單位根過程和單位根檢驗(yàn)

1、第二章 單位根過程和單位根檢驗(yàn)第一節(jié) 單位根過程從本章開始我們進(jìn)入時(shí)間序列的非平穩(wěn)分析和建模研究。前面的章節(jié)的內(nèi)容主要考慮的是平穩(wěn)時(shí)間序列的建模和預(yù)測(cè)問題，但對(duì)于非平穩(wěn)的時(shí)間序列，只有先進(jìn)行差分處理，將其轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)的時(shí)間序列模型。這樣會(huì)損失部分信息。本章從理論上介紹非平穩(wěn)時(shí)間序列的性質(zhì)，討論非平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)建模的偽回歸問題。非平穩(wěn)序列的分析建立在維納過程（布朗運(yùn)動(dòng)）和泛函中心極限定理之上。一 若干定義定義1：（1）白噪聲過程（white noise，如圖1）。屬于平穩(wěn)過程。圖3是日元兌美元差分序列（收益序列），近似于白噪聲序列。（2）隨機(jī)游走過程（random walk，如圖2）。屬于非平穩(wěn)

2、過程。隨機(jī)游走的差分過程是平穩(wěn)過程（白噪聲過程）。dyt =。 圖1 白噪聲序列（s2=1） 圖2 隨機(jī)游走序列（s2=1）隨機(jī)游走過程是非平穩(wěn)的，這是因?yàn)椋?定義2：?jiǎn)挝桓^程 隨機(jī)過程是一單位根過程，若為一平穩(wěn)過程，且定義3：維納過程維納過程(wiener process)也稱為布朗運(yùn)動(dòng)過程(brownian motion process)。設(shè)是定義在閉區(qū)間0，1上一連續(xù)變化的隨機(jī)過程，若該過程滿足：(a) w(0)=0；(b) 對(duì)閉區(qū)間0，1上任意一組分割，的變化量：為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量；(c) 對(duì)任意，有 則稱為標(biāo)準(zhǔn)維納過程（或標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)過程）。從定義我們可以看出，標(biāo)準(zhǔn)維納過程是一個(gè)

3、具有正態(tài)獨(dú)立增量的過程。由定義顯然有： 即標(biāo)準(zhǔn)維納過程在任意時(shí)刻t服從正態(tài)分布。將標(biāo)準(zhǔn)維納過程推廣，可得到一般維納過程的概念。令稱是方差為的維納過程。對(duì)任意，有根據(jù)上式，顯然有 利用標(biāo)準(zhǔn)維納過程還可以構(gòu)造其它的連續(xù)隨機(jī)過程。例如，對(duì)于，在任意時(shí)刻t，有分布：更為重要的是：維納過程所具有的良好性質(zhì)以及它相當(dāng)廣泛的適用性，使得它在概率極限定理，隨機(jī)積分和隨機(jī)微分方程等許多理論研究和實(shí)際應(yīng)用中扮演著十分重要的角色。二 有關(guān)隨機(jī)游走的極限分布1、泛函中心極限定理泛函中心極限定理是對(duì)一般中心極限定理的推廣。在給出泛函中心極限定理之前，我們先回顧平穩(wěn)隨機(jī)變量序列的中心極限定理：如果隨機(jī)變量序列：獨(dú)立同分布

4、，且有令，則 對(duì)于白噪聲序列，由于根據(jù)中心極限定理，有 下面，將以上結(jié)論推廣為泛函中心極限定理。我們根據(jù)白噪聲序列，構(gòu)造一新統(tǒng)計(jì)量：設(shè)r為閉區(qū)間0，1上的任一實(shí)數(shù)，記為不超過rn的最大整數(shù)，對(duì)于給定白噪聲序列的前n項(xiàng)：，取其前項(xiàng)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量： 顯然，當(dāng)r在閉區(qū)間0，1上變化時(shí)，是0，1上的一個(gè)階梯函數(shù)，其具體表達(dá)式為： 將乘上，再寫成如下形式：由前述中心極限定理，有另一方面，對(duì)于0，1上的任意實(shí)數(shù)r，有因此，有如下極限分布： （*） 同樣，有這表明，的極限分布與一般維納過程的分布是一致的。將上述結(jié)論整理如下，就得到泛函中心極限定理。泛函中心極限定理：設(shè)序列：獨(dú)立同分布，且滿足r為閉區(qū)間0，1上的

