2021_2022學年高中數(shù)學第三章不等式4.3簡單線性規(guī)劃的應用課時素養(yǎng)評價含解析北師大版必修5202103121146

1、二十三簡單線性規(guī)劃的應用 (20分鐘35分)1.當前疫情階段,口罩成為熱門商品,小明決定制作兩種口罩:N95口罩和N90口罩.已知制作一只N95口罩需要2張熔噴布和2張針刺棉,制作一只N90口罩需要3張熔噴布和1張針刺棉,現(xiàn)小明手上有35張熔噴布和19張針刺棉,且一只N95口罩有4元利潤,一只N90口罩有3元利潤,為了獲得最大利潤,那么小明應該制作()A.5只N95口罩,8只N90口罩B.6只N95口罩,6只N90口罩C.7只N95口罩,6只N90口罩D.6只N95口罩,7只N90口罩【解析】選D.設制作x只N95口罩,y只N90口罩,根據(jù)題意有,可行域如圖所示:利潤z=4x+3y,目標函數(shù)看

2、作斜率為-的直線,當目標函數(shù)表示的直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點,且在y軸上的截距最大時,z最大,由,求得B(5.5,8),因為x,y需要取整數(shù),在可行域內(nèi)與點B最接近的整點為(6,7),所以當x=6,y=7時,z的值最大,所以小明應該制作6只N95口罩,7只N90口罩.2.某公司招收男職員x名,女職員y名,x和y需滿足約束條件則z=10x+10y的最大值是()A.80B.85C.90D.95【解析】選C.該不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影中的整點部分.由于x,yN+,計算區(qū)域內(nèi)與最近的點為(5,4).故當x=5,y=4時,z取得最大值為90.3.(2020衡陽高一檢測)某企業(yè)通過前期考察與論證可

3、知,投資每個A項目第一年需資金20萬元,從中可獲利5萬元;投資每個B項目第一年需資金30萬元,從中可獲利6萬元.現(xiàn)公司擬投資兩個項目共不多于8個且投入資金不超過200萬元,需合理安排這兩個項目的個數(shù)使第一年獲利最多,則獲利最多可達到()A.40萬元B.44萬元C.48萬元D.50萬元【解析】選B. 設投資x個A項目,y個B項目,則再求z=5x+6y的最大值.則投資的項目組合(x,y)為不等式組的可行域中的整數(shù)點.易得z=5x+6y在即(4,4)處取得最大值.最大值為z=54+64=44萬元.4.(2020蘇州高一檢測)某家具公司生產(chǎn)甲、乙兩種書柜,制柜需先制白胚再油漆,每種柜的制造白胚工時數(shù)、

4、油漆工時數(shù)的有關數(shù)據(jù)如表:工藝要求產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙生產(chǎn)能力/(工時/天)制白胚工時數(shù)612120油漆工時數(shù)8464單位利潤/元2024則該公司合理安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),每天可獲得的最大利潤為元.【解析】設x,y分別為甲、乙兩種柜的日產(chǎn)量,根據(jù)題意知,需求出線性目標函數(shù)z=20x+24y的最大值,其中線性約束條件為如圖所示陰影部分中的整點為線性約束條件的可行域.作出直線l:20x+24y=0,平移l,當l過點Q時,z取到最大值,解得Q(4,8),代入z=20x+24y,可得zmax=204+248=272元.答案:2725.某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品,由乙車間加工出B產(chǎn)品,甲車間加工一箱原

5、料需耗費工時10小時,可加工出7千克A產(chǎn)品,每千克A產(chǎn)品獲利40元,乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時,可加工出4千克B產(chǎn)品,每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時,甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃為.(1)甲車間加工原料10箱,乙車間加工原料60箱;(2)甲車間加工原料15箱,乙車間加工原料55箱;(3)甲車間加工原料18箱,乙車間加工原料50箱;(4)甲車間加工原料40箱,乙車間加工原料30箱.【解析】設甲車間加工原料x箱,乙車間加工原料y箱,由題意可知甲、乙兩車間每天總獲利為z=280x+200y.畫出可行

