專題19：動(dòng)態(tài)幾何之定值問題探討

1、初中學(xué)習(xí)資料整理總結(jié)專題19:動(dòng)態(tài)幾何之定值問題探討、線段（和差）為定值問題:典型例題:例1 :（2012黑龍江綏化8分）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線 BD上的一點(diǎn)，且BE=BC，AB=3，BC=4 ,點(diǎn)P為直線EC上的一點(diǎn)，且 PQ丄BC于點(diǎn)Q ,PR丄BD于點(diǎn)R.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC中點(diǎn)時(shí)，易證:PR+ PQ= 1?（不需證明）.56（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC上的任意一點(diǎn)（不n與點(diǎn)E、點(diǎn)C重合）時(shí)，其它條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎

2、樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想.12【答案】 解：（2）圖2中結(jié)論P(yáng)R+PQ=，仍成立。證明如下:5連接BP，過C點(diǎn)作CK丄BD于點(diǎn)K。四邊形ABCD為矩形，/ BCD=90。又 CD=AB=3 , BC=4 , BD = JCD2 +BC211 Sa bcd= BC?CD= BD?CK , 3 X4=5CK ,2211 Sabce=BE?CK , Sabep= PR?BE,221 1 1- BE?CK= PR?BE+ PQ?BC。2 2 2口 CL M111又 BE=BCCK= 一 PR+ - PQ。2221212又 CK= , PR+ P Q=。555BCP= PQ?BC,且 SaBCE

3、=SBEp+ Sbcp,2 CK= PR + PQ。12(3)圖3中的結(jié)論是 PRPQ= .5【考點(diǎn)】 矩形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理?！痉治觥?2)連接BP,過C點(diǎn)作CK丄BD于點(diǎn)K.根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理求出BD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積相等可求出CK的長(zhǎng)，最后通過等量代換即可證明。(3)圖3中的結(jié)論是 PRPQ=125 。連接 BP, $ BPE $ BCP=Smec , SA BEC 是固定值，BE=BC 為兩個(gè)底,12PR, PQ分別為高，從而 PRPQ= o5例2: (2012江西省10分)如圖，已知二次函數(shù) L1: y=x2 - 4x+3與x軸交于A .B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊)，

4、與y軸交于點(diǎn)C.(1)寫出二次函數(shù)Li的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);2(2)研究二次函數(shù)L2： y=kx - 4kx+3k ( k0 . 寫出二次函數(shù) L2與二次函數(shù)Li有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì);是否存在實(shí)數(shù)k，使 ABP為等邊三角形？如果存在，請(qǐng)求出k的值；如不存在，請(qǐng)說明理由;EF的長(zhǎng)若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點(diǎn)，問線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如果不會(huì)，請(qǐng)求出度；如果會(huì)，請(qǐng)說明理由.【答案】解：(1 )拋物線y =xX二次函數(shù)Li的開口向上，對(duì)稱軸是直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)(2,- 1) O(2)二次函數(shù)L2與Li有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì):對(duì)稱軸為x=2;都經(jīng)過 A (1 , 0)

5、, B (3, 0)兩點(diǎn)。 存在實(shí)數(shù)k，使ABP為等邊三角形.2 y =kx2 -4kx +3k =k(x -2 ) k，頂點(diǎn) P (2, k). A (1 , 0), B (3, 0), AB=2要使 ABP為等邊三角形，必滿足I k|=73 ,k=0時(shí)，拋物線的開口向上；av 0時(shí)，拋物線的開口向下。拋物線的對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)，可化為頂點(diǎn)式或用公式求解。(2)新函數(shù)是由原函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)乘以k所得，因此從二次函數(shù)的圖象與解析式的系數(shù)的關(guān)系入手進(jìn)行分析。 當(dāng) ABP為等邊三角形時(shí)，P點(diǎn)必為函數(shù)的頂點(diǎn)，首先表示出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，它的絕對(duì)值正好3是等邊三角形邊長(zhǎng)的倍，由此確定k的值。2E、F的坐

6、標(biāo)，從而可表示出EF的長(zhǎng)，若該長(zhǎng)度 聯(lián)立直線和拋物線 L2的解析式，先求出點(diǎn)為定值，則線段 EF的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化。例3: (2012山東德州12分)如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片 ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H ,的一點(diǎn)(不與點(diǎn) A、點(diǎn)D重合)將正方形紙片折疊，使點(diǎn)折痕為EF，連接BP、BH .(1) 求證：/ APB= / BPH ;(2) 當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)， PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論;(3)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在,求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.G