5、任一實(shí)數(shù)，給定樣本，取其前項(xiàng)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：那么，當(dāng)時(shí)，統(tǒng)計(jì)量有如下極限： 在(*)式中令r=1，有 與一般中心極限定理對(duì)照可以看出，一般中心極限定理是泛函中心極限定理的一個(gè)特例。2.連續(xù)映射定理 連續(xù)映射定理是研究隨機(jī)時(shí)間序列極限分布的有力工具，以下將其推廣到泛函形式。 連續(xù)映射定理1：設(shè)并依分布收斂于某一隨機(jī)變量，記為，若為連續(xù)函數(shù)，則隨機(jī)變量序列依分布收斂于隨機(jī)變量，記為 連續(xù)映射定理2：設(shè)為一列隨機(jī)函數(shù)，為定義在上到上的連續(xù)函數(shù)，若序列，則有 下面給出非平穩(wěn)時(shí)間序列分析中經(jīng)常用到的有關(guān)隨機(jī)游走的極限分布，所使用的基本工具就是泛函中心極限定理。2、 有關(guān)隨機(jī)游走的極限分布設(shè)序列遵從隨機(jī)游動(dòng)過

6、程： 其中，獨(dú)立同分布，且，=0?，F(xiàn)討論ar(1)過程：中，獨(dú)立同分布，且，現(xiàn)討論當(dāng)參數(shù)時(shí)，最小二乘估計(jì) 的極限分布幾個(gè)重要極限在由于在，為一單位根過程，則 ，設(shè)，對(duì)于任何和給定的樣本部分和 為閉區(qū)間上的階梯函數(shù) 式中，階梯函數(shù)在上的積分可由下圖定義： 則以下極限成立：（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。證明：（1）由前述泛函中心極限定理的結(jié)論可得。（3）圖中每塊小矩形的面積為，這些小矩形的面積和定義為階梯函數(shù)在上的積分。以乘上式，有： 由于，由連續(xù)映射定理，有： （4）由于的極限為維納過程的泛函，將代入得： 因?yàn)橛缮辖Y(jié)論可知 且： 故可有 隨機(jī)積分 現(xiàn)介紹以維納過程作用隨機(jī)測(cè)度

7、，用積分元定義的隨機(jī)積分。 對(duì)任意的，由標(biāo)準(zhǔn)維納過程的性質(zhì)有：，以表示在時(shí)刻的微小的時(shí)間增量，定義： ，顯然：，令：為閉區(qū)間上的函數(shù)（或隨機(jī)函數(shù)），考慮和式： 其中， 為閉區(qū)間上的一組分割點(diǎn)，并有： ，滿足條件：若，的極限存在，則稱函數(shù)在閉區(qū)間對(duì)于可積，并記為： 隨機(jī)積分 隨機(jī)游走模型中最小二乘估計(jì)的極限分布 本節(jié)討論隨機(jī)游走模型中最小二乘估計(jì)的極限分布，其中，獨(dú)立同分布，且 參數(shù)的最小二乘估計(jì)為： 由前述極限結(jié)果（2），（6）可知： ；可得：所有最小二乘估計(jì)是參數(shù)的極限分布。另外，若以乘以，令，得： 推論： （i）當(dāng)，由中心極限定理得： 而時(shí)，有非標(biāo)準(zhǔn)的極限分布，故時(shí)，最小二乘估計(jì)的收斂速度

