第82煉求二項式的展開項

1、第 82 煉 求二項式展開后的某項一、基礎(chǔ)知識：1、二項式a bnNn展開式nCn0anCn1an 1bCn2an2b2C nr an r brCnn bna b，從恒等式中我們可以發(fā)現(xiàn)這樣幾個特點（1） ann 1b 完全展開后的項數(shù)為（2）展開式按照 a 的指數(shù)進行降冪排列，對于展開式中的每一項，a,b 的指數(shù)呈此消彼長的特點。指數(shù)和為n（3）在二項式展開式中由于按a 的指數(shù)進行降冪排列，所以規(guī)定“+ ”左邊的項視為 a ，右邊的項為 b ，比如：nnx 的指數(shù)x 1 與 1 x 雖然恒等，但是展開式卻不同，前者按1的指數(shù)降冪排列。如果是nabn降冪排列，后者按a b ，則視為進行展開（4

2、）二項展開式的通項公式Tr 1Cnr an r br（注意是第 r1項）2、二項式系數(shù)：項前面的Cn0 , Cn1 ,Cnn 稱為二項式系數(shù)，二項式系數(shù)的和為2n二項式系數(shù)的來源：多項式乘法的理論基礎(chǔ)是乘法的運算律（分配律，交換律，結(jié)合律），所以在展開時有這樣一個特征：每個因式都必須出項，并且只能出一項，將每個因式所出的對于 anb 相乘，對于 an r br項乘在一起便成為了展開時中的某項。b 可看作是 n 個 a意味著在這 n 個 a b 中，有 nr 個式子出 a ，剩下 r 個式子出 b ，那么這種出法一共有 Cnr 種。所以二項式展開式的每一項都可看做是一個組合問題。而二項式系數(shù)便是

3、這個組合問題的結(jié)果。3、系數(shù)：是指該項經(jīng)過化簡后項前面的數(shù)字因數(shù)注：（ 1）在二項式定理中要注意區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)。二項式系數(shù)是展開式通項公式中的Cnr ，對于確定的一個二項式，二項式系數(shù)只由r 決定。而系數(shù)是指展開并化簡后最后項前2x5面的因數(shù)，其構(gòu)成一方面是二項式系數(shù)，同時還有項本身的系數(shù)。例如：1展開式中第三項為 T33，其中 C52 為該項的二項式系數(shù)， 而 T3C522x380x3C52 2x 1212化簡后的結(jié)果80 為該項的系數(shù)（2）二項式系數(shù)與系數(shù)的概念不同，但在某些情況下可以相等：當(dāng)二項式中每項的系數(shù)均為 1 時（排除項本身系數(shù)的干擾）x5，則展開后二項式系數(shù)與系數(shù)相同。例

4、如1展開式的第三項為 T3C52312 ，可以計算出二項式系數(shù)與系數(shù)均為10x3、有理項：系數(shù)為有理數(shù), 次數(shù)為整數(shù)的項，比如2x2 , 1就是有理項，而 3 x,5x 就不是5x有理項。4、 annb 與 ab的聯(lián)系：首先觀察他們的通項公式：a bnCnr an r brn： TrCnr an rbrr： Tr 1a b11 Cnr an r br兩者對應(yīng)項的構(gòu)成是相同的，對應(yīng)項的系數(shù)相等或互為相反數(shù)。其絕對值相等。 所以在考慮a bnabn系數(shù)的絕對值問題時，可將其轉(zhuǎn)化為求系數(shù)的問題5、二項式系數(shù)的最大值：在Cn0, Cn1 , ,Cnn 中，數(shù)值最大的位于這列數(shù)的中間位置。若n 為奇數(shù)（

5、共有偶數(shù)項） ，則最大值為中間兩個，例如n5 時，最大項為 C52C53 ，若 n 為偶數(shù)（共有奇數(shù)數(shù)項） ，則最大值為中間項，例如n6時，最大項為 C63證明：在 Cn0 ,Cn1 ,Cnn 中的最大項首先要比相鄰的兩項大，所以不妨設(shè)最大項為Cnr ，則有n!n!11CnrCnr 1r ! n r !r 1 ! nr 1 !rn 1 rCnrCnr 1n!n!11r ! n r !r 1 ! nr 1 !n rr 1rn12n 1n1所以解得：即n12rr22所以當(dāng) n 為奇數(shù)時（ n2k1 ），不等式變?yōu)?k1 rk ，即 r k1或 rk 為中間項當(dāng) n 為偶數(shù)時（ n2k ），不等式變

6、為 k1rk+ 1，即 rk 為中間項226、系數(shù)的最大值：由于系數(shù)受二項式系數(shù)與項自身系數(shù)影響，所以沒有固定的結(jié)論，需要計算所得，大致分為兩種情況：n_ _ 型：不妨設(shè)項 Tr 1 的系數(shù)為 Pr 1，則理念與二項式系數(shù)最值類似，最大值首先要Pr 1Pr，再根據(jù)通項公式代入解不等式即可比相鄰項大，所以有Pr 1Pr2n_型：其展開式的特點為項的符號有正有負，所以在解決此類問題時有兩種方法：一種是只選取其中的正項進行比較，但序數(shù)相隔。即Pr 1Pr1 ，在運算上較為復(fù)雜；一種Pr 1Pr3是先考慮系數(shù)絕對值的最大值，從而把問題轉(zhuǎn)化為_n的最大值問題， 然后在考慮符號確定系數(shù)最大值。x8例 1：