6、域如圖所示.點M(15,55)為直線x+y=70和直線10x+6y=480的交點,由圖像知在點M(15,55)處z取得最大值.答案:(2)6.某營養(yǎng)師要為某個兒童預訂午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物,6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C;一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物,6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外,該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物,42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元.那么要滿足上述的營養(yǎng)要求,并且花費最少,應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐?【解析】設需要預訂滿足要

7、求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位,所花的費用為z元,則依題意得:z=2.5x+4y,且x,y滿足即讓目標函數(shù)表示的直線2.5x+4y=z在可行域上平移.由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)處取得最小值.因此,應當為該兒童預訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐,就可滿足要求. (30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.某實驗室至少需要某種化學藥品10 kg,現(xiàn)在市場上出售的該藥品有兩種包裝,一種是每袋3 kg,價格為12元;另一種是每袋2 kg,價格為10元.但由于保質(zhì)期的限制,每一種包裝購買的數(shù)量都不能超過5袋,則在滿足需要的條件下,花費最少為()A.56元B.42元C.4

8、4元D.54元【解析】選C.設購買價格為12元的x袋,價格為10元的y袋,花費為z元,則約束條件為:目標函數(shù)為z=12x+10y,作出可行域,使目標函數(shù)為z=12x+10y取最小值的整數(shù)點(x,y)是A(2,2),此時z=44.故購買價格為12元的2袋,價格為10元的2袋,花費最少為44元.2.某廠生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品每件可獲利潤分別為30元、20元,生產(chǎn)甲產(chǎn)品每件需用A原料2 kg、B原料4 kg,生產(chǎn)乙產(chǎn)品每件需用A原料3 kg、B原料2 kg.A原料每日供應量限額為60 kg,B原料每日供應量限額為80 kg.要求每天生產(chǎn)的乙種產(chǎn)品不能比甲種產(chǎn)品多于10件,則合理安排生產(chǎn)可使每日獲得的利

9、潤最大為()A.500元 B.700元C.400元 D.650元【解析】選D.設每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x,y件,則x,y滿足利潤z=30x+20y.不等式組所表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)的整數(shù)點,根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義,在直線2x+3y=60和直線4x+2y=80的交點B處取得最大值,解方程組得B(15,10),代入目標函數(shù)得zmax=3015+2010=650.3.某旅行社租用A,B兩種型號的客車安排900名客人旅行,A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛,旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛,且B型車不多于A型車7輛,則租金最少為(

10、)A.31 200元B.36 000元C.36 800元D.38 400元【解析】選C.設租A型車x輛,B型車y輛,租金為z,則畫出可行域(圖中陰影區(qū)域中的整數(shù)點),則目標函數(shù)z=1 600x+2 400y在點N(5,12)處取得最小值36 800.4.車間有男工25人,女工20人,要組織甲、乙兩種工作小組,甲組要求有5名男工,3名女工,乙組要求有4名男工,5名女工,并且要求甲種組數(shù)不少于乙種組數(shù),乙種組數(shù)不少于1組,則要使組成的組數(shù)最多,甲、乙各能組成的組數(shù)為()A.甲4組、乙2組B.甲2組、乙4組C.甲、乙各3組 D.甲3組、乙2組【解析】選D.設甲種x組,乙種y組.則總的組數(shù)z=x+y,

11、作出該不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影中整點部分,尋找整點分析,x=3,y=2時,為最優(yōu)解.5.為徹底打贏脫貧攻堅戰(zhàn),2020年春,某市政府投入資金幫扶某農(nóng)戶種植蔬菜大棚脫貧致富,若該農(nóng)戶計劃種植冬瓜和茄子,總面積不超過15畝,幫扶資金不超過4萬元,冬瓜每畝產(chǎn)量10 000斤,成本2 000元,每斤售價0.5元,茄子每畝產(chǎn)量5 000斤,成本3 000元,每斤售價1.4元,則該農(nóng)戶種植冬瓜和茄子利潤的最大值為()A.4萬元B.5.5萬元C.6.5萬元D.10萬元【解析】選B.設種植冬瓜和茄子的種植面積分別為x,y畝,種植總利潤為z萬元,由題意可知,總利潤z=x+y=0.3x+0.4y,作出可行