8、為，稱為參數(shù)的超一致估計(jì)量。（ii）的極限是標(biāo)準(zhǔn)維納過程的泛函，有非標(biāo)準(zhǔn)的極限分布。由于，故 的極限分布 不對(duì)稱（iii）由于的極限分布非標(biāo)準(zhǔn)，傳統(tǒng)的計(jì)算分布的臨界值方法不適用，由蒙特卡洛模擬方法計(jì)算臨界值。參數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量的極限分布 若一階自回歸過程：平穩(wěn)，參數(shù)的假設(shè)可以由統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)，其中為的最小二乘估計(jì)，是的方差的最小二乘估計(jì)，當(dāng)為真時(shí)， 若，將的表達(dá)式代入，得：，當(dāng)為真時(shí) ，也是服從非標(biāo)準(zhǔn)的極限分布。3帶常數(shù)項(xiàng)的隨機(jī)游走過程的極限分布 在隨機(jī)過程 中，若獨(dú)立同分布，且對(duì)任何，則稱服從帶常數(shù)項(xiàng)的隨機(jī)游走。帶常數(shù)項(xiàng)的隨機(jī)游走的增長(zhǎng)率是一非零常數(shù)和隨機(jī)干擾的和，適合描述帶趨勢(shì)的經(jīng)濟(jì)變量，如國民生

9、產(chǎn)總值等。以下我們考慮在這種情形下對(duì)參數(shù)和的最小二乘估計(jì)，討論其在假設(shè)的情形下的極限分布。 由于多了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，帶常數(shù)項(xiàng)的隨機(jī)游走具有非常不同的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，將往后不斷迭代，得： 此處：，根據(jù)前面的極限定理可以證明： ，和的極限分布有以下特點(diǎn)： 它們有正態(tài)的極限分布，但在不帶常數(shù)項(xiàng)的情形下，的分布是非標(biāo)準(zhǔn)和非對(duì)稱的； （2）和都為一致的估計(jì)量，但有不同的收斂速度； （3）的收斂速度為，而在不帶常數(shù)項(xiàng)的情形下，的收斂速度為三、有關(guān)單位根過程的極限分布 與隨機(jī)游走比較，單位根過程更具有一般性，其中是一平穩(wěn)過程，有無窮階的表示形式： 其中，為獨(dú)立同分布，且為滯后算子，為無窮階的滯后多項(xiàng)式，其系數(shù)滿足條件

10、： 大多數(shù)常見的平穩(wěn)過程都有這種表示形式。下面將參數(shù)和的最小二乘估計(jì)及極限分布推廣到一般的單位根過程，先介紹分解引理。引理：分解設(shè)為一平穩(wěn)過程，可表示為，其中，為獨(dú)立同分布，且為滯后算子，為無窮階的滯后多項(xiàng)式，其系數(shù)滿足條件： 則的部分和有分解： ， 其中由分解引理，平穩(wěn)過程的部分和可分解為兩部分，其中以概率與同階（）；另一部分以概率與常數(shù)同階（），這樣如以乘，并令，只有第一部分有非退化的極限分布，第二部分以概率趨向于零。利用分解引理，可將泛函中心極限定理推廣到一般的單位根過程。1、 一般形式的泛函中心極限定理設(shè)序列：為一平穩(wěn)過程，它有無窮階ma表示形式： 其系數(shù)滿足條件： 獨(dú)立同分布，且滿足

11、r為閉區(qū)間0，1上的任一實(shí)數(shù)，記，構(gòu)造如下統(tǒng)計(jì)量： 那么，當(dāng)時(shí)，統(tǒng)計(jì)量有如下極限： 根據(jù)該定理，可以得到有關(guān)單位根過程的極限分布。2、有關(guān)單位根過程的極限分布假設(shè)序列遵從單位根過程： (6.1.5)其中平穩(wěn)過程滿足一般形式泛函中心極限定理中的條件。令 若，那么，下列極限成立：（1） ；（2） ；（3） ;（4） ;（5） ;（6） ；（7） ；（8） ;（9） ；（10） .上述結(jié)論的證明較為繁瑣，在此從略。3時(shí)間序列的去勢(shì)問題 圖4 隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)序列（m = 0.1） 圖5 隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)序列（m = -0.1）（1）隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過程（stochastic trend process）或

