豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題超級(jí)經(jīng)典全面

1、豎直平面內(nèi)的臨界問(wèn)題 1 1、輕繩與軌道模型 ： 能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件： Rgvmmg R ? 臨界 2 ? 小球在最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力（軌 道對(duì)球的壓力）剛好等于 0，小 球的重力充當(dāng)圓周運(yùn)動(dòng)所需的向 心力。 mg O 繩 mg O 軌道 小結(jié)一:沒(méi)有支撐的物體 細(xì)繩拴小球，圓滑軌道上滑動(dòng)的小球 1、臨界條件： 繩子或軌道對(duì)小球沒(méi)有力沒(méi)有力的作用：(即：T=0) 有 所以： 2 v mgm R ? VRg? 臨界 2、能通過(guò)最高點(diǎn)的條件： vRg? v大于 Rg時(shí)，繩(軌道）對(duì)球產(chǎn)生拉力（壓力）。 3、不能通過(guò)最高點(diǎn)的條件： vRg小于 實(shí)際上小球還不到最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道。 mg O 繩 m

2、g O 軌道 例：如圖所示，一質(zhì)量為例：如圖所示，一質(zhì)量為m m的小球，用長(zhǎng)為L(zhǎng) L細(xì)繩細(xì)繩 系住，使其在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。若過(guò)小球恰系住，使其在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。若過(guò)小球恰 好能通過(guò)最高點(diǎn)，則小球在最高點(diǎn)的速度為多少？ 小球的受力情況如何？小球的受力情況如何？ 例：如圖所示，一質(zhì)量為m的小球，在半徑為R 光 滑軌道上，使其在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。若過(guò)小 球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)，則小球在最高點(diǎn)的速度為 多少？（小球的受力情況如何？） 例：如圖所示，質(zhì)量為 m的小球在豎直平 面內(nèi)的光滑圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)圓 半徑為R，小球經(jīng)過(guò)圓環(huán)最高點(diǎn)時(shí)剛好 不脫離圓軌則其通過(guò)最高點(diǎn)時(shí) （ ） A小球?qū)A環(huán)的壓力大

3、小等于 mg B小球的向心力等于重力 C小球的線速度大小等于 D小球的向心加速度大小等于 g BCD Rg 例：用長(zhǎng)為例：用長(zhǎng)為l的細(xì)繩，拴著質(zhì)量為的細(xì)繩，拴著質(zhì)量為m的小球，在的小球，在 豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法中正確的豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法中正確的 是（ ） A.小球在最高點(diǎn)所受的向心力一定是重力 B.小球在最高點(diǎn)繩的拉力可能為零 C.小球在最低點(diǎn)繩子的拉力一定大于重力 D.若小球恰好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則 它在最高點(diǎn)的速率為零 例：質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道 的內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)如圖所示，經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)而不脫離 軌道的速度臨界值是v，當(dāng)小球以2v的速度經(jīng) 過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，

4、對(duì)軌道的壓力值是（ ） A.0 B.mg C.3mg D.5mg 例：一根繩系著裝有水的水桶，在豎直平面 內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，水的質(zhì)量m0.5 kg，繩長(zhǎng)l 60 cm，g取10 m/s2 （1）最高點(diǎn)水不流出的最小速率? （2）水在最高點(diǎn)速率v3 m/s時(shí)，水對(duì)桶底 的壓力? 例：如圖所示，一個(gè)半徑為R的光滑半圓形軌道 放在水平面上，一個(gè)質(zhì)量為m的小球以某一初速 度沖上軌道，當(dāng)小球?qū)⒁獜能壍郎涎厮椒较?飛出時(shí)，軌道對(duì)小球的壓力恰好為零，則小球 落地點(diǎn)C距B點(diǎn)多遠(yuǎn)？（A、B在同一豎直線上） B A .O C 2、輕桿和圓管模型 ： 能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件： 0 臨界 v mg O N mg O N

