7旋轉(zhuǎn)3對角互補(bǔ)及最值問題2014 2015全解

1、 年中考解決方案 2015 3對角互補(bǔ)及最值問題旋轉(zhuǎn) 學(xué)生姓名： 上課時間： Page 1 of 17 教師版3.旋轉(zhuǎn).幾何模塊突破.初三數(shù)學(xué) 畢業(yè)班解決方案模塊課程 3 旋轉(zhuǎn) 中考說明 內(nèi)容 最小值位置 基本要求 略高要求 較高要求 旋轉(zhuǎn) A 了解圖形的旋轉(zhuǎn)，理解對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；會識別中心對稱圖形 能按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，能依據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形，指出旋轉(zhuǎn)中心和旋 轉(zhuǎn)角C 知旋轉(zhuǎn)的能運(yùn)用識解決簡單問題 ?對角互補(bǔ)旋轉(zhuǎn)模型圖 （全等型90） AAMCCDDOOEBBEN （全等型120） CCAADDBBOOEEF （全等型任

2、意角） ?ADCOBE 中考滿分必做題 Page 2 of 17 教師版3.旋轉(zhuǎn).幾何模塊突破.初三數(shù)學(xué) 畢業(yè)班解決方案模塊課程 ABEFD EFC?就是對角互補(bǔ)模型，此題此類題目有角含半角的旋轉(zhuǎn)圖形轉(zhuǎn)化而來。去掉，五邊形 關(guān)鍵是出現(xiàn)對角互補(bǔ)和連有公共頂點(diǎn)的想等線段，這是解題的關(guān)鍵。AADDFF BGBCCEE 、，、分別是中，【例1】 如圖所示，在四邊形BC90?B?135?ABCDNAB?BC?A?C?ABK 2倍，求的度數(shù)的上的點(diǎn)，若的周長為KDN?BKNABCNBKDA ，求此五邊形的如圖所示，在五邊形中，【例2】 1?BC?DEE?90?AB?CDAEABCDE?B 面積CBDAE

3、求該五邊中，【鞏固】如圖，已知五邊形2?DE?AE?BC?ABCDEABC?AED90?AB?CD 形的面積 CBDEA Page 3 of 17 教師版3.旋轉(zhuǎn).幾何模塊突破.初三數(shù)學(xué) 畢業(yè)班解決方案模塊課程 求證：，連接3】 五邊形中，已知，【例?180ABCDE?AEDBC?DE?CDABC?ADADAEAB? 平分CDE?AEBDC 都是直和，其中 四邊形被對角線分為等腰直角三角形和直角三角形【例4】C?ABCDCBDA?BDABD 的面積的長度為，求四邊形角，另一條對角線ABCDAC2ABDC 重上有一點(diǎn)，將一個三角板的直角頂點(diǎn)與 如圖，已知，在的平分線【例5】C?AOB?90OM?

4、AOBC? )相交于點(diǎn)、或它們的反向延長線合，它的兩條直角邊分別與、(OAEDOB 與垂直時，如圖，易證：當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到OACCDOC2OD?OE?上述結(jié)論是否還成立？圖這兩種情況下，不垂直時，在圖、當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與OACDC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜、若成立，請給予證明；若不成立，線段OCOEOD 想，不需證明（和第二問講義的某題一樣） AMCAA EMMBCCDOPDDOQEBBEO（3）（2（）1 Page 4 of 17 教師版3.旋轉(zhuǎn).幾何模塊突破.初三數(shù)學(xué) 畢業(yè)班解決方案模塊課程 平分【例6】 已知，MAN?MANAC ；，1）在圖1中，若，求證：（90?ADC?

5、120?ABC?AC?AB?AD?MAN ，則中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，2）在圖2中，若（180?120ADC?ABCMAN? ; 請給出證明;若不成立，請說明理由 3）在圖3中：（ ，則= _若，180?ABC?ADC?MAN?60?ADAB?AC ?的三= 若，則_（用含?180?ABC?ADCADAB?AC?MAN)?180(0 角函數(shù)表示），并給出證明MMMCCCDDDANBABANBN Page 5 of 17 教師版3.旋轉(zhuǎn).幾何模塊突破.初三數(shù)學(xué) 畢業(yè)班解決方案模塊課程 逆時交射線于點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)】 已知， 點(diǎn)是的平分線上的一動點(diǎn)，射線【例7OMPAPPAPAMON? 于點(diǎn)，

