勾股定理經典例題(含參考答案)

1、精品好資料學習推薦勾股定理經典例題透析類型一：勾股定理的直接用法1、在RtABC中，C=90(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路點撥:寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。解析：(1)在ABC中，C=90，a=6，c=10,b=(2)在ABC中，C=90，a=40，b=9,c=(3)在ABC中，C=90，c=25，b=15,a=舉一反三【變式】如圖B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,則AB的長是多少?【答案】ACD=90AD=13,CD=12AC2=AD2CD2=132122

2、=25AC=5又ABC=90且BC=3由勾股定理可得AB2=AC2BC2=5232=16AB=4AB的長是4.類型二：勾股定理的構造應用2、如圖，已知：在中，.求BC的長.思路點撥：由條件，想到構造含角的直角三角形，為此作于D，則有，再由勾股定理計算出AD、DC的長，進而求出BC的長.解析：作于D，則因，（的兩個銳角互余）（在中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）.根據勾股定理，在中，.根據勾股定理，在中，.舉一反三【變式1】如圖，已知：，于P.求證：.解析：連結BM，根據勾股定理，在中，.而在中，則根據勾股定理有.又（已知），.在中，根據勾股定理有，.【變式2】已知：如圖，

3、B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。分析：如何構造直角三角形是解本題的關鍵，可以連結AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點E，根據本題給定的角應選后兩種，進一步根據本題給定的邊選第三種較為簡單。解析：延長AD、BC交于E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。DE2=CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四邊形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=類型三：勾股定理的實際應用（一）用勾股定理求兩點之間的距離問題3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地

4、A點出發(fā)，沿北偏東60方向走了到達B點，然后再沿北偏西30方向走了500m到達目的地C點。（1）求A、C兩點之間的距離。（2）確定目的地C在營地A的什么方向。解析：（1）過B點作BE/ADDAB=ABE=6030+CBA+ABE=180CBA=90即ABC為直角三角形由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以（2）在RtABC中，BC=500m，AC=1000mCAB=30DAB=60DAC=30即點C在點A的北偏東30的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?【答案】由于廠門寬度足夠卡車通過

5、，只要看當卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH如圖所示，點D在離廠門中線0.8米處，且CD，與地面交于H解：OC1米(大門寬度一半)，OD0.8米（卡車寬度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD.米，C.（米）.（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門（二）用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農村用電電費過高的現狀，目前正在全國各地農村進行電網改造，某地有四個村莊A、B、C、D，且正好位于一個正方形的四個頂點，現計劃在四個村莊聯合架設一條線路，他們設計了四種架設方案，如圖實線部分請你幫助計算一下，哪種架設方案最省電線思路點撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短，

6、通過利用勾股定理計算線路長，然后進行比較，得出結論解析：設正方形的邊長為1，則圖（1）、圖（2）中的總線路長分別為AB+BC+CD3，AB+BC+CD3圖（3）中，在RtABC中同理圖（3）中的路線長為圖（4）中，延長EF交BC于H，則FHBC，BHCH由FBH及勾股定理得：EAEDFBFCEF12FH1此圖中總線路的長為4EA+EF32.8282.732圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設方案最省電線舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短路程解：如圖，在Rt中，底面周長的一半cm，根據勾

7、股定理得（提問：勾股定理）AC（cm）（勾股定理）答：最短路程約為cm類型四：利用勾股定理作長為的線段5、作長為、的線段。思路點撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。作法：如圖所示（1）作直角邊為1（單位長）的等腰直角ACB，使AB為斜邊；（2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角。斜邊為；（3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、的長度就是、。舉一反三【變式】在數軸上表示的點。解析：可以把看作是直角三角形的斜邊，為了有利于畫圖，讓其他兩邊的長為整數，而10又是9和1這兩個完全平方數的和，得另外兩邊分別是3和

8、1。作法：如圖所示在數軸上找到A點，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC為半徑，以O為圓心做弧，弧與數軸的交點B即為。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1原命題：貓有四只腳（正確）2原命題：對頂角相等（正確）3原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等（正確）4原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等（正確）思路點撥：掌握原命題與逆命題的關系。解析：1.逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2.逆命題：相等的角是對頂角（不正確）3.逆命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上（正確）4.逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的平