12、域如圖陰影部分:聯(lián)立,解得,平移直線0.3x+0.4y=0,當過點A時,一年的種植總利潤z取最大值5.5萬元.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2020南京高一檢測)一家飲料廠生產(chǎn)甲、乙兩種沖果汁飲料,甲種飲料的主要配方是每3份李子汁加1份蘋果汁,乙種飲料的主要配方是李子汁和蘋果汁各一半.該廠每天能獲得的原料是2 000 L李子汁和1 000 L蘋果汁,廠方的利潤是生產(chǎn)1 L甲種飲料得3元,生產(chǎn)1 L乙種飲料得4元,那么廠方獲得的最大利潤是元.【解題指南】設生產(chǎn)甲種飲料x L,生產(chǎn)乙種飲料y L,根據(jù)題意列出x,y滿足的不等關系,然后求(3x+4y)max.【解析】設生產(chǎn)甲種飲料x L,

13、生產(chǎn)乙種飲料y L,生產(chǎn)甲種飲料需要x李子汁和x蘋果汁,生產(chǎn)乙種飲料需要y李子汁和y蘋果汁,則利潤z=3x+4y,由解得作出可行域,如圖四邊形OABC內(nèi)部(含邊界),作直線l:3x+4y=0,平移直線l,當l過點B(2 000,1 000)時,z=3x+4y取得最大值10 000.答案:10 000【補償訓練】某企業(yè)擬用集裝箱托運甲、乙兩種產(chǎn)品,甲種產(chǎn)品每件體積為5 m3,重量為2噸,運出后,可獲利潤10萬元;乙種產(chǎn)品每件體積為4 m3,重量為5噸,運出后,可獲利潤20萬元,集裝箱的容積為24 m3,最多載重13噸,該企業(yè)可獲得的最大利潤是.【解析】設甲種產(chǎn)品裝x件,乙種產(chǎn)品裝y件(x,yN)

14、,總利潤為z萬元,則且z=10x+20y.作出可行域,如圖中的陰影部分所示.作直線l0:10x+20y=0,即x+2y=0.當l0向右上方平移時z的值變大,平移到經(jīng)過直線5x+4y=24與2x+5y=13的交點(4,1)時,zmax=104+201=60(萬元),即甲種產(chǎn)品裝4件、乙種產(chǎn)品裝1件時總利潤最大,最大利潤為60萬元.答案:60萬元7.(2020廈門高一檢測)回收1噸廢紙可以生產(chǎn)出0.8噸再生紙,可節(jié)約用水約100噸,節(jié)約用煤約1.2噸;回收1噸廢鉛蓄電池可再生鉛約0.6噸,可節(jié)約用煤約0.8噸,節(jié)約用水約120噸,回收每噸廢鉛蓄電池的費用約為0.9萬元,回收1噸廢紙的費用約為0.2

15、萬元.現(xiàn)用于回收廢紙和廢鉛蓄電池的費用不超過18萬元,在保證節(jié)約用煤不少于12噸的前提下,最多可節(jié)約用水約噸.【解析】設回收廢紙x噸,回收廢鉛蓄電池y噸,可節(jié)約用水z噸,由已知條件可得即z=100x+120y.作出不等式組表示的可行域如圖所示,y=-x+平移直線可得當直線過點A時,在y軸的截距最大,即z最大.由圖可得點A(90,0),此時z取得最大值為9 000.答案:9 0008.(2020北京高一檢測)在某校冬季長跑活動中,學校要給獲得一、二等獎的學生購買獎品,要求花費總額不得超過200元.已知一等獎和二等獎獎品的單價分別為20元、10元,一等獎人數(shù)與二等獎人數(shù)的比值不得高于,且獲得一等獎

16、的人數(shù)不能少于2人,有下列四個結論:最多可以購買4份一等獎獎品;最多可以購買16份二等獎獎品;購買獎品至少要花費100元;共有20種不同的購買獎品方案,其中正確結論的序號為.【解析】設購買一、二等獎獎品份數(shù)分別為x,y,則根據(jù)題意有 作可行域為:解得2x4,6y16,所以最多可以購買4份一等獎獎品,最多可以購買16份二等獎獎品, 故正確,購買獎品至少要花費220+610=100元,故正確,由可行域知:A,B,C,可行域內(nèi)的整數(shù)點有,共11+6+1=18個.故錯誤.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2020合肥高一檢測)霧霾大氣嚴重影響人們的生活,某科技公司擬投資開發(fā)新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)

