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1、2.12.1函數(shù)的概念及其表示函數(shù)的概念及其表示第二章第二章 2022 內(nèi) 容 索 引 必備知識必備知識 預案自診預案自診 關鍵能力關鍵能力 學案突破學案突破 素養(yǎng)提升微專題素養(yǎng)提升微專題2 2 抽象函數(shù)的定義域的類型及求法抽象函數(shù)的定義域的類型及求法 必備知識必備知識 預案自診預案自診 【知識梳理知識梳理】 1.函數(shù)及其相關的概念 一般地,給定兩個A與B,以及對應關系f,如果對于集合A 中的,在集合B中實數(shù)y與x對應, 則稱f為定義在集合A上的一個函數(shù),記作y=f(x),xA,其中x稱為自變量,y稱 為因變量,(即數(shù)集)稱為這個函數(shù)的定義 域,所有組成的集合yB|y=f(x),xA稱為函數(shù)的
2、值域. 2.同一個函數(shù) 如果兩個函數(shù)表達式表示的函數(shù)相同,也 相同,則稱這兩個函數(shù)表達式表示的就是同一個函數(shù). 非空實數(shù)集 每一個實數(shù)x都有唯一確定的 自變量取值的范圍A 函數(shù)值 定義域對應關系 3.函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和描點作圖法. 4.分段函數(shù) (1)定義:如果一個函數(shù),在其定義域內(nèi),對于,有 不同的對應方式,則稱其為分段函數(shù). (2)分段函數(shù)的相關結論 分段函數(shù)雖然由幾個部分組成,但是它表示的是一個函數(shù). 分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,值域等于各段函數(shù)的 值域的并集. 自變量的不同取值區(qū)間 常用結論 1.判斷兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的依據(jù)是兩個函數(shù)
3、的定義域和對應關系完 全一致. 2.與x軸垂直的直線和一個函數(shù)的圖像至多有1個交點. 常用結論 3.函數(shù)定義域的求法 【考點自診考點自診】 1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)如果函數(shù)y=f(x)是用圖像給出,則圖像在x軸上的投影所覆蓋的x的集合 即為定義域.() (2)函數(shù)y=f(x)的圖像與直線x=1有兩個交點.() (3)兩函數(shù)值域與對應關系相同時,兩函數(shù)不一定是同一個函數(shù).() (4)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的.() 2.(2020北京,11)函數(shù)f(x)= +ln x的定義域是_. 答案 (0,+) 3.已知f,g都是從A到A的映射(其中A=1,2,3
4、),其對應關系如下表: 則f(g(3)等于() A.1B.2 C.3D.不存在 x123 f312 g321 答案 C 解析 由題中表格知g(3)=1, 故f(g(3)=f(1)=3. 答案 A 5.已知函數(shù)f(2x+1)的定義域為(-2,0),則f(x)的定義域為() A.(-2,0)B.(-4,0) 答案 C 解析 f(2x+1)的定義域為(-2,0),則-2x0,-32x+11,即f(x)的定義域 為(-3,1),故選C. 關鍵能力關鍵能力 學案突破學案突破 考點考點1 1函數(shù)及其有關的概念函數(shù)及其有關的概念 【例1】 以下給出的同組函數(shù)中,表示同一個函數(shù)的有. xx11x0時,每一個
5、x的值對應兩個不同的y值,因此不是函數(shù)圖像,C,D中,每一個x的值對應唯 一的y值,因此是函數(shù)圖像. (3)A,C,D中兩個函數(shù)的定義域均不同,不是同一個函數(shù);B中兩個函數(shù)的定 義域相同,化簡后為y=|x|及y=|t|,對應關系也相同,是同一個函數(shù).故選B. 考點考點2 2求函數(shù)的定義域、值域求函數(shù)的定義域、值域 【例2】 (1)(2020福建廈門期末,理3)函數(shù)f(x)=log2(1-x)+ 的定義域 為() A.(-,1)B.-1,1) C.(-1,1D.-1,+) (2)下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lg x的定義域和值域相同的 是() A.y=xB.y=lg x C.y=
6、2xD.y= (3)(2020重慶模擬,理13)已知函數(shù)f(x)=ln(-x-x2),則函數(shù)f(2x+1)的定義域為 . 思考已知函數(shù)解析式,如何求函數(shù)的定義域? 解題心得1.函數(shù)的定義域是使解析式中各個部分都有意義的自變量的取 值集合,求解時,把自變量的限制條件列成一個不等式(組),不等式(組)的解 集就是函數(shù)的定義域,解集要用集合或者區(qū)間表示. 2.由實際問題求得的函數(shù)定義域,除了要使函數(shù)解析式有意義外,還要使實 際問題有意義. 對點訓練2(1)(2020湖南湘潭三模,文14)函數(shù)f(x)= +ln(ex-1)的定義 域為. (2)若函數(shù)y=f(x+1)的值域為-1,1,則函數(shù)y=f(3x
7、+2)的值域為() A.-1,1B.-1,0 C.0,1 D.2,8 (2)函數(shù)y=f(x+1)的值域為-1,1,由于函數(shù)中的自變量取定義域內(nèi)的任意數(shù) 時,函數(shù)的值域都為-1,1,故函數(shù)y=f(3x+2)的值域為-1,1.故選A. 考點考點3 3求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式 思考求函數(shù)解析式有哪些基本的方法? 解題心得 函數(shù)解析式的求法 (1)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),可用待定系數(shù) 法; (2)換元法:已知復合函數(shù)f(g(x)的解析式,可用換元法,此時要注意新元的取 值范圍; (3)方程法:已知關于f(x)與f 或f(-x)的表達式,可根據(jù)已知條件再構造出 另外一個