5、桿（管的下壁）對(duì)球的支持力 FN=mg 小結(jié)二:有支撐的物體 小球與桿相連，球在光滑封閉管中運(yùn)動(dòng) 2、小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)小球的彈力情況： Rg V ? B、當(dāng) 時(shí)，桿對(duì)小球有指向圓心的拉力，其大小隨速 度的增大而增大。 Rgv0? N mgF0? C、 時(shí)，對(duì)小球的支持力方向豎直向上，大小隨速度的 增大而減小，取值范圍是： Rg v ? A、當(dāng) 時(shí)，桿對(duì)小球的支持力 N F0? mg O N mg O N 桿 管道 1、臨界條件： 由于支撐作用，小球恰能到達(dá)最高點(diǎn)的臨界速度V臨界=0，此時(shí)彈力 等于重力 N Fmg? 例: :如圖所示，細(xì)桿的一端與一小球相連，可 繞過(guò)O的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)

6、給小球一初速度， 使它做圓周運(yùn)動(dòng)。圖中a a、b b分別表示小球軌 道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，則桿對(duì)球作用力可能 是 （ ） A A、a a處為拉力，b b處為拉力 B B、a a處為拉力，b b處為推力 C、a處為推力，b處為拉力 D D、a a處為推力，b b處為推力 a b A、B 例：長(zhǎng)度為L(zhǎng)0.5m 的輕質(zhì)細(xì)桿OA，A端有一質(zhì) 量為m3.0kg 的小球，如圖5所示，小球以O(shè)點(diǎn)為 圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)小球 的速率是2.0m s，g取10ms2，則此時(shí)細(xì)桿OA 受到 （ ） A、6.0N的拉力 B、6.0N的壓力 C、24N的拉力 D、24N的壓力 B 例：長(zhǎng)L0.5m ，

7、質(zhì)量可以忽略的的桿，其下端 固定于O點(diǎn)，上端連接著一個(gè)質(zhì)量 m2kg的小球A， A繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)（同圖 5），在A通過(guò)最高點(diǎn)，試 討論在下列兩種情況下桿的受力： 當(dāng)A的速率v 11ms時(shí): 當(dāng)A的速率v 24ms時(shí): 例、長(zhǎng)為例、長(zhǎng)為0.6m的輕桿的輕桿OA(不計(jì)質(zhì)量不計(jì)質(zhì)量),A端端 插個(gè)質(zhì)量為插個(gè)質(zhì)量為2.0kg的物體的物體,在豎直平面內(nèi)在豎直平面內(nèi) 繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng),當(dāng)球達(dá)到最高點(diǎn)的速 度分別為度分別為3m/s, m/s,2m/s時(shí)時(shí),求桿對(duì)球求桿對(duì)球 的作用力各為多少? 6 O A 例：例：如圖所示，質(zhì)量m=0.2kg的小球固定在長(zhǎng) 為0.9m的輕桿的一端，桿可繞點(diǎn)的水平 軸在豎直平

8、面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，g=10m/s 2，求： （1）小球在最高點(diǎn)的速度能否等 于零？ （2）當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為多 大時(shí)，小球?qū)U的作用力為零？ （3）當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度分別 為m/s和1.5m/s時(shí)，桿對(duì)小球的 作用力的大小和方向 練習(xí)習(xí)題 7.質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道的 內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)如圖589所示，經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)而不 脫離軌道的速度臨界值是v，當(dāng)小球以2v的速 度經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力值是（ ） A.0 B.mg C.3mg D.5mg 2、用長(zhǎng)為l的細(xì)繩，拴著質(zhì)量為 m的小球，在豎直平 面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ） A.小球在最高點(diǎn)所受的向心力一定是重力 B.小球在最高點(diǎn)