7、G(備用圖【答案】 解：(1)如圖 1,v PE=BE ,/ EBP= / EPB .又/ EPH= / EBC=90 ,/ EPH -/ EPB= / EBC -/ EBP,即/ PBC= / BPH。又 AD / BC， / APB= / PBC。./ APB= / BPH。(2) PHD的周長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?8。證明如下:如圖2,過B作BQ丄PH,垂足為Q。由(1)知/ APB= / BPH ,又/ A= / BQP=90 , BP=BP , ABP N QBP (AAS )。 AP=QP , AB=BQ。又.AB=BC，BC=BQ。G又/ C= / BQH=90 , BH=BH , BCH

8、 N BQH (HL )。 CH=QH。 PHD 的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8(3)如圖3,過F作FM丄AB，垂足為 M，貝U FM=BC=AB。又 EF為折痕， EF丄BP。/ EFM+ / MEF= / ABP+ / BEF=90。/ EFM= / ABP。又/ A= / EMF=90 , AB=ME , EFM BPA (ASA )。 EM=AP=x .2222x在 Rt APE 中，(4 - BE) +x =BE，即 BE =2+。 8x2 CF=BE EM =2+-x。8又四邊形PEFG與四邊形BEFC全等,11 f x2 Sh(BE+CF)BC

9、=訂4打1 2-x 4=-x 2x+8=丿2丄(X -2 Y +6。281T 0 .* ZHAF=ZDAF同理 RtAAHERtAABE, ZHAE=ZBAEnT ZHAF+ZDAF代二 ZEAF=ZHAF +Z：HAET54二ZEAF的大小不會(huì)發(fā)生變化(2)AECF的周長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化理由如下;由 C1)知：RtAAHFRtAADF, RtAAHERtAABE,二FH=FD, EH=E氐二 EFEH十FH=EB十FD /.CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD二 CE+CF+EF- CE+CF+ EB+FD=BC+CDu【蓍點(diǎn)】正方ffi性ffi,動(dòng)點(diǎn)和定值間題，全等三角形的

10、判定和性質(zhì).【分析1(1)由 HL 證得 RtAAHFRtiADF 和 RtAAHE宰 RtZi ABE 即可得 Z EAF=Z HAF+ Z HAE=45%目卩ZEAF的大小不會(huì)發(fā)生變化(2)由(1)兩個(gè)全等即可得 CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD.即 CE+CF+EF= CE+CF+ER+FDTC+CD.練習(xí)題:1. （2011湖南岳陽8分）如圖，將菱形紙片 AB （E） CD （ F）沿對(duì)角線BD（EF）剪開，得至ABD和 ECF，固定 ABD，并把 ABD與厶ECF疊放在一起.（1）操作：如圖，將 ECF的頂點(diǎn)F固定在 ABD的BD邊上的中點(diǎn)處，ECF繞點(diǎn)F在B

11、D邊上方左右旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí) FC交BA于點(diǎn)H （H點(diǎn)不與B點(diǎn)重合），F(xiàn)E交DA于點(diǎn)G（G點(diǎn)不與D點(diǎn)重合）.求證：BH?GD=BF2（2）操作：如圖， ECF的頂點(diǎn)F在 ABD的BD邊上滑動(dòng)（F點(diǎn)不與B、D點(diǎn)重合），且CF始終經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AG / CE,交FE于點(diǎn)G,連接DG .探究：FD+DG=.請(qǐng)予證明.圖2.（2011四川眉山11分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)(0,1),B （- 4, 4）,將點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn)C;頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)求拋物線的解析式和點(diǎn) C的坐標(biāo);拋物線上一動(dòng)點(diǎn) P,設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為di，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為d2，試說明d2=di +

12、1;在（2）的條件下，請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn) P位于何處時(shí)， PAC的周長(zhǎng)有最小值，并求出 PAC的周長(zhǎng)的最小值.3.（2011湖南郴州10分）如圖，Rt ABC中，/ A=30 BC=10cm，點(diǎn)Q在線段BC上從B向C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P在線段BA上從B向A運(yùn)動(dòng).Q、P兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)作PM丄PQ交CA于點(diǎn)M,過點(diǎn)P分別作BC、CA的垂線，垂足分別為 E、F.(1) 求證： PQEsA pmf；（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)猜想線段 PM與MA的大小有怎樣的關(guān)系？并證明你的猜想;（3）設(shè)BP =x , PEM的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，并

13、將這個(gè)值求出來.4. （2011遼寧營(yíng)口 14分）已知正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線AC所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在DC邊所在直線上，且隨著點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，PE= PD總成立.（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，請(qǐng)你通過測(cè)量、觀察，猜想PE與PB有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論不必證明）;如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中猜想的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明; 如果不成立，請(qǐng)說明理由；（3）畫出滿足條件的圖形，并判斷此時(shí)（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你利用圖PE與PB有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論不必證明）5. （2011貴州遵義12分）如圖，梯形 ABCD

