七年級數(shù)學下冊培優(yōu)新幫手專題21從不同的方向看試題新版新人教版5519

1、21 從不同的方向看閱讀與思考20 世紀初，偉大的法國建筑家列 柯爾伯齊曾說：“我想，到目前為止，我們從沒有生活在這樣的幾何時期，周圍的一切都是幾何學 ”生活中蘊含著豐富的幾何圖形，圓的月亮，平的湖面，直的樹干，造型奇特的建筑，不斷移動、反轉(zhuǎn)、放大縮小的電視畫面 圖形有的是立體的，有的是平面的，立體圖形與平面圖形之間的聯(lián)系，從以下方面得以體現(xiàn)：1立體圖形的展開與折疊；2從各個角度觀察立體圖形；3用平面去截立體圖形觀察歸納、操作實驗、展開想象、推理論證是探索圖形世界的基本方法例題與求解【例 1】如圖是一個正方體表面展開圖， 如果正方體相對的面上標注的值相等， 那么 x y82x y88 10（四

2、川省中考試題）解題思路 ：展開與折疊是兩個步驟相反的過程，從折疊還原成正 方體入手【例 2】如圖，是 由一些完全相同的小立 方塊搭成的幾何體的三種視圖，那么搭成這個幾何體所用的小立方塊的個數(shù)是（ ）主視圖 左視圖 俯視圖A5 個 B6 個 C7 個 D 8 個（四川省成都中考試題）解題思路 ：根據(jù)三視圖和幾何體的關(guān)系，分別確定該幾何體的列數(shù)和每一列的層數(shù)【例 3】由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖如圖（1）請你畫出這個幾何體的一種左視圖；（2）若組成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為 n ，求 n 的值主視圖 俯視圖（貴州省貴陽市課改實驗區(qū)中考試題）解題思路 ：本例可以在“腦子

3、”中想象完成，也可以用實物擺一擺從操作實驗入手，從俯視圖可推斷左視圖只能有兩列，由主視圖分析出俯視圖每一列小正方形的塊數(shù)情況是解本例的關(guān)鍵，而有序思考、分類討論，則可避免重復與遺漏【例 4】如圖是由若干個正方體形狀木塊堆成的，平放于桌面上其中，上面正方體的下底面四個頂點恰是下面相鄰正方體的上底面各邊的中點，如果最下面的正方體的棱長為 1，且這些正方體露在外面的面積和超過 8，那么正方體的個數(shù)至少是多少？按此規(guī)律堆下去，這些正方體露在外面的面積和的最大值是多少？（江蘇省常州市中考試題）解題思路 ：所有正方體側(cè)面面積和再加上所有正方體上面露出的面積和，就是所求的面積從簡單入手，歸納規(guī)律【例 5】把

4、一個正方體分割成 49 個小正方體（小正方體大小可以不等） ，請畫圖表示（江城國際數(shù)學競賽試題）解題思路 ：本例 是一道圖形分割問題，解答本例需要較強的空間想象能力和推理論證能力，需要把圖形性質(zhì)與計算恰當結(jié)合2【例 6】建立模型 18 世紀瑞士數(shù)學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù) （V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題（1）根據(jù)上面的多面體模型，完成表格中的空格：多面體 頂點數(shù)（ V） 面數(shù)（ F） 棱數(shù)（ E）四面體 4 4長方體 8 6 12正八面體 8 12正十二面體 20 12 30你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)（ V）、面數(shù)（

5、 F）、棱數(shù)（ E）之間存在的關(guān)系式是（2）個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)大 8，且有 30 條棱，則這個多面體的面數(shù)是（3）某個玻璃飾品的外形是簡單多面體， 它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有 24 個頂點，每個頂點處都有 3 條棱設(shè)該多面體外表面三角形的個數(shù)為 x個，八邊形的個數(shù)為y 個，求 x y的值解題思路 ：對于（ 1），通過觀察、歸納發(fā)現(xiàn) V，F(xiàn)，E之間的關(guān)系，并遷移應(yīng)用于解決（ 2），（3）模型應(yīng)用如圖，有一種足球是由數(shù)塊黑白相間的牛皮縫制而成，黑皮為正五邊形，白皮為正六邊形，且邊長都相等，求正五邊形、正六邊形個數(shù)（ 浙江省寧波市中考試題改編）能力訓練A 級1如圖是正方

6、體的展開圖，則原正方體相對兩個面上的數(shù)字之和的最小值是3（山東省菏澤市中考試題）1 2 43 4356主視圖 左視圖 俯視圖2第 1 題 第 2 題左視圖 左視圖第 3 題圖2由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的視圖如圖所示，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是（湖北省武漢市中考試題）3個長方體的左視圖、俯視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則其主視圖的面積為 （山東省煙臺市中考試題）4如圖，下列幾何體是由棱長為 1 的小立方體按一定規(guī)律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色） ，則第 n 個幾何體中只有兩個面涂色的小立方體共有圖 圖 圖（山東省青島市中考試題）5一個畫家有 14 個邊長為 1m