8、等式,與其組成方程組,通過解方程組求出f(x). 提醒:由于函數(shù)的解析式相同,定義域不同,則為不同的函數(shù),因此求函數(shù)的 解析式時,如果定義域不是R,一定要注明函數(shù)的定義域. 考點考點4 4分段函數(shù)分段函數(shù)(多考向多考向) 考向1分段函數(shù)求值 考向2求參數(shù)的值(范圍) 答案 C 考向3求自變量的值(范圍) 答案 C 解析 當x0時,x+11,則不等式f(x)f(x+1),即x2-1(x+1)2-1,求得- x0. 當01,則不等式f(x)f(x+1), 此時f(x)=x2-10f(x+1)=log2(x+1),則01時,不等式f(x)f(x+1),即log2x1. 綜上可得,不等式的解集為(-
9、,+),故選C. 解題心得分段函數(shù)問題的求解策略 (1)分段函數(shù)的求值問題,應首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間,然后選定 相應的解析式代入求解. (2)對求含有參數(shù)的自變量的函數(shù)值,如果不能確定自變量的范圍,應分類 討論. (3)解由分段函數(shù)構成的不等式,一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進行 分類討論. 考點考點4 4函數(shù)在實際生活中的應用函數(shù)在實際生活中的應用 【例7】 某地區(qū)上年度電價為0.80元/kWh,年用電量為a kWh.本年度計 劃將電價降到0.55元/kWh至0.75元/kWh之間,而用戶期望電價為 0.40元/kWh. 經(jīng)測算,下調(diào)電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成
10、反比 (比例系數(shù)為k).該地區(qū)電力的成本價為0.30元/kWh. (1)寫出本年度電價下調(diào)后,電力部門的收益y與實際電價x的函數(shù)關系式; (2)設k=0.2a,當電價最低定為多少時,仍可保證電力部門的收益比上年至少 增長20%? 解題心得利用函數(shù)的有關知識解決數(shù)學應用問題,關鍵是建立函數(shù)關系式, 為此,要從題目的文字表述中尋找等量關系. 對點訓練5(2020北京,15)為滿足人民對美好生活的向往,環(huán)保部門要求相 關企業(yè)加強污水治理,排放未達標的企業(yè)要限期整改,設企業(yè)的污水排放量 W與時間t的關系為W=f(t),用 的大小評價在a,b這段時間內(nèi)企業(yè) 污水治理能力的強弱,已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)
11、的污水排放量與時間的 關系如下圖所示. 給出下列四個結論: 在t1,t2這段時間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強; 在t2時刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強; 在t3時刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標; 在0,t1,t1,t2,t2,t3這三段時間中,甲企業(yè)在0,t1的污水治理能力最強. 其中所有正確結論的序號是. 答案 解析 表示區(qū)間端點連線斜率的相反數(shù),在t1,t2這段時間內(nèi),甲的斜 率比乙的小,所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大,因此甲企業(yè)的污水治理能力 比乙企業(yè)強,故正確;在0,t1,t1,t2,t2,t3這三段時間中,甲企業(yè)在t1,t2這 段時間內(nèi),斜率最小,其相反數(shù)最大,即在t1,
12、t2的污水治理能力最強,故錯 誤;在t2時刻,甲切線的斜率比乙的小,所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大, 甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強,故正確;在t3時刻,甲、乙兩企業(yè)的污 水排放量都在污水達標排放量以下,所以都已達標,故正確. 素養(yǎng)提升微專題素養(yǎng)提升微專題2 2 抽象抽象函數(shù)的定義域的類型及求函數(shù)的定義域的類型及求法法 抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體解析式的函數(shù),其有關問題對同學們來說 具有一定難度,特別是求其定義域時,許多同學解答起來總感覺棘手,下面 結合實例具體探究一下抽象函數(shù)定義域問題的幾種題型及求法. 類型一已知f(x)的定義域,求fg(x)的定義域 其解法是:若f(x)的定義域為a,
13、b,則在fg(x)中,令ag(x)b,從中解得x的取值范 圍即為fg(x)的定義域. 【例1】 已知函數(shù)f(x)的定義域為-1,5,求f(3x-5)的定義域. 【解題指導】該函數(shù)是由u=3x-5和f(u)構成的復合函數(shù),其中x是自變量,u是中間 變量,由于f(x)與f(u)是同一個函數(shù),因此這里是已知-1u5,即-13x-55,求x 的取值范圍. 解f(x)的定義域為-1,5, 類型二已知fg(x)的定義域,求f(x)的定義域 其解法是:若fg(x)的定義域為mxn,則由mxn確定的g(x)的范圍即 為f(x)的定義域. 【例2】 已知函數(shù)f(x2-2x+2)的定義域為0,3,求函數(shù)f(x)的
14、定義域. 【解題指導】令u=x2-2x+2,則f(x2-2x+2)=f(u), 由于f(u)與f(x)是同一函數(shù),因此u的取值范圍即為f(x)的定義域. 解由0 x3,得1x2-2x+25. 令u=x2-2x+2,則f(x2-2x+2)=f(u),1u5. 故f(x)的定義域為1,5. 類型三已知fg(x)的定義域,求fh(x)的定義域 其解法是:先由fg(x)的定義域求得f(x)的定義域,再由f(x)的定義域求f h(x) 的定義域. 【例3】 函數(shù)y=f(x+1)的定義域是-2,3,則y=f(2x-1)的定義域是() A.0, B.-1,4 C.-5,5D.-3,7 答案 A 解析 因為f(x+1)的定義域是-2,3,即-2x3,所以-1x+14
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