9、分線上（正確）總結升華：本題是為了學習勾股定理的逆命題做準備。7、如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC的形狀。思路點撥：要判斷ABC的形狀，需要找到a、b、c的關系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件入手，解決問題。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。(a-3)20,(b-4)20,(c-5)20。a=3，b=4，c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理

10、，得ABC是直角三角形?？偨Y升華：勾股定理的逆定理是通過數量關系來研究圖形的位置關系的,在證明中也常要用到。舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。【答案】：連結ACB=90，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90（勾股定理逆定理）【變式2】已知:ABC的三邊分別為m2n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數,且mn),判斷ABC是否為直角三角形.分析:本題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明:a2+b2=c2即可證明：所以

11、ABC是直角三角形.【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點，F為AB上一點，且BF=AB。請問FE與DE是否垂直?請說明?！敬鸢浮看穑篋EEF。證明：設BF=a，則BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。連接DF（如圖）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。DF2=EF2+DE2,FEDE。經典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。思路點撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先

12、通過比值設未知數，再根據勾股定理列出方程，求出未知數的值進而求面積。解析：設此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據題意得：（3x）2+（4x）2202化簡得x216；直角三角形的面積3x4x6x296總結升華：直角三角形邊的有關計算中，常常要設未知數，然后用勾股定理列方程（組）求解。舉一反三【變式1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積?！敬鸢浮咳鐖D，等邊ABC，作ADBC于D則：BDBC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）ABACBC2（等邊三角形各邊都相等）BD1在直角三角形ABD中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413ADSABCBCAD注：等邊三角形面積公式：若

13、等邊三角形邊長為a，則其面積為a?！咀兪?】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積?！敬鸢浮吭O此直角三角形兩直角邊長分別是x，y，根據題意得：由（1）得：x+y7，（x+y）249，x2+2xy+y249(3)(3)(2)，得：xy12直角三角形的面積是xy126（cm2）【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。思路點撥：首先要確定斜邊（最長的邊）長n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長為n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2（n+3）2化簡得：n24n2，但當n2時，n+110，n2總結升華：注意直角三角形中兩

14、“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。【變式4】以下列各組數為邊長，能組成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷，對數據較大的可以用c2a2+b2的變形：b2c2a2（ca）（c+a）來判斷。例如：對于選擇D，82（40+39）（4039），以8，39，40為邊長不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項。【答案】：A【變式5】四邊形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。解：連結ACB

15、=90，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90（勾股定理逆定理）S四邊形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36類型二：勾股定理的應用2、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且QPN30，點A處有一所中學，AP160m。假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？思路點撥：（1）要判斷拖拉機的噪音是否影響學校A，實質上是看A

16、到公路的距離是否小于100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。（2）要求出學校受影響的時間，實質是要求拖拉機對學校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結束影響學校。解析：作ABMN，垂足為B。在RtABP中，ABP90，APB30，AP160，ABAP80。（在直角三角形中，30所對的直角邊等于斜邊的一半）點A到直線MN的距離小于100m,這所中學會受到噪聲的影響。如圖，假設拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學校開始受到影響，那么AC100(m)，由勾股定理得：BC21002-8023600,BC60。同理

17、，拖拉機行駛到點D處學校開始脫離影響，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。拖拉機行駛的速度為:18km/h5m/st120m5m/s24s。答：拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校會受到噪聲影響，學校受影響的時間為24秒?？偨Y升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助垂線的方法,構造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三【變式1】如圖學校有一塊長方形花園，有極少數人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內走出了一條“路”。他們僅僅少走了_步路（假設2步為1m），卻踩傷了花草。解析：他們原來走的路為3+47(m)設走“捷徑”的路長為xm，則

18、故少走的路長為752(m)又因為2步為1m，所以他們僅僅少走了4步路?！敬鸢浮?【變式2】如圖中的虛線網格我們稱之為正三角形網格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。（1）直接寫出單位正三角形的高與面積。（2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？（3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）?！敬鸢浮浚?）單位正三角形的高為，面積是。（2）如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個單位正三角形，因此其面積。（3）過A作AKBC于點K（如圖所示），則在RtACK中，故類型三：數學思想方法（一）轉化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構造直角三角形，將問題轉化為直角三角形問題來解決3、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF，若BE=12，CF=5求線段EF的長。思路點撥：現已知BE、CF，要