高考數(shù)學難點突破導數(shù)的運算法則及基本公式應用

1、高考數(shù)學難點突破導數(shù)的運算法則及基本公式應用導數(shù)是中學限選內(nèi)容中較為重要的知識，本節(jié)內(nèi)容主要是在導數(shù)的定義，常用求等公式.四則運算求導法則和復合函數(shù)求導法則等問題上對考生進行訓練與指導.難點磁場( )已知曲線C：y=x3 3x2+2 x,直線 l:y=kx,且 l 與 C 切于點 (x0,y0)(x0 0)，求直線 l 的方程及切點坐標 . 案例探究例 1求函數(shù)的導數(shù)：(1) y1 x( 2) y ( ax b sin2 x)3( 3) y f (x 21)(1 x 2 ) cos x命題意圖： 本題 3 個小題分別考查了導數(shù)的四則運算法則，復合函數(shù)求導的方法，以及抽象函數(shù)求導的思想方法.這是

2、導數(shù)中比較典型的求導類型，屬于級題目.知識依托： 解答本題的閃光點是要分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)和特征，挖掘量的隱含條件，將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導數(shù) .錯解分析： 本題難點在求導過程中符號判斷不清，復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分解為基本函數(shù)出差錯.技巧與方法：先分析函數(shù)式結(jié)構(gòu)，找準復合函數(shù)的式子特征，按照求導法則進行求導.(1)解 : y(1 x) (1x2 ) cos x(1x)( 1x 2 ) cos x(1 x 2 )2cos2 x(1x2 ) cosx(1x )(1 x 2 ) cos x(1x2 )(cos x) (1x 2 ) 2 cos2 x(1x2 ) cosx (1x )2x cos x(1x 2 )

3、 sin x(1x2 ) 2 cos2 x( x 22x 1) cosx(1x)(1x 2 )sin x(1x 2 )2 cos2 x(2)解： y= 3, =ax bsin2x, =av byv=x,y=sin= xy =( 3) =3 2 =3 2(av by)22=3 (av by )=3 (av by )22=3(ax bsin x) (ab sin2 x)(3)解法一：設(shè) y=f( ),=v ,v=x2+1,則11y x=y vv x=f2 2x( )v2=f (x 21)11 2x2x 21=xf ( x21),x 21解法二： y = f(x 21 ) =f (x21 )( x2

4、1 )1201 ) 1 (x2+1)1=f (x 22 (x2+1)211=f (x222 2x1 ) (x +1)2=x1f (x21 )x 2例 2利用導數(shù)求和2n1*(1)Sn =1+2x+3x +nx (x 0,n N )(2)Sn =C 1n +2C n2 +3C n3 + +nC nn ,(n N* )命題意圖：培養(yǎng)考生的思維的靈活性以及在建立知識體系中知識點靈活融合的能力.屬級題目 .知識依托：通過對數(shù)列的通項進行聯(lián)想，合理運用逆向思維nn 1.由求導公式 (x) =nx ,可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù).關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項的形式結(jié)構(gòu) .錯解分析：本題難點是考生易犯思維定勢的錯

5、誤，受此影響而不善于聯(lián)想.技巧與方法：第(1)題要分 x=1 和 x 1 討論，等式兩邊都求導 .解： (1)當 x=1 時Sn=1+2+3+ +n= 1 n(n+1);2當 x 1 時，23nx xn 1, x+x+x + +x =1 x兩邊都是關(guān)于 x 的函數(shù)，求導得2 3nxxn1(x+x +x + +x )=(1x)即 Sn=1+2x+3x2+ +nxn 1=1 ( n 1) xnnxn 1(1 x) 2(2) (1+ x) n=1+C 1n x+C 2n x2+C nn xn,兩邊都是關(guān)于x 的可導函數(shù)，求導得n(1+ x)n 1=C 1n +2C 2n x+3C 3n x2+nC

6、nn xn 1,令 x=1 得， n 2n 1=C 1n +2C 2n +3C 3n + +nC nn ,即 Sn=C 1n +2C 2n + +nC nn =n 2n 1錦囊妙計1.深刻理解導數(shù)的概念，了解用定義求簡單的導數(shù).y 表示函數(shù)的平均改變量，它是x 的函數(shù)，而f (x0) 表示一個數(shù)值，即f x121(x)= limy，知道導數(shù)的等價形式：f ( x0x)f ( x0 )limf ( x)f ( x0 )xlimxxf ( x0 ) .x 0x 0x x0x02.求導其本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導數(shù)的定義，這是順利求導的關(guān)鍵.3

