高考數(shù)學(xué)必備—高考數(shù)學(xué)100個熱點問題—第11煉 函數(shù)零點的性質(zhì)問題

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家第10煉 函數(shù)零點的個數(shù)問題一、知識點講解與分析：1、零點的定義：一般地，對于函數(shù) ，我們把方程 的實數(shù)根 稱為函數(shù) 的零點2、函數(shù)零點存在性定理：設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，且 ，那么在開區(qū)間 內(nèi)至少有函數(shù) 的一個零點，即至少有一點 ，使得 。（1） 在 上連續(xù)是使用零點存在性定理判定零點的前提（2）零點存在性定理中的幾個“不一定”（假設(shè) 連續(xù)） 若 ，則 的零點不一定只有一個，可以有多個 若 ，那么 在 不一定有零點 若 在 有零點，則 不一定必須異號3、若 在 上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則 在 的零點唯一4、函數(shù)的零點，方程

2、的根，兩圖像交點之間的聯(lián)系 設(shè)函數(shù)為 ，則 的零點即為滿足方程 的根，若 ,則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?，即方程的根在坐標系中為 交點的橫坐標，其范圍和個數(shù)可從圖像中得到。 由此看來，函數(shù)的零點，方程的根，兩圖像的交點這三者各有特點，且能相互轉(zhuǎn)化，在解決有關(guān)根的問題以及已知根的個數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化。（詳見方法技巧）二、方法與技巧：1、零點存在性定理的應(yīng)用：若一個方程有解但無法直接求出時，可考慮將方程一邊構(gòu)造為一個函數(shù)，從而利用零點存在性定理將零點確定在一個較小的范圍內(nèi)。例如：對于方程 ，無法直接求出根，構(gòu)造函數(shù) ，由 即可判定其零點必在 中2、函數(shù)的零點，方程的根，兩函數(shù)的交點在

3、零點問題中的作用（1）函數(shù)的零點：工具：零點存在性定理作用：通過代入特殊值精確計算，將零點圈定在一個較小的范圍內(nèi)。缺點：方法單一，只能判定零點存在而無法判斷個數(shù)，且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關(guān)（2）方程的根：工具：方程的等價變形作用：當所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖像時，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，從而利用等式的性質(zhì)可對方程進行變形，構(gòu)造出便于分析的函數(shù)缺點：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉(zhuǎn)化后的方程無法用傳統(tǒng)方法求出根，也無法判斷根的個數(shù)（3）兩函數(shù)的交點：工具：數(shù)形結(jié)合作用：前兩個主要是代數(shù)運算與變形，而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點，是將抽象的代數(shù)運算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。通過圖像可清楚的數(shù)出

4、交點的個數(shù)（即零點，根的個數(shù)）或者確定參數(shù)的取值范圍。缺點：數(shù)形結(jié)合能否解題，一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)（故當方程含參時，通常進行參變分離，其目的在于若含 的函數(shù)可作出圖像，那么因為另外一個只含參數(shù)的圖像為直線，所以便于觀察），另一方面取決于作圖的精確度，所以會涉及到一個構(gòu)造函數(shù)的技巧，以及作圖時速度與精度的平衡（作圖問題詳見：1.7 函數(shù)的圖像）3、在高中階段主要考察三個方面：（1）零點所在區(qū)間零點存在性定理，（2）二次方程根分布問題，（3）數(shù)形結(jié)合解決根的個數(shù)問題或求參數(shù)的值。其中第（3）個類型常要用到函數(shù)零點，方程，與圖像交點的轉(zhuǎn)化，請通過例題體會如何利用方程構(gòu)造出函數(shù)，進而通過圖

5、像解決問題的。三、例題精析：例1：直線 與函數(shù) 的圖象有三個相異的交點，則 的取值范圍為 ()A B C D 思路：考慮數(shù)形結(jié)合，先做出 的圖像， ，令 可解得： 或 ，故 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值為 ，極小值為 ，做出草圖。而 為一條水平線，通過圖像可得， 介于極大值與極小值之間，則有在三個相異交點?？傻茫?答案：A小煉有話說：作圖時可先作常系數(shù)函數(shù)圖象，對于含有參數(shù)的函數(shù)，先分析參數(shù)所扮演的角色，然后數(shù)形結(jié)合，即可求出參數(shù)范圍。例2：設(shè)函數(shù) ，若關(guān)于 的方程 在 上恰有兩個相異實根，則實數(shù) 的取值范圍是_思路：方程等價于： ，即函數(shù) 與 的圖像恰有兩個交點，分析 的單調(diào)性并