14、中，AD / BC , BC = 20cm , AD = 10cm,現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) P、Q分別從B、D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2cm的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1cm的速度沿DA向終點(diǎn)A移動(dòng)，線段PQ與BD相交于點(diǎn)E,過E作EF / BC交CD于點(diǎn)F,射線QF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H ,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t （單位：秒，0t10）.當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 Pcdq為平行四邊形?在P、Q移動(dòng)的過程中，線段 PH的長(zhǎng)是否發(fā)生改變？如果不變，求出線段PH的長(zhǎng)；如果改變，請(qǐng)說明理由.6. （2011黑龍江龍東五市 8分）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且 BE=BC , AB=3

15、 ,BC=4 ,點(diǎn)P為直線EC上的一點(diǎn)，且 PQ丄BC于點(diǎn)Q, PR丄BD于點(diǎn)R。（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為線段（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為線段12EC中點(diǎn)時(shí)，易證：PR+ PQ=r （不需證明）。5EC上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn) E、點(diǎn)C重合）時(shí)，其它條件不變，則（1 ）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立,請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想。D二、面積（和差）為定值問題:典型例題:例1 : （2012湖北十堰3分）如圖，0是正 ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3 , OB=4 , OC=5，將線段BO以點(diǎn)

16、B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到線段B0 ,下列結(jié)論： B0 A可以由 BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到；Q jTq點(diǎn)0與0的距離為4;/ AOB=150 :S四邊形AOBO =6+3丁3 :Sjaoc +Saob =6+.其中正確的4結(jié)論是【A .B.C.D .【答案】A?！究键c(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理?！痉治觥空?ABC , AB=CB , / ABC=60 0。線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到線段BO , BO=BO , / 0 AO=60o/ O BA=6C0-/ AB0= / OBA。二 BO AN BOC。_BO A可

17、以由 BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到。故結(jié)論正確。連接OO ,/ BO=BO , / O AO=6tf, OBO是等邊三角形。 OO =OB=4。故結(jié)論正確。在 AOO中，三邊長(zhǎng)為O A=OC=5, OO =OB=4, OA=3，是一組勾股數(shù), AOO是直角三角形。/ AOB= / AOO +/ OOB =90 + 600=150匕故結(jié)論正確。1 1S四邊形 AOBO，=$出00 +S“BO =2 -3 4+ 2 4=6+473。故結(jié)論錯(cuò)誤。如圖所示，將 AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60使得AB與AC重合,點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O點(diǎn).易知 AOO是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形， COO是邊長(zhǎng)為3、直角三角形。1 1貝y

18、 S孫OC +S必OB =Saoco ”=S少OO ”+SAOO”=2 3 +故結(jié)論正確。綜上所述，正確的結(jié)論為：。故選例2: (2012廣西玉林、防城港 12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,4),現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q,點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OC (不包括端點(diǎn)O, C)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CD (不包括端點(diǎn)C, D)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P, Q同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t=2秒時(shí)PQ=2J5.(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫出t的取值范圍;(2)連接AQ并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E,把AE沿AD翻折

19、交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F連接EF,則 A EF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不變化，求出S的值.(3)在(2)的條件下，t為何值時(shí)，四邊形 APQF是梯形?在Rt PCQ中，由勾股定理得:【答案】解:P C= Jpq2_CQ22 2)-22 =4,/ 0C=0P+P.C=4+4=8。又矩形 AOCD , A (0, 4), D (8, 4)。t的取值范圍為:0 8+- (8 t)2化簡(jiǎn)得：S=32為定值。所以 AEF的面積S不變化,S=32。8t4t(3) 若四邊形APQF是梯形，因?yàn)锳P與CF不平行，所以只有 PQ / AF。由 PQ / AF 可得： CPQsA

20、DAF。 CP: AD=CQ : DF，即 8- 2t: 8= t: 4 t,化簡(jiǎn)得 t2 12t + 16=0,解得：=6+25,t2= 6 -2/5。由(1)可知，0 t 4,. ti=6+2詬不符合題意，舍去。當(dāng)t=62j5秒時(shí)，四邊形 APQF是梯形?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)和翻折問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，翻折對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，梯形的 性質(zhì)，解一元二次方程。0 tv 4?！痉治觥?1)由勾股定理可求 PC而得點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得點(diǎn) D的坐標(biāo)。點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為8吃=4秒，點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為 4+1=4秒，由題意可知，t的取值范圍為:(2)根據(jù)相似三角形和翻折對(duì)

