BC 3 3.又 |AB| |a| 4， |BC| |b|3，所以S1 ABC|AB|BC| sin ABC2 12 4 3 23 3 3.12 (2017蘇江 )已知向量a (cos x， sin x)， b (3，3)， x0 ，(1)若a b，求x 的值；(2)記f( x) ab，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x 的值解(1) 因為a (cos x， sin x)， b (3，3)， ab，所以3cos x 3sin x.若 cos x0，則 sin x 0，與 sin2x cos2x 1 矛盾，3故 cos x0.于是 tan x 3 .5又 x 0，所以 x 6 .(2)f(x

25、) ab (cos x， sin x) (3，3) 3cos x 3sin x 23cos x 6 .因為 x 7，0， ，所以 x66 6 ，從而 1 cos3，x62 于是，當x 66，即 x 0 時， f(x)取得最大值3；5當 x6 ，即 x 6 時， f(x)取得最小值 23.13已知 ABC 的外接圓的圓心為O，半徑為2，且 OA AB AC 0，則向量 CA在向量 CB方向上的投影為 ()A 3B. 3C 3D3答案B解析 ABC 的外接圓的圓心為O，半徑為2，且 OA ABAC 0， OBCA， 四邊形 OBAC 為平行四邊形 ABC 的外接圓的圓心為O，半徑為 2， |OA| |AB| |OB|， 四邊形 OBAC 是邊長為2 的菱形，且 ABO ACO 60，因此， ACB1 ACO 30，2 3，故選 B. 向量 CA在 CB方向上的投影為 |AC| cos ACB 2cos 30 14 (2017 廣東七校聯(lián)考 )在等腰直角 ABC 中， ABC 90， AB BC 2， M， N 為 AC 邊上的兩個動點 (M， N 不與A，