§8.7保角變換和曲線坐標(biāo)

1、 8.7 保角變換和曲線坐標(biāo) 學(xué)習(xí)思路： 彈性力學(xué)問題的求解有賴于邊界條件的簡(jiǎn)化。對(duì)于復(fù)雜的邊界形狀，如 果利用空間的變換， 將是簡(jiǎn)化問題求解的最好途徑。 保角變換就是充分發(fā)揮復(fù)變 函數(shù)的特長(zhǎng)，將孔口問題映射到 平面的單位圓。 這一節(jié)將介紹保角變換和曲線坐標(biāo)的概念。由于應(yīng)用保角變換，矢量 位移，張量應(yīng)力公式以及 K-M 函數(shù)等均必須做出曲線坐標(biāo)描述。保角變換使 得問題的公式復(fù)雜， 但是邊界條件的簡(jiǎn)化， 以及柯西積分的應(yīng)用將簡(jiǎn)化問題的分 析。 在本節(jié)學(xué)習(xí)之前，請(qǐng)你先學(xué)習(xí) 附錄 2，（有關(guān)保角變換的知識(shí)） 學(xué)習(xí)要點(diǎn)： 1. 保角變換和曲線坐標(biāo)； 2. 矢量的保角變換 ； 3. 位移分量的曲線坐標(biāo)表

2、達(dá)式； 4. 應(yīng)力分量的曲線坐標(biāo)表達(dá)式。 為了便于根據(jù)邊界條件確定 K-M 函數(shù)，采取 保角變換 z = （ ） 將物體在 z 平面上所占的區(qū)域變?yōu)樵?平面所占的區(qū)域。 一般的說， 通 過保角變換可以將非圓邊界映射為圓邊界，使得問題得以簡(jiǎn)化。 假設(shè)將 z 平面上的有限區(qū)域或者無限區(qū)域 S 映射為 平面的單位圓內(nèi)的 區(qū)域 ，并且將 z 平面上的區(qū)域 S的邊界 l 映射為單位圓 ，對(duì)應(yīng)的關(guān)系如下表： 平面 z 平面 =0 （無窮遠(yuǎn)點(diǎn)） z=0 （原點(diǎn)） =const （圓） =const （曲線） =const （半射線） =const （曲線） 域 域S d dz 由于 平面上的任一點(diǎn)可以表示為

3、， 。 和 是點(diǎn) 的極坐標(biāo)。 而根據(jù)保角變換公式 z = ( )， 則 z平面任意一點(diǎn)也可以通過 和 表 示。因此， 和 又稱為曲線坐標(biāo)。對(duì)于某些問題的描述中，采用曲線坐標(biāo)形式 表示位移和應(yīng)力有利于問題的分析。 曲線坐標(biāo)的概念： 平面的一個(gè)圓周 =const 和一條徑向直線 =const分別 對(duì)應(yīng)于 z 平面的兩條曲線，這兩條曲線就記作 =const和 =const。于是 和 可以看作 z 平面上一點(diǎn)的曲線坐標(biāo)。由于變換的保角性，這個(gè)曲線坐標(biāo)總是正 交的，而且坐標(biāo)軸 和 的相對(duì)位置和坐標(biāo)軸 Ox和Oy的相對(duì)位置相同， 如圖所 示。 首先討論矢量的保角變換。設(shè)曲線坐標(biāo) ，即 =const 與 x

4、 軸夾 角，如果 A 為 z 平面上的任一矢量， 設(shè) A 與曲線坐標(biāo) 夾 角。設(shè) Ax, Ay 分別表示矢量 A 在 x，y 軸的投影； A , A 表示在 =const 和 =const 上的投影，則 上式的幾何意義為，將矢量 A 繞 z 點(diǎn)順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng) 角后，其在 Oxy 坐 標(biāo)系的位置，相當(dāng)于 A 在曲線坐標(biāo)系( ， )中的位置， 如圖所示 。 如果用 u , u 分別表示曲線坐標(biāo)下的位移矢量分量， 則 根據(jù)保角變換，有 所以 沿曲線（ ）取微分線段 dz，則在 平面對(duì)應(yīng)的有 d ，由于 所以，取其共軛可得 將上式回代到 公式 ，可得 下面通過保角變換對(duì)彈性力學(xué)的公式作對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換。 首