6、作出草圖： 令 解得： 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增， ，由圖像可得，水平線 位于 之間時，恰好與 有兩個不同的交點。 答案： 小煉有話說：（1）本題中的方程為 ，在構(gòu)造函數(shù)時，進行了 與 的分離，此法的好處在于一側(cè)函數(shù)圖像為一條曲線，而含參數(shù)的函數(shù)圖像由于不含 所以為一條水平線，便于上下平移，進行數(shù)形結(jié)合。由此可得：若關(guān)于 的函數(shù)易于作出圖像，則優(yōu)先進行參變分離。所以在本題中將方程轉(zhuǎn)變?yōu)?，構(gòu)造函數(shù) 并進行數(shù)形結(jié)合。（2）在作出函數(shù)草圖時要注意邊界值是否能夠取到，數(shù)形結(jié)合時也要注意 能否取到邊界值。例3：已知函數(shù) ，若函數(shù) 有三個零點，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：函

7、數(shù) 有三個零點，等價于方程 有三個不同實數(shù)根，進而等價于 與 圖像有三個不同交點，作出 的圖像，則 的正負會導(dǎo)致 圖像不同，且會影響 的位置，所以按 進行分類討論，然后通過圖像求出 的范圍為 。答案：D小煉有話說：（1）本題體現(xiàn)了三類問題之間的聯(lián)系：即函數(shù)的零點 方程的根 函數(shù)圖象的交點，運用方程可進行等式的變形進而構(gòu)造函數(shù)進行數(shù)形結(jié)合，解決這類問題要選擇合適的函數(shù)，以便于作圖，便于求出參數(shù)的取值范圍為原則。（2）本題所求 在圖像中扮演兩個角色，一方面決定 左側(cè)圖像直線的傾斜角，另一方面決定水平線的位置與 軸的關(guān)系，所以在作圖時要兼顧這兩方面，進行數(shù)形結(jié)合。例4：已知函數(shù) 滿足 ，當 ，若在區(qū)

8、間 內(nèi)，函數(shù) 有三個不同零點，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）A B. C D 思路： ，當 時， ，所以 ，而 有三個不同零點 與 有三個不同交點，如圖所示，可得直線 應(yīng)在圖中兩條虛線之間，所以可解得： 答案：B小煉有話說：本題有以下兩個亮點。（1）如何利用 ，已知 的解析式求 的解析式。（2）參數(shù) 的作用為直線 的斜率，故數(shù)形結(jié)合求出三個交點時 的范圍例5：已知函數(shù) 是定義在 上的偶函數(shù)，當 時， ，則函數(shù) 的零點個數(shù)為（ ）A 4 B6 C8 D10思路：由 為偶函數(shù)可得：只需作出正半軸的圖像，再利用對稱性作另一半圖像即可，當 時，可以利用 利用圖像變換作出圖像， 時， ，即自變量差2個單位，

9、函數(shù)值折半，進而可作出 ， ，的圖像， 的零點個數(shù)即為 根的個數(shù)，即 與 的交點個數(shù)，觀察圖像在 時，有5個交點，根據(jù)對稱性可得 時，也有5個交點。共計10個交點答案：D小煉有話說：（1） 類似函數(shù)的周期性，但有一個倍數(shù)關(guān)系。依然可以考慮利用周期性的思想，在作圖時，以一個“周期”圖像為基礎(chǔ)，其余各部分按照倍數(shù)調(diào)整圖像即可（2）周期性函數(shù)作圖時，若函數(shù)圖像不連續(xù)，則要注意每個周期的邊界值是屬于哪一段周期，在圖像中要準確標出，便于數(shù)形結(jié)合。（3）巧妙利用 的奇偶性，可以簡化解題步驟。例如本題中求交點個數(shù)時，只需分析正半軸的情況，而負半軸可用對稱性解決例6：對于函數(shù) ，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足