7、二項式1展開式中的常數(shù)項是_23 x方法一：思路：考慮先求出此二項式展開式的通項公式，令x 的指數(shù)為 0，求出 r 的值再代入計算即可x8 r1r18 r1 rrrr8rx 33解： Tr 1 C8221 C8xx依題意可得： 8r1 r0r632常數(shù)項為 T71167C862x18個 x1方法二：思路：對中的 8因式所出的項進行分配，若最后結(jié)果為23 x23 x常數(shù)項，則需要兩個式子出x ，六個式子出1相乘，23 x26所以常數(shù)項為： C82 x1723 x答案： 7小 煉 有 話 說 ：通過本題說明求二項式展開式中某項的兩種主流方法：一是通過通項公式，先化簡通項公式，再利用題目中所求項的特

8、征求出r 的值，進而求解；二是分析展開式中每一項構(gòu)成的本質(zhì)， 即每一個因式僅出一項， 然后相乘得到， 從而將尋找所求項需要的出項方案，將其作為一個組合問題求解。例 2：在x21x6的展開式中，x3 的系數(shù)是 _思路一：考慮二項展開的通項公式：Tr 1C6r x26 rx 1 rC6r x2 6r rC6r x12 3r由所求可得： 123r3r 3T4C63 x320x3思路二：可將其視為6 個因式出項的問題，若要湊成x3 ，需要 3 個 x2， 3個1x33x2313所以該項為： C620xx答案： 20小 煉 有 話 說 ：利用二項式定理求某項， 通常兩種思路： 一種是利用二項式展開的通項

9、公式，結(jié)合條件求出 r 的值再求出該項；另一種是將問題轉(zhuǎn)化為因式如何安排出項的問題。例 3：若二項式x1x7的展開式中的第四項等于7，則 x 的值是 _思路：條件中涉及到項的序數(shù)，那么只能考慮利用通項公式：Tr 1 C7r x7 r 1x3， T4 C73 x4 131項中 r7 ，解得： xx5r，第四答案： x159例 4：已知x1的展開式中 x3 項的系數(shù)為21，則實數(shù) a 的值為 _ax2思路：先利用通項公式求出x3 的項，在利用系數(shù)的條件求出a 的值即可rr解： Tr 1C9r x9 r1C9r1x9 2 r9 2r3 r3axa3 13848 42 1 a2x33T4C9 aa3

10、xa32答案： a2例 5：已知二項式 ( x2) n 的展開式中各項二項式系數(shù)和是16，則展開式中的常數(shù)項是_x思路：要想求得展開式的某項， 首先要先確定 n 的取值，先利用二項式系數(shù)和求出n ：2n162)4 展開式的常數(shù)項為C42 x2 22即 n4，再求 ( x24xx答案： 24例 6： 1 xx25x4 項的系數(shù)為 _1 x 的展開式中，思路：已知表達式展開式中的每一項由兩部分相乘而成，要想湊得x4 ，不妨從其中一個式子切入進行分類討論（以1xx2 為例）1：1xx2出 1，則151 C541x44x出 x4，該項為：5x2：1xx2出 x ，則1x512310x4出 x3 ，該項

11、為： x C53x3：1xx2出 x21x52 ，該項為： x2 C5213210 x4，則出 xx綜上所述：合并后的x4項的系數(shù)為 5例 7： x2x10展開式中 x3 項的系數(shù)為（1）A.210B.210C. 30D. 30思路：本題不利于直接展開所有項，所以考慮將其轉(zhuǎn)化為10 個因式如何分配所出項的問題：若要湊成 x3 有以下幾種可能：（1）： 1 個 x2 ， 1 個x ，8 個 1，所得項為： C101 x2 C91x C88 1890x3（2）： 3 個x ， 7 個 1，所得項為： C1033C7717120x3x所以 x3 項的系數(shù)為210答案： A124例 8：二項式4 x展

12、開式中，有理項的項數(shù)共有（）項xA. 3B.4C. 5D. 7思路：有理項是指變量的指數(shù)是整數(shù)，所以考慮從通項公式入手：124124r1r63 r4 xC24r, 24， r 的取值只需要x 4x 2C24r x4，其中 r0,1, 2,x讓 63 r Z ，則 r0,4,8,12,16,20,24，所以共有 7 個有理項4小 煉 有 話 說 ：在整理通項公式時可將x 的根式（或倒數(shù)）轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪，方便進行化簡。例 9：二項式8展開式中系數(shù)最大的項為 _2x 18展 開 式 的 通 項 公 式 為 Tr 128 r C8r x8 r ， 其 系 數(shù) 設(shè) 為 Pr 1 ， 即思 路 ： 考

13、慮 2x 1Pr 1 =28 r C8r，若要 Pr1 最大，則首先要大于相鄰項，即Pr1Pr，代入解得 r的范圍PrPr 21即可確定出 r 的值，從而求出該項解： Tr 1C8r8r28 r C8r x8 r2x1r設(shè) Tr 1 項的系數(shù)為 Pr1 =28r C8rPr 1Pr28 r C8r8 r1若 Pr 1最大，則2C8r 1Pr 1Pr 228 r C8r28 r +1 C8r +128r8!29r8!12r ! 8 r !r 1 ! 9 r !r9r28r8!27r8!21r ! 8 r !r 1 ! 7 r !8 rr 1解得：2r3r2 或 r 3經(jīng)檢驗：系數(shù)最大的項為T3T41792x5答案： 1792 x5例 10：已知2109g x0 a1 a x 2 a x1 ,0 a xh xb， 若b xb x 90119101 x 1 2 x1 x g x h x ，則 a9（）A. 0B.10219C.10218D.3218110g x中，與 a9 相關(guān)的最思路：由條件中恒等式的特點可得對應(yīng)項的系數(shù)相等，在x高次項為 x19a ，等式左邊 x1919C191818，而右邊 x19，故以此為突破口求的系數(shù)為229的系數(shù)為 a9a10C1099a10C109919C1918181 ，所以 a9122 ，只需再求出a10 即可，同樣選取含 a10x20，左