17、品,策劃部制訂投資計劃時,不僅要考慮可能獲得的盈利,而且還要考慮可能出現(xiàn)的虧損,經(jīng)過市場調(diào)查,公司打算投資甲、乙兩個項目,根據(jù)預測,甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和60%,可能的最大虧損率分別為20%和10%,投資人計劃投資金額不超過9萬元,要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.4萬元.(1)若投資人用x萬元投資甲項目,y萬元投資乙項目,試寫出x,y所滿足的條件,并在平面直角坐標系內(nèi)作出表示x,y范圍的圖形;(2)根據(jù)(1)的規(guī)劃,投資公司對甲、乙兩個項目分別投資多少萬元,才能使可能的盈利最大?【解析】(1)由題意,知x,y滿足的條件為不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界).(2)

18、根據(jù)第(1)問的規(guī)劃和題設條件,依題意可知目標函數(shù)為z=x+0.6y,在圖中,作直線l0:x+0.6y=0,平移直線l0,當經(jīng)過直線x+y=9與2x+y=14的交點A時,其縱截距最大,解方程x+y=9與2x+y=14,解得x=5,y=4,即A(5,4),此時z=5+0.64=7.4(萬元),所以當x=5,y=4時,z取得最大值7.4,即投資人用5萬元投資甲項目,4萬元投資乙項目,才能確保虧損不超過1.4萬元,且使可能的利潤最大.10.某化工集團在靠近某河流處修建兩個化工廠,流經(jīng)第一化工廠的河流流量為500萬m3/天,在兩個化工廠之間還有一條流量為200萬m3/天的支流并入大河(如圖).第一化工

19、廠每天排放含有某種有害物質(zhì)的工業(yè)廢水2萬m3;第二化工廠每天排放這種工業(yè)廢水1.4萬m3,從第一化工廠排出的工業(yè)廢水在流到第二化工廠之前,有20%可自然凈化.環(huán)保要求:河流中工業(yè)廢水的含量應不大于0.2%,因此,這兩個工廠都需各自處理部分工業(yè)廢水,第一化工廠處理工業(yè)廢水的成本是1 000元/萬m3,第二化工廠處理工業(yè)廢水的成本是800元/萬m3.試問:在滿足環(huán)保要求的條件下,兩個化工廠應各自處理多少工業(yè)廢水,才能使這兩個化工廠總的工業(yè)廢水處理費用最小?【解析】設第一化工廠每天處理工業(yè)廢水x萬m3,需滿足:0.2%,0x2;設第二化工廠每天處理工業(yè)廢水y萬m3,需滿足:0.2%,0y1.4.兩個

20、化工廠每天處理工業(yè)廢水總的費用為z=1 000x+800y元.問題即為:約束條件即求目標函數(shù)z=200(5x+4y)的最小值.如圖,作出可行域.可知當x=1,y=0.8時目標函數(shù)有最小值,即第一化工廠每天處理工業(yè)廢水1萬m3,第二化工廠每天處理工業(yè)廢水0.8萬m3,能使這兩個化工廠總的工業(yè)廢水處理費用最小.某人有樓房一幢,室內(nèi)面積共計180 m2,擬分割成兩類房間作為旅游客房.大房間每間面積為18 m2,可住游客5名,每名旅客每天住宿費40 元;小房間每間面積為15 m2,可以住游客3名,每名游客每天住宿費為50元;裝修大房間每間需要1 000元,裝修小房間每間需600元.如果此人只能籌8 000元用于裝修,且游客能住滿客房,他應隔出大房間和小房間各多少間,能獲最大利益?【解析】設隔出大房間x間,小房間y間,則即目標函數(shù)為z=540x+3050y,作出約束條件可行域,根據(jù)目標函數(shù)z=200x+150y,作出一組平行線200x+150y=t,當此線經(jīng)過直線18x+15y=180和直線1 000x+600y=8 000的交點C時,