10、，稱 為“局部奇函數(shù)”，若 為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 思路：由“局部奇函數(shù)”可得： ，整理可得： ，考慮到 ，從而可將 視為整體，方程轉(zhuǎn)化為： ，利用換元設(shè) （ ），則問題轉(zhuǎn)化為只需讓方程 存在大于等于2的解即可，故分一個解和兩個解來進行分類討論。設(shè) 。（1）若方程有一個解，則有相切（切點 大于等于2）或相交（其中交點在 兩側(cè)），即 或 ，解得： 或 （2）若方程有兩解，則 ，解得： ，綜上所述： 答案：A小煉有話說：本題借用“局部奇函數(shù)”概念，實質(zhì)為方程的根的問題，在化簡時將 視為整體，進而將原方程進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的二次方程，將問

11、題轉(zhuǎn)化為二次方程根分布問題，進行求解。例7：已知函數(shù) 的圖像為 上的一條連續(xù)不斷的曲線，當 時， ，則關(guān)于 的函數(shù) 的零點的個數(shù)為（ ）A0 B1 C2 D0或2思路： ，結(jié)合 的零點個數(shù)即為方程 ，結(jié)合條件中的不等式，可將方程化為 ，可設(shè) ，即只需求出 的零點個數(shù)，當 時， ，即 在 上單調(diào)遞增；同理可得： 在 上單調(diào)遞減， ，故 ，所以不存在零點。答案：A小煉有話說：（1）本題由于 解析式未知，故無法利用圖像解決，所以根據(jù)條件考慮構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與零點存在性定理進行解決。（2）所給不等式 呈現(xiàn)出 輪流求導(dǎo)的特點，猜想可能是符合導(dǎo)數(shù)的乘法法則，變形后可得 ，而 的零點問題可利用方程進行變

12、形，從而與條件中的 相聯(lián)系，從而構(gòu)造出 例8：定義域為 的偶函數(shù) 滿足對 ，有 ，且當 時， ，若函數(shù) 在 上至少有三個零點，則 的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路： 體現(xiàn)的是間隔2個單位的自變量，其函數(shù)值差 ，聯(lián)想到周期性，考慮先求出 的值，由 為偶函數(shù)，可令 ，得 ， 為周期是2的周期函數(shù)。已知條件中函數(shù) 有三個零點，可將零點問題轉(zhuǎn)化為方程 即 至少有三個根，所以 與 有三個交點。先利用 在 的函數(shù)解析式及周期性對稱性作圖，通過圖像可得： 時，不會有3個交點，考慮 的圖像。設(shè) ，則 ，利用圖像變換作圖，通過觀察可得：只需當 時， 的圖像在 上方即可，即 所以 答案：B小煉有話說

13、：本題有以下幾個亮點：（1） 的周期性的判定： 可猜想與 周期性有關(guān)，可帶入特殊值，解出 ，進而判定周期，配合對稱性作圖（2）在選擇出交點的函數(shù)時，若要數(shù)形結(jié)合，則要選擇能夠做出圖像的函數(shù)，例如在本題中， 的圖像可做，且 可通過圖像變換做出例9：已知定義在 上的函數(shù) 滿足 ，當 時， ，其中 ，若方程 恰有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：由 可得 ，即 的周期為 ，所解方程可視為 與 的交點，而 的作用為影響 圖像直線的斜率，也絕對此段的最值（ ），先做出 的圖像，再根據(jù)三個交點的條件作出 的圖像（如圖），可發(fā)現(xiàn)只要在 處， 的圖像高于 圖像且在 處

14、的圖像低于 圖像即可。所以有 ，即 答案：B例10：（2014甘肅天水一中五月考）已知函數(shù) 的圖像上關(guān)于 軸對稱的點至少有3對，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：考慮設(shè)對稱點為 ，其中 ，則問題轉(zhuǎn)化為方程 至少有三個解。即 有三個根，所以問題轉(zhuǎn)化為 與 有三個交點，先做出 的圖像，通過觀察可知若 與其有三個交點，則 ，進一步觀察圖像可得：只要 ，則滿足題意，所以 ，所以 答案：A三、近年模擬題題目精選：1、已知 是以 為周期的偶函數(shù)，當 時， ，那么在區(qū)間 內(nèi)，關(guān)于 的方程 有 個根，則 的取值范圍是( )A 或 B C 或 D 2、（2014吉林九校聯(lián)考二模，16）若直