21、稱的性質(zhì)，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，由于關(guān)系式為常數(shù)，所以 AEF的面積S不變化，S=32。(3) 根據(jù)梯形的性質(zhì)，應(yīng)用相似三角形即可求解。例3:( 2012江蘇蘇州9分)如圖，正方形 ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形 ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動(dòng)，移動(dòng)開始前點(diǎn) A與點(diǎn)F重合.在移動(dòng)過程中，邊 AD始終與邊FG重合,連接CG,過點(diǎn)A作CG的平行線交線段 GH于點(diǎn)P,連接PD已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，矩形EFGH的邊FG、GH的長(zhǎng)分別為4cm、3cm.設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為 x ( s),線段GP的長(zhǎng)為y (cm),其中試求出y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并求出 y

22、=3時(shí)相應(yīng)X的值;記 DGP的面積為Si,A CDG的面積為S2.試說明Si- S2是常數(shù);當(dāng)線段PD所在直線與正方形 ABCD的對(duì)角線AC垂直時(shí)，求線段 PD的長(zhǎng).【答案】 解：(1 ) CG/ AP，/ CGD= / PAG,貝y tanZCGD=tan NPAG。二 CD = -PG。 GD AG/ GF=4, CD=DA=1 , AF=x , a GD=3 x, AG=4 X。 丄=丄，即y=m 0 y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式為 3 X 4 X3 X當(dāng) y =3 時(shí)，3=士*，解得：x=2.5 03 -x4Xy=。3X1 1 4 -x ,1(2)- S1 = GP GD= BE=h /. t

23、anZBAE=4= = -NBAET臚. 爺3/AB=AD, ZABT=ZADr=90% AE= AE . R.tA ABERtA ABRtA ADE.ZDAE=ZBAE=ZBAE=30%二AB W AE在同一直線上 即BF與A占的交點(diǎn)是G.設(shè)BF與Ah?的交點(diǎn)為H,則ZBAG=ZHAG=30% 而ZAGB=ZAGH=90% AG= AG, /. ABAGAHAG.S四邊形 gheB = AAEE SiA(5H = SaAEE 應(yīng)g = SEiQE 二ABE在旋轉(zhuǎn)前后與BCF重醫(yī)部分的積沒有變化.【若點(diǎn)】正方的性質(zhì)，全等三形ffl判定和性質(zhì)，相似三角冊(cè)的判定和性祐，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直三【分析】(

24、1)由四邊形ABCD是正方形，可得ZABE=ZBCF=9D% AB=BC.又由AE丄BF,由同甬的余角相等，即可證得ZBAE=ZCBF,然后利用ASA,即可判定：AABEABCF.(2)由正方形MCD的面積等于即可求得此正方形的邊長(zhǎng)，由在iBGE與AME中,ZGBE=ZBAE, ZEGB=ZEBA=90可證得BGEsABE.由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案.(3)由正切函數(shù)，求得ZBAE=30% 易證得 RtAABERlAABERtAADE/,可得 AB2 AE在同一直線上冃ZF與點(diǎn)B哥交點(diǎn)是G,然后設(shè)BF與直E哥交點(diǎn)為H可證得ABAG竺AHAG.從而證得結(jié)論.練習(xí)題:1.(

25、2011山東東營(yíng)12分)如圖所示，四邊形 OABC是矩形.D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)B、C不重含)，過點(diǎn)D作直線點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0), (0, 1)，點(diǎn)1y = x+b交折線OAB于點(diǎn)E。2(1)記 ODE的面積為S.求S與b的函數(shù)關(guān)系式:1當(dāng)點(diǎn)E在線段 OA上時(shí)，且 tan/ DEO= 。若矩形2OABC關(guān)于直線 DE的對(duì)稱圖形為四邊形OiAiBiG .試探究四邊形 OiAiBiCi與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不交，求出該重疊部分妁面積;點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（如圖 1）.2.（2011浙江舟山、嘉興12分）已知直線y=kx+3 （ k 0）分別交x軸、

26、y軸于A、B兩點(diǎn)，線段 OA上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)0向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，過點(diǎn) P作x軸的垂線交直線 AB于點(diǎn)C,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)k=1時(shí)，線段0A上另有一動(dòng)點(diǎn) Q由點(diǎn)A向點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)P以相同速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)直接寫出t = 1秒時(shí)C、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo);若以Q、C、A為頂點(diǎn)的三角形與 AOB相似，求t的值.(2)當(dāng)3 2k=-時(shí)，設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線 y=（x + m）2 + n與直線AB的另一交點(diǎn)為 D （如圖2）,4求CD的長(zhǎng);三、其它定值問題:典型例題:例1: （2012浙江義烏12分）如圖已知直線y=kx與拋物線2 22y=-7X2 +年X 交于點(diǎn) A (3, 6).