6、且使針旋轉(zhuǎn)交射線180?APB?MONBON =PB；1）利用圖1，求證：PA（ PC的比值；是與的交點(diǎn)，當(dāng)時，求PB與（2）如圖1，若點(diǎn)S?3SOPABCPCB?POB補(bǔ)全3，射線交于點(diǎn)，且滿足且，請借助圖OB（3）若MON=60，=2ABOPBD?DAPON 的長圖形，并求OPMMMATTTPPAPCACNONOBBONB 3 圖 圖2 圖1 Page 6 of 17 教師版3.旋轉(zhuǎn).幾何模塊突破.初三數(shù)學(xué) 畢業(yè)班解決方案模塊課程 最值問題 旋轉(zhuǎn)過程中的，會出現(xiàn)的最大值與最小值，如圖共用頂點(diǎn)，固定將繞點(diǎn)與OBOAOBOAABOOB最大值位置 OA 8CACB?b?ABC?BC?aCA、為何

7、值時，【例】 如圖所示，是等邊三角形，在，中，問：當(dāng)ABD? 兩點(diǎn)的距離最大？最大值是多少？DC BAD 、 兩點(diǎn)落在直線，以為一邊作正方形，使的兩側(cè)【例9】 ，已知：ABCDABABPD2PA?4PB? 的長；如圖，當(dāng)時，求及?APB?45PDAB 的最大值及相應(yīng)的大小變化，且其它條件不變時，求當(dāng)APB?APBPD? 09西城一模）（DCAPB Page 7 of 17 教師版3.旋轉(zhuǎn).幾何模塊突破.初三數(shù)學(xué) 畢業(yè)班解決方案模塊課程 ABC10CD4BDAD?2?的兩側(cè)，以為一邊作等邊三角形【例、】 已知：使兩點(diǎn)落在直線，ABAB 1ADB=60CD的長；時，求（及）如圖，當(dāng)AB 2ADBC

8、D的大?。┊?dāng)?shù)淖畲笾担跋鄳?yīng)（變化，且其它條件不變時，求ADB? 13年通州一模）（CABD 、點(diǎn), 連接、，【例11】 已知：中，中，ADMBC?OC?3DCO?AOB?AB?OB2?CODABOCDP 、分別為、的中點(diǎn)OANBCODBABAMMONOPPDNCDC 2 圖 圖1 (1) 如圖1，若、且，則、三點(diǎn)在同一直線上，的形狀是_，60ABO?NM?PACO AD 此時；_ BCAD? ，并計算、三點(diǎn)在同一直線上，且，證明(2) 如圖2，若2?ABOABAO?O?CPMN BC? 的值（用含；的式子表示） 旋轉(zhuǎn)，直接寫出的最大值繞點(diǎn)，將在圖(3) 2中，固定PMOAO?BCOD? Pa

9、ge 8 of 17 教師版3.旋轉(zhuǎn).幾何模塊突破.初三數(shù)學(xué) 畢業(yè)班解決方案模塊課程 ?ABC?BAC?90?DEFGBCD，是等腰直角三角形，是1，已知,點(diǎn)的中點(diǎn)作正方形【例12】 如圖CDGBGAEDEA和使點(diǎn)，、上，連接分別在 BGAE的數(shù)量關(guān)系是_）試猜想線段；和 （1?DEFG?360?)(0D， 繞點(diǎn) （2）將正方形逆時針方向旋轉(zhuǎn) 判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結(jié)論； BC?DE?4AEAF的值取最大值時，求，當(dāng) 若 2014年燕山一模） （ ABCBC?6?ACB?30?ABCBAB?413按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，將，中，繞點(diǎn)【例 】在 ABC 11 ?CCA

10、CCA 11的度數(shù)；，當(dāng)點(diǎn)（的延長線上時，求）如圖在線段111CCCBCABAAA3 22的面積；）如圖，連接的面積為，求若（1111 ACABCBPABE33按逆時針方向是線段（）如圖繞點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，在中點(diǎn)，點(diǎn) EPPP ，直接寫出線段旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)長度的最大值與最小值的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)11Page 9 of 17 教師版3.旋轉(zhuǎn).幾何模塊突破.初三數(shù)學(xué) 畢業(yè)班解決方案模塊課程 C1APC1A CA11AA1E1PCBCBCB31圖2圖圖A1 ) 年昌平一模 (2013Page 10 of 17 教師版3.旋轉(zhuǎn).幾何模塊突破.初三數(shù)學(xué) 畢業(yè)班解決方案模塊課程 費(fèi)馬點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)與最短路程問