7、.對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法則的應用， 而且要特別注意求導法則對求導的制約作用， 在實施化簡時， 首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤 .4.復合函數(shù)求導法則，像鏈條一樣， 必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的一環(huán).必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復合而成的，分清其間的復合關(guān)系.殲滅難點訓練一、選擇題1.( ) y=esinxcos(sinx)，則 y(0) 等于 ()A.0B.1C. 1D.22.( )經(jīng)過原點且與曲線y=x9 相切的方程是 ()x5A. x+y=0 或 x+y=0B. xy=0 或 x+y=0252

8、5C.x+y=0 或 x y=0D. x y=0 或 xy=02525二、填空題f ( x0k ) f ( x0 )3.( )若 f (x0)=2, lim2k=_.k04.( )設(shè) f(x)=x(x+1)( x+2) (x+n),則 f (0)=_.三、解答題5.( )已知曲線 C1:y=x2 與 C2:y= (x 2)2,直線 l 與 C1、 C2 都相切，求直線l 的方程.6.( )求函數(shù)的導數(shù)(1)y=( x2 2x+3) e2x;x.(2)y= 31x7.( )有一個長度為5m 的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3 m/s1.4 m 時，梯子上端下滑的速度 .2 2x+32

9、22 n1*).8.( )求和 Sn=1 +2x + +n x,(x 0,nN參考答案難點磁場解：由 l 過原點，知k= y0 (x0 0),點 (x0,y0)在曲線 C 上， y0=x03 3x02 +2x0 ,x0 y0 =x02 3x0+2x 0122y =3x2 6x+2,k=3x02 6x0+2又 k= y0 , 3x02 6x0+2= x02 3x0+2 x02x02 3x0=0, x0=0 或 x0= 323由 x 0,知 x0=2 y0=( 3 )3 3( 3 )2+2 3 = 32228 k= y0 = 1x04 l 方程 y= 1 x 切點 ( 3 ， 3 )428殲滅難點

10、訓練一、 1.解析： y=esinx cosxcos(sinx) cosxsin(sinx) ,y (0)= e0(1 0)=1答案： By0x9) = ( x42.解析：設(shè)切點為 ( x0,y0),則切線的斜率為k=x0 ,另一方面， y=(x55) 2,故y (x0)=k,即4y0x09或2得(1)= (2)=15,對應有(x05) 2x0x0 ( x05)x0 +18x0+45=0x03,y0y0(1)=3,y0(2)=1593,因此得兩個切點A( 3，3)或 B( 15,3),從而得 y (A)=4=15555( 35) 341,由于切線過原點，故得切線：x1 及 y (B)=225l

11、 A:y= x 或 l B:y=.(15 5)25答案： A二、 3.解析：根據(jù)導數(shù)的定義：f ( x0k )f (x0 )lim2klim k 0k 01 f ( x0 k) f (x0 )lim2 k0k答案： 1f ( x0( k ) f ( x0 )k )f (x0)= lim(這時 xk0k1f ( x0k )f ( x0 ) 2k1 f (x0 )124. 解 析 ： 設(shè)g(x)=( x+1)( x+2)(x+n), 則f(x)=xg(x), 于 是f (x)=g(x)+xg ( x),f (0)= g(0)+0 g (0)= g(0)=1 2 n=n！答案： n!三、 5.解：設(shè)

12、 l 與 C1 相切于點 P(x1,x12),與 C2 相切于 Q( x2, (x2 2)2)對于 C1： y =2x,則與 C1 相切于點 P 的切線方程為22y x1 =2 x1(xx1 ),即 y=2x1x x1123對于 C2： y = 2(x2),與 C2相切于點 Q 的切線方程為2y+(x2 2) = 2(x2 2)(xx2),即 y= 2(x 2)x+x 2 422兩切線重合， 2x1= 2(x2 2)且 x12=x22 4,解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0直線 l 方程為 y=0 或 y=4x 46.解： (1)注意到 y 0,兩端取對數(shù)，得lny=ln( x2

13、 2x+3)+ln e2x=ln( x2 2x+3)+2 x1 y( x 22 x 3)2x2x 222( x2x 2)yx 22x 322 x 3x22x 3y2( x 2x 2) y2( x 2x 2) ( x 22x 3) e2 xx22x3x22 x32( x2x2)e2 x(2)兩端取對數(shù)，得1(ln|x|ln|1 x|),ln|y|=3兩邊解 x 求導，得1y1 ( 111 )1 1x)y3xx3 x(111y1xy3x(1x)3x3 x(1x)17.解：設(shè)經(jīng)時間t 秒梯子上端下滑s 米 ,則 s=5 259t2,當下端移開 1.4 m 時，1 47,又 s = 111t0=(25 9t2)2 ( 9 2t)=9 t,所以 s (t0)=9 3152259t 271=0.875(m/s)15 25 9 (7)2158.解： (1)當 x=1 時， Sn=12