9、繩的拉力可能為零 C.小球在最低點(diǎn)繩子的拉力一定大于重力 D.若小球恰好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則它在最 高點(diǎn)的速率為 7 如下圖,質(zhì)量為0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用繩子系住小 杯在豎直平面內(nèi)做“水流星”表演，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為lm，小杯通過(guò) 最高點(diǎn)的速度為4 m/s，g取10 m/s2,求： （1）在最高點(diǎn)時(shí)，繩的拉力？ （2）在最高點(diǎn)時(shí)水對(duì)小杯底的壓力？ （3）為使小杯經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)水不流出，在最高點(diǎn)時(shí)最小速率 是多少？ 圖所示為模擬過(guò)山車的實(shí)驗(yàn)裝置，小球從左 側(cè)的最高點(diǎn)釋放后能夠通過(guò)豎直圓軌道而到 達(dá)右側(cè)若豎直圓軌道的半徑為R，要使小球 能順利通過(guò)豎直圓軌道，則小球通過(guò)豎直圓 軌道的

10、最高點(diǎn)時(shí)的角速度最小為( ) 雜技演員表演“水流星”，在長(zhǎng)為1.6 m的細(xì)繩的一端，系一個(gè)與水的總質(zhì)量為m0.5 kg的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，若“水流 星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速率為4 m/s，則下列說(shuō)法正確的是(g10 m/s2) ( ) A“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，有水從容器中流出 B“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零 C“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，處于完全失重狀態(tài)，不受力的作用 D“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，繩子的拉力大小為5 N 小明站在水平地面上，手握不可伸長(zhǎng)的輕繩一端，繩的另一端系 有質(zhì)量為m的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周

11、運(yùn) 動(dòng)當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后 落地，如右圖所示已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的 繩長(zhǎng)為3d/4，重力加速度為g.忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力 (1)求繩斷時(shí)球的速度大小v1和球落地時(shí)的速度大小v2 (2)問(wèn)繩能承受的最大拉力多大？ 選做 (3)改變繩長(zhǎng)，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷 掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長(zhǎng)應(yīng)為多少？最大水平距離 為多少？ 補(bǔ)充題 例1:如圖所示，細(xì)桿的一端與一小球相連， 可繞過(guò)O的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)給小球一 初速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng)。圖中a、b分別 表示小球軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，則桿對(duì) 球作用力可能是 （ ） A、

12、a處為拉力，b處為拉力 B、a處為拉力，b處為推力 C、a處為推力，b處為拉力 D、a處為推力，b處為推力 a b A、B 例2 長(zhǎng)度為L(zhǎng)0.5m 的輕質(zhì)細(xì)桿OA，A端有一 質(zhì)量為m3.0kg 的小球，如圖5所示，小球以O(shè)點(diǎn) 為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)小 球的速率是2.0m s，g取10ms2，則此時(shí)細(xì)桿 OA受到 （ ） A、6.0N的拉力 B、6.0N的壓力 C、24N的拉力 D、24N的壓力 B 例3：長(zhǎng)L0.5m ，質(zhì)量可以忽略的的桿，其下 端固定于O點(diǎn)，上端連接著一個(gè)質(zhì)量 m2kg的小球 A，A繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)（同圖 5），在A通過(guò)最高點(diǎn)， 試討論在下列兩種情況下桿的

13、受力： 當(dāng)A的速率v 11ms時(shí): 當(dāng)A的速率v 24ms時(shí): 如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧形 軌道ABCD，其A點(diǎn)與圓心等高，D點(diǎn)為軌道最高 點(diǎn)，DB為豎直線，AC為水平線，AE為水平面， 今使小球自A點(diǎn)正上方某處由靜止釋放，且從A 點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道運(yùn)動(dòng)，通過(guò)適當(dāng)調(diào)整釋放點(diǎn)的 高度，總能保證小球最終通過(guò)最高點(diǎn)D，則小球 在通過(guò)D點(diǎn)后（ ） A會(huì)落到水平面AE上 B一定會(huì)再次落到圓軌道上 C可能會(huì)落到水平面 AE上 D可能會(huì)再次落到圓軌道上 A 二、在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題 在水平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)角速度變 化時(shí)，物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動(dòng)的（半徑有 變化）趨勢(shì)。這時(shí)，要根據(jù)