7、的正方體，他在地面上把它們擺成如圖的形式，然后他把露出的表面都涂上顏色，那么被涂顏色的總面積為（ ） 2 B41m2 C33m2 D34mA19m2（山東 省煙臺市中考試題）6一個幾何體由一些大小相同的小正方體組成， 如圖是它的主視圖和俯視 圖，那么組成該幾何體所需 小正方體的個數(shù)最少為（ ）4A3 B4 C5 D 6主視圖 俯視圖（河北省中考試題）7從棱長為 2 的正方體毛坯的一角，挖去一個棱長為 1 的小正方體，得到一個如圖所示的零件，則這個零件的表面積是（ ）A20 B22 C24 D26（河北省中考試題）8我國古代數(shù)學家利用“牟合方蓋” （如圖甲）找到了球體體積的計算方法 “牟合方蓋”

8、是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的主視圖是（ ）牟合方蓋 主視方向A B C D甲 乙（2012 年溫州市中考試題）95 個棱長為 1 的正方體組成如圖的幾何體（1）該幾何體的體積是（立方單位） ，表面積是（平方單位） ；（2）畫出該幾何體的主視圖和左視圖正面（廣州市中考試題）510用同樣大小的正方體木塊搭建的幾何體，從正面看到 的平面圖形如圖所示，從上面看到的平面圖形如圖所示（1）如果搭建的幾何體由 9 個小正方體木塊構(gòu)成，試畫出從左面看這個幾何體所得到的所有可能的平面圖形（2）這樣的幾何體最多可由幾

9、塊小正方體構(gòu)成？并在所用木塊最多的情況下，畫出從左面看到的所有可能的平面圖形圖 圖（“創(chuàng)新杯”邀請賽試 題）B 級1如圖，是一個正方體表面展開圖，請在圖中空格內(nèi)填上適當?shù)臄?shù)，使這個正方體相對兩個面上標注的數(shù)值相等aa 21a（時代學習報數(shù)學文化節(jié)試題）2如圖是由一些大小相同的小正 方體組成的簡單幾何體的主 視圖和俯視圖，若組成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為 n ，則 n 的所有可能的取值之和為主視圖 俯視圖（江蘇省江陰市中考試題）3如圖是一個立方體的主視圖、左視圖和俯視圖，圖中單位為厘米，則立體圖形的體 積為立方厘米6212 2主視圖 左視圖 左視圖（“華羅庚金杯賽”試題）4若干個正方體形狀的積

10、木擺成如圖所示的塔形， 平放于桌面上， 上面正方體的下底四個頂 點是下面相鄰正方體的上底各邊中點，最下面的正方體棱長為 1，如果塔形露在外面的面積超過 7，則正方體的個數(shù)至少是（ ）A2 B3 C4 D 5（江蘇省常州市中考試題）5由若干個單位立方體組成一個較大的立方體， 然后把這個大立方體的某些面 涂上油漆， 油漆干后，把大立方體拆開成單位立方體，發(fā)現(xiàn)有 45 個單位立方體上任何一面都沒有漆，那么大立方體被涂過油漆的面數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D 4（“創(chuàng)新杯”邀請賽試題）6小明把棱長為 4 的正方體分割成了 29 個棱長為整數(shù)的小正方體，則其中棱長為 1 的小正方體的個數(shù)是（ ）A22

11、B23 C24 D25（浙江省競賽試題）7墻角處有若干大小相同的小正方體堆成如圖所示的立體圖形， 如果你打算搬走其中部分小正方體（不考慮操作技術(shù)的限制） ，但希望搬完后從正面、從上面、從右面用平行光線照射時，在墻面及地面上的影子不變，那么你最多可以搬走多少個小正方體？7上面右面（水平線）正面（江蘇省競賽試題）8一個長方體紙盒的長、寬、高分別是 a ，b ，c （ a b c ）厘米如圖，將它展開成平面圖，那么這個平面圖的周長最小是多少厘米？最大是多少厘米？ ac b（江蘇省競賽試題）9王老師將底面半徑為 20 厘米、 高為 35 厘米的圓柱形容器中的果汁全部倒入如圖所示的杯子中，若杯口直徑為

12、20 厘米，杯底直徑為 10 厘米，杯高為 12 厘米，杯身長 13 厘米，問果汁可以倒?jié)M多少杯？2012 1310（世界數(shù)學團體錦標賽試題）10一個邊長為 5 厘米的正方體，它是由 125 個邊長為 1 厘米的小正方體組成的 . P為上底面ABCD的中心，如果挖去（如圖）的陰影部分為四棱錐 ，剩下的部分還包括多少個完整的棱長是 1 厘米的小正方體？（深圳市“啟智杯”數(shù)學思維能力競賽試題）8專題21 從不同的方向看例 1 14 提示： 2x8，y10，xy14例 2 D例 3 (1) 左視圖有以下 5 種情形：(2) n8，9，10，11例 4 正方體個數(shù)至少為4 個正方體露在外面的面積和的最

