一元二次方程從歷史到課堂

1、一元二次方程：從歷史到課堂皇甫華 汪曉勤（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系, 上海, 200062）數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教育的價值早在19世紀就已經(jīng)引起西方數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)教育家們的關(guān)注1.1972年，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組（簡稱hpm）成立，使得數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系成為一個數(shù)學(xué)教育中的一個研究領(lǐng)域.自此，人們對于數(shù)學(xué)史的作用進行了更為廣泛的探討.英國數(shù)學(xué)史家john fauvel總結(jié)了應(yīng)用數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)教學(xué)的各種理由如下2：(1) 增加學(xué)生的學(xué)習(xí)動機；(2) 改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀；(3) 因為知道并非只有他們自己有困難，因而會感到安慰；(4) 使數(shù)學(xué)不那么可怕；(5) 有助于保持對數(shù)學(xué)的興趣；(6)

2、給予數(shù)學(xué)以人文的一面；(7) 有助于解釋數(shù)學(xué)在社會中的作用；(8) 有助于發(fā)展多元文化進路；(9) 歷史發(fā)展有助于安排課程內(nèi)容順序；(10) 告訴學(xué)生概念如何發(fā)展，有助于他們對概念的理解；(11) 通過古今方法的對比，確立現(xiàn)代方法的價值；(12) 提供探究的機會；(13) 過去的發(fā)展障礙有助于解釋今天學(xué)生的學(xué)習(xí)困難；(14) 鼓勵優(yōu)秀生看得更遠；(15) 提供跨學(xué)科合作的機會.因此，正如john fauvel和van mannen所指出的那樣，“對于數(shù)學(xué)史引入數(shù)學(xué)教學(xué)的研究，乃是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要組成部分.”3hpm成立以來，特別是20世紀80年代以來，許多數(shù)學(xué)教育家、數(shù)學(xué)教師對于數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)

3、課堂上的具體運用作了許多探索和嘗試，john fauvel總結(jié)了數(shù)學(xué)史的各種用法如下2：(1) 介紹歷史上數(shù)學(xué)家的故事；(2) 運用歷史引入新概念；(3) 促使學(xué)生理解為他們所學(xué)概念提供解答的歷史問題；(4) 講授數(shù)學(xué)史課；(5) 利用歷史上的數(shù)學(xué)教材設(shè)計課堂練習(xí)和作業(yè)；(6) 舉辦歷史主題的展覽；(7) 運用歷史上的典型例子來說明方法和技術(shù)；(8) 探索過去的錯誤、另類觀點以幫助今天的學(xué)習(xí)者理解并解決困難；(9) 借鑒歷史設(shè)計一個話題的教學(xué)方法；(10) 基于歷史信息進行課程的整體設(shè)計.國外學(xué)者、教師運用數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)教學(xué)的一些具體案例，能為我們的教師提供借鑒，給他們一些啟發(fā)，在有關(guān)知識點的教

4、學(xué)設(shè)計中增加一個歷史的視角.本文介紹l.radford和g. gurette關(guān)于一元二次方程的一種教學(xué)設(shè)計4.該設(shè)計借鑒了古代巴比倫人的一元二次方程的幾何解法.大英博物館藏巴比倫泥版bm13901上有如下問題：“正方形面積與邊長之和為，求邊長.”解法：“置投影（projection）1，半之，得.和構(gòu)成矩形，將與相加， 圖 1得1，從中減去，即得邊長為.”（分數(shù)為今天的寫法）數(shù)學(xué)史家hfyrup認為，巴比倫人上述解法的依據(jù)乃是圖1所示的幾何圖形.將置于正方形一邊上的長為1、寬與正方形邊長相等的長方形按虛線剪開，剪下的一半置于正方形的另一邊，然后補一個邊長為的小正方形，即得一大正方形，其面積為，

5、邊長為1，減去，即得所求正方形的邊長.類似地，耶魯大學(xué)所藏巴比倫泥版ybc6967上的一個問題相當(dāng)于說，已知兩數(shù)乘積為60，它們的差為7，求這兩個數(shù).以今天的記數(shù)法來表示，解法如下：取7的一半，得，自乘，得；與60相加，得，開方，得.記下，分別減去和加上，得一數(shù)為5，另一數(shù)為12.所用幾何方法如圖2所示5. 圖 29世紀，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米（al-khwarizmi, 780?850?）也用上述方法來解一元二次方程.在代數(shù)學(xué)中，花拉子米給出一元二次方程的兩種幾何方法6，如圖3所示. 圖 3 1 幾何方法之引入先讓學(xué)生分組合作，用任何方法解下面的問題：問題1 已知矩形的半周長為20，面積為96