14、物體的受力情況， 判斷物體受某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí) 方向朝哪（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、 繩的拉力等）。 經(jīng)典案例經(jīng)典案例 經(jīng)典案例(9分)一細(xì)桿與水桶相連，水桶中裝有水，水桶與 細(xì)桿一起在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，水的質(zhì)量m 0.5 kg,水的重心到轉(zhuǎn)軸的距離L60 cm. (1)若在最高點(diǎn)水不流出來(lái)，求桶的最小速率 (2)若在最高點(diǎn)的水桶速率v3 m/s，求水對(duì)桶底的壓力(g 取9.8 m/s2) 【解析】(1)在最高點(diǎn)水恰好不流出的條件： mg (3分) 得v02.42 m/s.(1分) (2)由F 可知，當(dāng)v增大時(shí)，物體做圓周運(yùn)動(dòng)所需的 向心力也隨之增大，由于v3 m

15、/s2.42 m/s，因此，當(dāng)水在 最高點(diǎn)時(shí)，水自身的重力已不足以提供水做圓周運(yùn)動(dòng)所需的 向心力，此時(shí)桶底對(duì)水有一向下的壓力，設(shè)為FN，則由牛頓 第二定律有 FNmg (3分) FN mg2.6 N(1分) 根據(jù)牛頓第三定律可知，水對(duì)桶底的壓力大小為2.6 N，方向 豎直向上(1分) mv02/L mv2/R mv2/L mv2/L 1.繩系著裝水的水桶，在豎直平面內(nèi) 做圓周運(yùn)動(dòng)，水的質(zhì)量 m = 0.5kg ，繩 長(zhǎng)L = 40cm ，求： （）為使桶在最高點(diǎn)時(shí)水不流出， 桶的最小速率？ （）桶在最高點(diǎn)速率 v = 4m/s時(shí)， 水對(duì)桶底的壓力？ 【學(xué)以致用】 練習(xí):如圖所示，輕桿的一端固定

16、 一質(zhì)量為m的小球，并以另一端 O為圓 心，使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的 圓周運(yùn)動(dòng)，以下說(shuō)法正確的是： A、小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的起碼速度為 ； B、小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，桿所受的彈力可以等于零； C、小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力可以與球所 受重力方向 相反，此時(shí)重 力 一定大于桿對(duì)球的作 用力； D、小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球作用力一定與小球所 受重力方向相反。 O Rg BC 例：長(zhǎng)為0.5m，質(zhì)量可忽略的桿，其下端固定于 O點(diǎn)，上端連有質(zhì)量m=2kg的小球，它繞O點(diǎn)做圓 周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，如圖所示，求下列情況 下，桿受到的力（說(shuō)明是拉力還是壓力）： （1）當(dāng)v 1=1m/s時(shí)； （2）v 2=4

17、m/s時(shí)。（g取10m/s 2） 應(yīng)用:四、桿拉小球豎直面轉(zhuǎn)動(dòng) A B 例、質(zhì)量為例、質(zhì)量為1kg的小球沿半徑為的小球沿半徑為20cm的圓環(huán)在豎直的圓環(huán)在豎直 平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，求平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，求 （1）小球在圓環(huán)的最高點(diǎn)）小球在圓環(huán)的最高點(diǎn)A不掉下來(lái)的最小速度不掉下來(lái)的最小速度 是多少？此時(shí)小球的向心加速度是多少？是多少？此時(shí)小球的向心加速度是多少？ （2）若小球仍用以上的速度經(jīng)過(guò)圓環(huán)的最高點(diǎn)）若小球仍用以上的速度經(jīng)過(guò)圓環(huán)的最高點(diǎn)A， 當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)的最低點(diǎn)B時(shí)，對(duì)圓環(huán)的壓力是多 少？此時(shí)小球的向心加速度是多少？少？此時(shí)小球的向心加速度是多少？ 鞏固應(yīng)用： 例、長(zhǎng)為例、長(zhǎng)為0.6m的輕桿OA(不計(jì)質(zhì)量不計(jì)質(zhì)量),A