11、題主要是利用旋轉(zhuǎn)的性?考點(diǎn)說明：到三個定理的三條線段之和最小，夾角都為120 質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題，同時與旋轉(zhuǎn)有關(guān)路程最短的問題，比較重要的就是費(fèi)馬點(diǎn)問題 世紀(jì)的法國律師，也是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家之所以稱業(yè)余，Pierre de Fermat）是一個17皮耶德費(fèi)馬（”“瑪他的姓氏根據(jù)法文與英文實(shí)際發(fā)音也常譯為“費(fèi)爾瑪”（注意是由于皮耶德費(fèi)馬具有律師的全職工作這的意思是：其它猜想都證實(shí)了，費(fèi)馬最后定理在中國習(xí)慣稱為費(fèi)馬大定理，西方數(shù)學(xué)界原名“最后”字）”費(fèi)馬為20世紀(jì)初所撰寫的著作中，稱皮耶德 是最后一個著名的數(shù)學(xué)史學(xué)家貝爾（E TBell）在費(fèi)德德費(fèi)馬同時代的大多數(shù)專業(yè)數(shù)學(xué)家更有成就，然而

12、皮耶業(yè)余數(shù)學(xué)家之王“貝爾深信，費(fèi)馬比皮耶世紀(jì)是杰出數(shù)學(xué)家活躍的世紀(jì)，因馬并未在其他方面另有成就，本人也漸漸退出人們的視野，考慮到17 17世紀(jì)數(shù)學(xué)家中最多產(chǎn)的明星而貝爾認(rèn)為費(fèi)馬是托里拆利費(fèi)馬在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家埃萬杰利斯塔費(fèi)馬點(diǎn)問題最早是由法國數(shù)學(xué)家皮埃爾德世紀(jì)的數(shù)學(xué)家斯坦納重新發(fā)現(xiàn)19（氣壓計的發(fā)明者）的信中提出的托里拆利最早解決了這個問題，而了這個問題，并系統(tǒng)地進(jìn)行了推廣，因此這個點(diǎn)也稱為托里拆利點(diǎn)或斯坦納點(diǎn)，相關(guān)的問題也被稱作費(fèi)馬斯坦納問題這一問題的解決極大推動了聯(lián)合數(shù)學(xué)的發(fā)展，在近代數(shù)學(xué)史上具有里程碑式的意-托里拆利 義 結(jié)論： P為費(fèi)馬點(diǎn)時，距離之和最小ABC三頂點(diǎn)的之和為，當(dāng)點(diǎn)（

13、1）平面內(nèi)一點(diǎn)到PPCPB?PA? 特殊三角形中：, 為邊，向三角形外側(cè)做正三角形,三內(nèi)角皆小于120的三角形，分別以,(2)BCAACBABCCAABBC111 就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)則三線交于一點(diǎn),則點(diǎn),然后連接,PPBBAACC111 則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)120度,(3)若三角形有一內(nèi)角大于或等于ABC? 此時內(nèi)心與費(fèi)馬點(diǎn)重合為等邊三角形時(4)當(dāng),ABC?最?。窟@就是所謂的費(fèi)爾使它到三個頂點(diǎn)的距離之和下面簡單說明如何找點(diǎn)PPC?PBPA?馬問題 CAPPBC 1 圖 Page 11 of 17 教師版3.旋轉(zhuǎn).幾何模塊突破.初三數(shù)學(xué) 畢業(yè)班解決方案模塊課程 ， PPAPP為等邊三角

14、形，AP=則得到APC，連接PP，把解析：如圖1繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60APC? PB+ PCPC=PC，所以= PP+PCPA?PB?四點(diǎn)C 、P、而得的定點(diǎn)，BC為定長 ，所以當(dāng)B、P點(diǎn)C可看成是線段AC繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60 在同一直線上時，最小PCPA?PB? ，APP=180-60=120這時BPA=180- ，P=180-60=120C=180-AP=APCA P =120=360-120-120-BPA-APCBPC=360ABC?、AB對三角形每邊的張角都是120，可在的每一個內(nèi)角都小于120時，所求的點(diǎn)P 因此，當(dāng)時，P點(diǎn)；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120邊上分別作BC120的弓形弧，兩