13、大值為 9 提示 : 最下面正方體 1 個面的面積是 1，側(cè)面露出的面積和是 4，每相鄰兩個正方體中上面的 1 個正方體每個面的面積都正好是其下面正方體 1 個面面積的12，所有正方體側(cè)面面積之和加上所有正方體的上面露出的面積和( 正好是最下面正方體上底面的面積1) 即是這些正方體露在外面的面積和 如：2 個正方體露出的面積和是 4421 7，3 個正方體露出的面積和是 44 4 18，4 個正方體露出的面積和是 42 4 4 4 2 44 118 ，5 個正方體露出的面積和是 48 242444 4 3 18 ，6 個正方體露出的面積8 16 4和是 44 4 4 2 4 84 4 718

14、， 故隨著小正方體木塊的增加，其外露的面積之和都不會16 32 8超過9例 5為方便起見，設(shè)正方體的棱長為 6 個單位，首先不能切出棱長為 5 的立方體，否則不可能分割成 49 個小正方體 設(shè)切出棱長為1 的正方體有 a 個，棱長為2 的正方體有 b 個，如果能切出 1 個棱長為4 的正方體，則有a8b642166，解之得 b14 不合題意，所以切不出棱長為 4 的正方體 ab491 7設(shè)切出棱長為1 的正方體有 a 個，棱長為2 的正方體有 b 個，棱長為3 的正方體有 c 個，a8b27c216則，解得 a36，b9，c4，abc49故可分割棱長分別為1，2，3 的正方體各有 36 個，

15、9 個， 4 個，分法如圖所示 9例 6(1)6 6 VFE2 (2)20 (3) 這個多面體的面數(shù)為 xy，棱數(shù)為24 3236 條根據(jù) VFE2，可得 24( xy) 362，xy24模型應(yīng)用設(shè)足球表面的正五邊形有 x 個，正六邊形有 y 個，總面數(shù) F 為 xy 個因為一條棱連著兩個面，所以球表面的棱數(shù) E為12(5 x6y) ，又因為一個頂點上有三條棱，一條棱上有兩個頂點，所以頂點數(shù) V12(5 x6y) 2313(5 x6y) 由歐拉公式 VFE2 得( xy) 13(5 x 6y) 12 (5 x6y) 2, 解得 x12所以正五邊形 只要 12 個又根據(jù)每個正五邊形周圍連著 5

16、個正六邊形，每個正六邊形又連著 3 個正五邊形，所以六邊形個5x 3數(shù)20，即需 20 個正六邊形 A 級1 6 2 5 3 8 4 4(2 n1) 5 C 6 B 7 C 8 B 9(1)5 22 (2) 略10(1)(2)11 塊B級1上空格填12，下空格填 2 2 38 3 2 4 B5D提示: 設(shè)大立方體的棱長為 n，n3，若 n6，即使 6 個面都油漆過，未油漆的單位立方體也有34 64 個45，故 n4 或 5除掉已漆的單位立方體后，剩下未漆的構(gòu)成一個長方體，設(shè)其長、寬、高分別為 a，b，c，abc45，只能是 3 3 5 45，故 n56C提示: 若分割出棱長為 3 的正方體，則

17、棱長為 3 的正方體只能有 1 個，余下的均是棱長為 1 的10正方體，共 37 個不滿足要求 設(shè)棱長為 2 的正方體有 x 個，棱長為 1 的正方體有 y 個，則xy29，8xy64得x5y247有不同的搬法 為保證“影子不變”，可依如下原則操作：在每一行和每一列中，除保留 一摞最高的不動以外，該行 ( 列) 的其余各摞都搬成只剩最下面的一個小正方體 如圖所示， 20 個方格中的數(shù)字，表示 5 行 6 列共 20 摞中在搬完以后最終留下的正方體個數(shù) 照這樣，各行可搬個數(shù)累計為 27，即最多可搬走 27 個小正方體 8要使平面展開圖的周長最小，剪開的七條棱長就要盡量小，因此要先剪開四條髙 ( 因為 c 最小) ，再剪開一條長 a 厘米的棱 ( 否則， 不能展開成平面圖 ) ，最后再剪開兩條寬 b 厘米的棱 ( 如圖中所表示的 ? 這七條棱 ) 由此可得圖甲，這時最小周長是 c 8b 4a 22a4b8c 厘米圖甲 圖乙要使平面展開 圖的周長最大，剪開的七條棱長就要盡量大，因此要先剪開四條最長的棱 ( 長 a) ，再剪開兩條次長的棱 ( 寬 b) ，最后剪開一條最短的棱 ( 高 c) ，即得圖乙，這時最大周長是 a 8b 4c 28a4b2c 厘米9如圖，由題意知 AB12，C D13，AC12，BD13，過點 D作 DE垂直于 AB于點 E，則 D E12，于是 RtB