5、先，設(shè) K-M 函數(shù) 和 (z)分別使用 和 1(z)代替，同時(shí)令 根據(jù)位移表達(dá)式 ，有 在 z 平面上，將位移矢量向曲線坐標(biāo) 和 投影。由 公式 可得 上式兩邊同時(shí)乘以 2G，可得 上式是 平面上的曲線坐標(biāo)系表達(dá)的位移表達(dá)式 下面建立曲線坐標(biāo)中應(yīng)力分量的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式。如果用 , , 表示物 體在曲線坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。則 和 因?yàn)?而由公式 所以 上式為經(jīng)過保角變換后， z 平面上的曲線坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量的復(fù)變函 數(shù)表達(dá)式。 8.8 無限大薄板的孔口問題 學(xué)習(xí)思路： 本節(jié)的主要任務(wù)是將保角變換用于無限大薄板的孔口問題， 確定 K-M 函 數(shù)的基本求解公式。 推導(dǎo)中首先確定無限大板孔口問題的保

6、角變換公式，將 K-M 函數(shù)轉(zhuǎn)換為曲線坐 標(biāo)形式。采用的方法仍然是將 K-M 函數(shù)分解為以級(jí)數(shù)表達(dá)的解析函數(shù)和對(duì)數(shù)表 達(dá)的多值函數(shù)兩部份。 對(duì)于 K-M 函數(shù)的級(jí)數(shù)形式，通過孔口面力邊界條件可以確定級(jí)數(shù)函數(shù) 的求解方程。這個(gè)求解過程， 利用保角變換后孔口邊界的特殊性質(zhì)， 使用柯西積 分使得計(jì)算簡(jiǎn)化。 學(xué)習(xí)要點(diǎn)： 1. 保角變換公式與 K-M 函數(shù) ； 2. 利用孔口邊界條件確定 K-M 函數(shù)求解公式 ； 3. 柯西積分確定 K-M 函數(shù)的級(jí)數(shù)形式 。 保角變換的目標(biāo)是： 將 z平面上的孔口邊界 l 映射為 平面上的單位圓 ，將 l 以 外的無限區(qū)域 S 映射為 平面上的單位圓內(nèi)的有限區(qū)域 ，將

7、 z 平面上的無窮遠(yuǎn) 點(diǎn)映射為 平面的坐標(biāo)原點(diǎn)， 如圖所示 。 保角變換公 式： 是將 l 以外的無限區(qū)域映射為單位圓 內(nèi)(| | 1)的普遍變換式，公式中 R為實(shí)數(shù)， Ck 為復(fù)數(shù)，而且1。 保角變換公式確定以后， 可以確定 K-M 函數(shù) 和 ( )，即將 K-M 函 數(shù) 和 1(z)變換到曲線坐標(biāo)中去。 由于 1 ，將上式展開，有 所以， ln z = ln + 單位圓內(nèi)部 的解析函數(shù) 根據(jù)上述分析， 的各項(xiàng)都轉(zhuǎn)變?yōu)閱挝粓A內(nèi) 的單值解析函數(shù)。因 此 其 中， 討論邊界條件確定 K-M 函數(shù) 和 0( )。根據(jù) 面力邊界條件 ，經(jīng)過保角變換后，可得 在單位圓的圓周上， 條件可以表示為 。所以

8、上述面力邊界 根據(jù)公式 ，則在邊界即單位圓周上 將上述 K-M 函數(shù)的邊界值回代面力邊界條件，并且將已知函數(shù)與需要 確定的未知函數(shù)分開，可得 其中已知函數(shù)為 因?yàn)?和 0( )是單位圓內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)，它們是從 z平面上 lR 之外無窮區(qū)域 的羅倫級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化而來的。因此對(duì)于 公式 冪級(jí)數(shù)求解時(shí)，由于方程兩邊都含有 k=e ik 的各個(gè)項(xiàng)( k 由到)，比較各個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)，即可求得 ak，bk 的 值。不過這樣作太麻煩了，由于 和 0( ) 在單位圓內(nèi)是解析的，而且在 圓內(nèi)和圓周上是連續(xù)的，因此可以直接采用柯西積分計(jì)算 將邊界條件的第一式兩邊乘以 ，積分可得 由于 在單位圓內(nèi)是解析的，因此公式的第一個(gè)積分即等于 ，