15、弧在三角形內(nèi)的交點(diǎn)就是 所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)費(fèi)爾馬問題告訴我們，存在這么一個點(diǎn)到三個定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變 換 【例14】閱讀下列材料，若對于任意的，若三角形內(nèi)或三角形上有一點(diǎn)有最小值，則取到最小值?PBPCAP?ABCP 時，點(diǎn)為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)P 若三角形內(nèi)有一個內(nèi)角大于或等于，這個內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)?120 時，點(diǎn)既為費(fèi)馬點(diǎn)若三角形內(nèi)角均小于，則滿足條件?120APC?120?APB?BPC?P 解決問題：，、中，三個內(nèi)角均小于，分別以、為邊向外作等邊(1)如圖，ACE120?AC?ABC?ABD?AB ，連接、交于點(diǎn)CDPBE 即證明)且的費(fèi)馬點(diǎn)證明：點(diǎn)為

16、(CD?PA?PB?APB?BPC?APC?120?ABC?PCP 為三角形內(nèi)部異于點(diǎn)的一點(diǎn)，證明：(2)如圖，點(diǎn)PCPA?PB?QA?QC?QB?QP ，直接寫出的最小值，(3)若PCPA?PB?ABC30?AB?3BC?4DDAAEEPPQCCBB Page 12 of 17 教師版3.旋轉(zhuǎn).幾何模塊突破.初三數(shù)學(xué) 畢業(yè)班解決方案模塊課程 的費(fèi)馬點(diǎn)叫做ABC則點(diǎn)CPA=120, P若點(diǎn)【鞏固】P 為ABC所在平面上一點(diǎn)，且APB=BPC= ；PB的值為_=3，PC=4, 則的費(fèi)馬點(diǎn)，且 若P為銳角ABCABC=60，PA1（），PABC的費(fèi)馬點(diǎn)求證：BB 過，在銳角ABC的外側(cè)作等邊ACB

17、，連結(jié)BB（2）如圖8 +PCPA+PB且BB= 圖8 內(nèi)部一點(diǎn)，中，為四邊形【鞏固】如圖所示，在四邊形，,PABCD?APD?120ABCDBCAB?ABC60? 證明：BD?PCPA?PD?APDBC Page 13 of 17 教師版3.旋轉(zhuǎn).幾何模塊突破.初三數(shù)學(xué) 畢業(yè)班解決方案模塊課程 ABC =5ACB=30oBC=6AC1, 15ABC，在，【例 】小華遇到這樣一個問題，如圖中， +PCPBPCPA+PBPPA的最小值、內(nèi)部有一點(diǎn)，求，連接小華是這樣思考的：要解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后”“，就可兩點(diǎn)之間，線段最短再將它們連接成一條折線，并讓折

18、線的兩個端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)以求出這三條線段和的最小值了他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解BEPDC60oEDC2APC，順時針旋轉(zhuǎn)、，繞點(diǎn)得到，決這個問題他的做法是，如圖連接，將 BE的長即為所求則 PB+PC_12PA+；）請你寫出圖中，的最小值為（ 2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：（3=60oABCDP3ABCDABC中畫出并指明長，在菱形內(nèi)部有一點(diǎn)如圖，菱形，請在圖中，ABCDPA+PB+PC的邊度等于若最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）；中菱形 PBPA+PB+PC4的長長為值最小時，請直接寫出當(dāng)E AD DAA P PBCBCCB 3 1 圖圖2 圖 Page 14 of 17 教師版3.旋轉(zhuǎn).幾何模塊突破.初三數(shù)學(xué) 畢業(yè)班解決方案模塊課程 、16 (1)1C?CDE?ABC 如圖【例，都是等邊三角形，且和三點(diǎn)共線，聯(lián)結(jié)】ADBBED 相交于點(diǎn)，求證：PAD?BE、22B?CD?BCD?BCCDABC，在和為邊在，分別以中，（、外部作等邊）如圖BD120?BCD 、