6、。求矩形的長和寬.在學(xué)生完成之后，教師在黑板上用硬紙板介紹幾何方法如下（圖4）：（1）取邊長為10的正方形，其面積為100；（2）割去面積為4的正方形（邊長為2），余下的面積為96；（3）按虛線剪去小矩形（長為8，寬為2）；（4）將小矩形豎直放置在右側(cè). （1） （2） （3） （4）圖 4于是，所求的矩形長為12，寬為8. 接著，教師讓學(xué)生用幾何方法解類似的問題：“已知矩形的半周長為12，面積為30.求矩形的長和寬.”注意，此時應(yīng)割去的小正方形邊長為無理數(shù)。讓學(xué)生書面總結(jié)解這類問題的一般步驟. 2 合作討論與提出問題分組討論解上述問題的步驟、出現(xiàn)矛盾的情形，每組選一名代表向其他組介紹自己所在

7、組的討論結(jié)果.接著，教師讓學(xué)生自己提出類似問題，分別要求：（1）所求矩形的長和寬為整數(shù)；（2）所求矩形的長和寬不能為整數(shù). 3 新的矩形問題教師提出新的問題：問題2 矩形的長為10，寬未知.在矩形一邊放一正方形，如圖所示.已知矩形和正方形面積之和為39.問矩形的寬為多少？ 讓學(xué)生用解問題1的方法來解本題.若學(xué)生不能完成，教師用硬紙板來演示新的解法（圖5）：（1）將原矩形沿豎直方向分割成兩半；（2）其中一半粘到正方形的底邊；（3）在右下角補一個邊長為5的小正方形.于是，整個正方形的面積為39+25=64，從而得邊長為8.因此，. 接著，教師讓學(xué)生解類似的問題，并書面總結(jié)解這類問題的一般步驟.（1

8、） （2） （3） （4）圖 5 4 合作討論與提出問題分組討論解上述問題的步驟.每組選一名代表向其他組介紹自己所在組的討論結(jié)果.然后，教師讓學(xué)生自己提出類似問題，分別要求：（1）矩形的長和寬為整數(shù)；（2）矩形的長和寬為分數(shù)；（3）矩形的長和寬為無理數(shù). 5 求根公式的再發(fā)現(xiàn) 教師提問：根據(jù)前面總結(jié)的解題步驟，能否找到一般公式，直接求得問題2以及類似問題的解呢？引導(dǎo)學(xué)生用字母b表示問題2中的矩形的長，c表示矩形和正方形的面積之和.分組討論矩形寬的計算公式： . （1）教師將上述幾何問題翻譯成代數(shù)語言：. （2）上式即為該方程的求根公式.接著，教師讓學(xué)生用該公式解具體的一元二次方程，如，等.接下

9、來，教師讓學(xué)生找出一元二次方程. （3）的求根公式.引導(dǎo)學(xué)生將二次項系數(shù)化成1，即方程兩邊同除以a，即得方程（2）形式：.故在公式（1）中用代替b，用代替c，即得公式 . （4） 最后，考慮一般方程. （5）顯然，（5）寫成（3）的形式，就是，因此，在公式（4）中用代替c，即得方程（5）的求根公式或即.為了獲得一元二次方程的所有根，我們必須考慮的負平方根，因此，方程（5）的完整的求根公式即為.本設(shè)計屬于fauvel所說的數(shù)學(xué)史的第9種用法“借鑒歷史設(shè)計一個話題的教學(xué)方法”，它所依據(jù)的是歷史發(fā)生原理，即學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認知過程與概念的歷史發(fā)展過程具有相似性.從歷史上看，從古代巴比倫、希臘、中國，

10、到中世紀的阿拉伯（花拉子米）和歐洲（斐波納契），人們求解一元二次方程時都運用了幾何方法.因此，通過幾何方法引入一元二次方程的解法，較能符合學(xué)生的認知規(guī)律，體現(xiàn)了發(fā)生教學(xué)法的主要特征之一主題之可接受性，即所引入之新主題建立在學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)之上.但是，我們也應(yīng)該注意，由于古今數(shù)學(xué)發(fā)展水平、學(xué)習(xí)條件和環(huán)境的巨大差異，今天學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認知過程與概念的歷史發(fā)展過程之間的相似性只能是相對的、不嚴格的.就一元二次方程而言，中世紀以前人們對幾何方法的依賴是與修辭代數(shù)這一代數(shù)學(xué)發(fā)展的初級水平息息相關(guān)的.而今天，學(xué)生在學(xué)習(xí)一元二次方程之前，已經(jīng)完成了從算術(shù)到符號代數(shù)這一代數(shù)學(xué)高級水平的過渡.如果教學(xué)中過于

11、依賴幾何方法，那么學(xué)生的思維反而會受到束縛.因此，本教學(xué)設(shè)計的局限性是顯而易見的. 參考文獻1 汪曉勤等. hpm的歷史淵源（j）. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報, 2003 (3).2 fauvel, j. using history in mathematics education. for the learning of mathematics, 1991, 11(2): 3-6.3 bagni, g. t. et. al. ancient zara game and teaching of probability: an experimental research in italian high sc

12、hool. proceedings of mcots-2, oshkosh: department of mathematics university of wisconsin, 1999.4 radford, l., gurette, g. second degree equations in the classroom: a babylonian approach. in: v. j. katz (ed.), using history to teach mathematics, washington: mathematical association of america, 2000. 69-75.5 robson e. neither sherlock h