12、差分平穩(wěn)過程（difference- stationary process）、有漂移項(xiàng)的非平穩(wěn)過程（non-stationary process with drift）。見圖4和5。屬于非平穩(wěn)過程。yt = m + yt-1 + ut , ut iid(0, s2)迭代變換，yt = m + (m + yt-2 + ut-1) + ut = = y0 + m t += m t +因?yàn)殡S機(jī)趨勢(shì)過程是由一個(gè)確定性時(shí)間趨勢(shì)mt和一個(gè)隨機(jī)游走組合而成，所以隨機(jī)趨勢(shì)過程由確定性時(shí)間趨勢(shì)所主導(dǎo)，表現(xiàn)出很強(qiáng)的趨勢(shì)性。yt圍繞著mt變化，但不會(huì)回到mt。趨勢(shì)的方向完全由m的符號(hào)決定。m為正時(shí)，趨勢(shì)向上（見圖5

13、）；m為負(fù)時(shí)，趨勢(shì)向下（見圖6）。對(duì)yt做一階差分，dyt = m + ut，為平穩(wěn)過程。差分平穩(wěn)過程由此得名。e(dyt) = m。當(dāng)yt表示對(duì)數(shù)變量時(shí)，e(dyt)表示平均增長(zhǎng)率。隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過程的差分過程是平穩(wěn)過程。dyt = m + ut 。 圖6 退勢(shì)平穩(wěn)序列（m =0, a=0.1） 圖8 確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)序列（m =0.1, a=0.1）（2）趨勢(shì)平穩(wěn)過程（trend-stationary process）或退勢(shì)平穩(wěn)過程（見圖7）。屬于非平穩(wěn)過程。 yt = m + a t + ut, ut iid(0, s2)因?yàn)樵撨^程是由確定性趨勢(shì)m + a t和平穩(wěn)隨機(jī)過程ut組成，所以

14、稱為趨勢(shì)平穩(wěn)過程。趨勢(shì)平穩(wěn)過程由確定性時(shí)間趨勢(shì)t所主導(dǎo)。減去確定性時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)at之后，過程變?yōu)槠椒€(wěn)過程，所以也稱退勢(shì)平穩(wěn)過程。趨勢(shì)平穩(wěn)過程的差分過程是過度差分過程。dyt = a + ut - ut-1 。所以應(yīng)該用退勢(shì)的方法獲得平穩(wěn)過程。yt - a t = m + ut。（3）確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)過程（non-stationary process with deterministic trend）（如圖8）。屬于非平穩(wěn)過程。 yt = m + a t + yt-1+ ut, ut iid(0, s2)確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)過程中含有隨機(jī)趨勢(shì)、確定性趨勢(shì)并含有單位根成分。過程由確定性時(shí)間趨勢(shì)所主導(dǎo)。減去確定性時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)之后，過程仍是非平穩(wěn)過程。這種過程的時(shí)間趨勢(shì)性比隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過程和退勢(shì)平穩(wěn)過程更強(qiáng)烈、明顯。 確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)過程的差分過程是退勢(shì)平穩(wěn)過程，dyt = m + a t + ut。確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)過程的退勢(shì)過程是非平穩(wěn)過程，yt - a t = m + yt-1+ ut。只有既差分又退勢(shì)才能得到平穩(wěn)過程，dyt - a t = m + ut。圖9 對(duì)數(shù)的中國國民收入序列 圖10 中國人口序列圖9是對(duì)數(shù)的中國國民收入序列，近似于隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)序列和退勢(shì)平穩(wěn)序列。圖10是中國人口序列，近似于確定