15、角坐標平面內(nèi)A,B兩點滿足條件：點 都在函數(shù) 的圖像上；點 關(guān)于原點對稱，則稱 是函數(shù) 的一個“姊妹點對”（ 與 可看作同一點對），已知 ，則 的“姊妹點對”有_個3、（2015，天津）已知函數(shù) 函數(shù) ，其中 ，若函數(shù) 恰有4個零點，則 的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 4、（2015，湖南）已知 ，若存在實數(shù) ，使函數(shù) 有兩個零點，則 的取值范圍是_5、（2014，新課標全國卷I）已知函數(shù) ，若 存在唯一的零點 ，且 ，則 的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 6、（2014，山東）已知函數(shù) ，若方程 有兩個不相等的實根，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 7、（2

16、014，天津）已知函數(shù) ，若方程 恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù) 的取值范圍是_8、（2015，江蘇）已知函數(shù) ，則方程 實根的個數(shù)為_9、已知函數(shù) ，若 存在唯一的零點 ，且 ，則 的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 10、對于函數(shù) ，設(shè) ，若存在 使得 ，則稱 與 互為“零點關(guān)聯(lián)函數(shù)”，若函數(shù) 與 互為“零點關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 11、已知偶函數(shù) 滿足對任意 ，均有 且 ，若方程 恰有5個實數(shù)解，則實數(shù) 的取值范圍是 .12、（2016，河南中原第一次聯(lián)考）已知函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)恰有9個零點，則實數(shù) 的值為_13、（2014，四川）已知函數(shù) 為自然

17、對數(shù)的底數(shù)（1）設(shè) 是函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值（2）若 ，函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點，求 的取值范圍習題答案：1、答案：B解析：根據(jù)周期性和對稱性可作出 的圖像，直線 過定點 結(jié)合圖像可得：若 內(nèi)有四個根，可知 。若直線與 在 相切，聯(lián)立方程： ，令 可得： ，當 時，解得 ，綜上所述： 2、答案：2解析：關(guān)于原點對稱的兩個點為 和 ，不妨設(shè) ，則有 ，從而 ，所以“姊妹點對”的個數(shù)為方程 的個數(shù)，即曲線 與 的交點個數(shù)，作出圖像即可得有兩個交點3、答案：D解析：由 得 ，所以 ，即 ,所以 恰有4個零點等價于方程 有4個不同的解，即函數(shù) 與函數(shù) 的圖象的4個公共點，由圖象可知

18、.4、答案： 解析： 由兩個零點，即方程 有兩個根，從而 與 有兩個交點?？稍谕恢苯亲鴺讼迪伦鞒?，觀察圖像可得： 時，水平線與 有兩個交點，故符合題意；當 時， 為增函數(shù)，所以最多只有一個零點，不符題意；當 時，存在水平線與 分別有一個交點，共兩個符合題意。綜上所述： 5、答案：C解析： ，令 ，依題意可知 與 應(yīng)在有唯一交點且位于 的區(qū)域。設(shè) ，所以 ，則 在 單增，在 單減， ，作出圖像可知只有當 時， 與 有唯一交點，且在 的區(qū)域。6、答案：B解析：方法一：方程 有兩個不等實根可轉(zhuǎn)化為函數(shù) 與 的圖像有兩個不同交點，其中 為直線的斜率。通過數(shù)形結(jié)合即可得到 方法二：本題還可以先對方程進行變形，再進行數(shù)形結(jié)合， 中 顯然不是方程的解，當 時， ，設(shè) ，則問題轉(zhuǎn)化為 與 交點為2個。作出圖像后即可觀察到 的范圍7、答案： 解析：方程為： ， 顯然不是方程的解，所以 時， ，即 ，令 ，則 與 有4個交點即可，作出圖像數(shù)形結(jié)合即可得到 8、答案：4解析：方程等價于 ，即 或 共多少個根， ，數(shù)形結(jié)合可得： 與 有兩個交點； ，同理可得 與 有兩個交點，所以共計 個9、答案：C解析： ，令 ，依題意可知 只有一個零點 且 ，即 與 只