27、 2 73（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長(zhǎng)度;M （點(diǎn)M、0不重合），交直線QM與線段QN的長(zhǎng)度之比是否（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM,交x軸于點(diǎn)OA于點(diǎn)Q,再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N 試探究：線段 為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說明理由;(3) 如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段0A上(與點(diǎn)0、A不重合)，點(diǎn)D (m, 0)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足/BAE= / BED= / AOD .繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)?【答案】 解：(1)把點(diǎn)A (3, 6)代入y=kx得；6=3k，即k

28、=2。y=2x。-OA =晶2+62=3/5。(2)線段QM與線段QN的長(zhǎng)度之比是一個(gè)定值，理由如下:如圖1，過點(diǎn)Q作QG丄y軸于點(diǎn)G, QH丄x軸于點(diǎn)H .當(dāng)QH與QM重合時(shí)，顯然 QG與QN重合,此時(shí)QM QH QHQN QG OH=tanNA0M=2 。當(dāng)QH與QM不重合時(shí),/ QN丄QM , QG丄QH不妨設(shè)點(diǎn)H , G分別在的正半軸上,/ MQH= / GQN。又/ QHM= / QGN=9 , QHM QGN。.QM QH QHQN QG OH =taAOM=2。當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線和直線上不同位置時(shí)，同理可得QMQN=2。線段QM與線段QN的長(zhǎng)度之比是一個(gè)定值。(3) 如圖2，延長(zhǎng)

29、AB交x軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FC丄0A于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AR丄x軸于點(diǎn)R。/ AOD= / BAE , AF=OF。1 5 LOC=AC= OA= V 5。2 21丿時(shí)E點(diǎn)有2個(gè)./ ARO= / FCO=90 , / AOR= / FOC , AOR FOCoA 竺二竺二跡 OF=5xJ15 o2* 2(15 ,0)o2點(diǎn) F設(shè)點(diǎn)B(X,BKAKOCOR 3=J5 o42 22一X + X273，過點(diǎn)B作BK 丄 AR 于點(diǎn) K，則 AKB sARF oX -3FR AR，即 7.5-36-x2+ xI 273o解得 xi=6, X2=3 (舍去)。.點(diǎn) B (6, 2 )o BK=6 - 3=

30、3, AK=6 - 2=4 o AB=5 o在 ABE 與 OED 中，/ BAE= / BED , / ABE+ / AEB= / DEO+ / AEB o/ ABE= / DEO o/ BAE= / EOD , ABE設(shè) OE=x，貝U AE= 3/5 - x ( 0AE 由 ABE OED 得一ABODOE- m= -X (3亦-x )= -x2 +55頂點(diǎn)為如圖3,當(dāng)m=9時(shí),4OE=x=OED ox=53 J5，此時(shí)E點(diǎn)有1個(gè);2,9當(dāng)Ovmv-時(shí)，任取一個(gè) m的值都對(duì)應(yīng)著兩個(gè) X值，此499當(dāng)m=4時(shí)，E點(diǎn)只有1個(gè)，當(dāng)0m4時(shí)，E點(diǎn)有2個(gè)0相似三角形的判定和性質(zhì),【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜

31、合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義, 二次函數(shù)的性質(zhì)。【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出直線y=kx的解析式，根據(jù) A點(diǎn)坐標(biāo)用勾股定理求出線段 OA的長(zhǎng)度。（2）如圖1，過點(diǎn)Q作QG丄y軸于點(diǎn)G, QH丄x軸于點(diǎn)H，構(gòu)造相似三角形 QHM與 QGN ,將線段QM與線段QN的長(zhǎng)度之比轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比，即空=空=空=tanNAOM=2為定QN QG OH值.需要注意討論點(diǎn)的位置不同時(shí)，這個(gè)結(jié)論依然成立。（3）由已知條件角的相等關(guān)系/ BAE= / BED= / AOD ,可以得到 ABE OED o在相似三角形 ABE與 OED中，運(yùn)用線段比例關(guān)系之前需要首先求出AB的長(zhǎng)度，如圖2,可以通過構(gòu)造相似三角形,或者利用一次函數(shù)（直線）的性質(zhì)求得AB的長(zhǎng)度。設(shè) OE=x，則由相似邊的比例關(guān)系可以得到m關(guān)于x1的表達(dá)式m=-51x2丿9+ -，這是一個(gè)二次函數(shù).借