簡單曲線的極坐標方程

1、精選課件精選課件1 精選課件精選課件2 3 3、極坐標與直角坐標的互化公式、極坐標與直角坐標的互化公式 1、極坐標系的四要素、極坐標系的四要素 2 2、點與其極坐標一一對應的條件、點與其極坐標一一對應的條件 極點；極軸；長度單位；角度單位極點；極軸；長度單位；角度單位 及它的正方向。及它的正方向。 ) 0(tan, 222 x x y yx sin,cos yx )2 , 0, 0 精選課件精選課件3 在平面直角坐標系中，平面曲線C可以 用f(x,y)=0表示。曲線與方程滿足： （1）曲線）曲線C上點的坐標都是方程上點的坐標都是方程f(x,y)=0的解；的解； （2）以方程）以方程f(x,y)

2、=0的解為坐標的點都在曲線的解為坐標的點都在曲線C上。上。 思考：在極坐標系中，平面曲線是否可以用思考：在極坐標系中，平面曲線是否可以用 方程方程 表示？表示？ 0),(f 精選課件精選課件4 如圖，半徑為a的圓的圓 心坐標為(a,0)(a0)，你能用一個等式表示 圓上任意一點的極坐標(,)滿足的條件？ xC(a,0) O M A (,) 探究：探究： )1 ()0 ,2(), 2 , 0( )1.(.cos2cos ),(,2 的坐標滿足等式可以驗證，點 即中 。在以外的任意一點，那么 ，為圓上除點設，那么是 交點。設圓與極軸的另一個解：圓經(jīng)過極點 aAO aMOAOAOM AMORtAMO

3、M AOMaOAA O 精選課件精選課件5 的點都在這個圓上。等式 ，可以驗證，坐標適合滿足的條件，另一方面 坐標就是圓上任意一點的極所以，等式 ) 1 ( ),() 1 ( 一.圓的極坐標方程: ) 1 ()0 ,2(), 2 , 0( ) 1.(.cos2cos ),(,2 的坐標滿足等式可以驗證，點 即中 。在以外的任意一點，那么 ，為圓上除點設，那么是 交點。設圓與極軸的另一個解：圓經(jīng)過極點 aAO aMOAOAOM AMORtAMOM AOMaOAA O 精選課件精選課件6 的極坐標方程。叫做曲線那么方程 上，的點都在曲線并且坐標適合方程 一個滿足方程一點的極坐標中至少有 上任意，如

4、果平面曲線一般地，在極坐標系中 Cf Cf f C 0),( 0),( 0),( 的圓的極坐標方程。為 半徑就是圓心在所以， a aaCa),0)(0 ,(cos2 曲線的極坐標方程: 精選課件精選課件7 與直角坐標系里的情況一樣 建系建系 （適當?shù)臉O坐標系）（適當?shù)臉O坐標系） 設點設點 （設（設M M（ ，) )為要求方程的曲線上任意一點）為要求方程的曲線上任意一點） 列等式（構(gòu)造列等式（構(gòu)造，利用三角形邊角關系的定理列關于，利用三角形邊角關系的定理列關于M M的等式）的等式） 將等式坐標化將等式坐標化 化簡化簡 （此方程此方程f(,)=0即為曲線的方程）即為曲線的方程） 求曲線極坐標方程的

5、步驟: 精選課件精選課件8 例例1.已知圓已知圓O的半徑為的半徑為r，建立怎樣的極坐標，建立怎樣的極坐標 系，可以使圓的極坐標方程簡單？系，可以使圓的極坐標方程簡單？ xO r M 簡單。上比 式合時的極坐標方程在形顯然，使極點與圓心重 即為圓上任意一點，則設 都等于半徑何特征就是它們的極徑 幾圖），那么圓上各點的為極軸建立坐標系（如 出發(fā)的一條射線為極點，從解：如果以圓心 ) 1 ( ,),( . r rOMM r OO 簡單。上比 式合時的極坐標方程在形顯然，使極點與圓心重 即為圓上任意一點，則設 都等于半徑何特征就是它們的極徑 幾圖），那么圓上各點的為極軸建立坐標系（如 出發(fā)的一條射線為

6、極點，從解：如果以圓心 ) 1 ( ,),( . r rOMM r OO 精選課件精選課件9 簡單。上比 式合時的極坐標方程在形顯然，使極點與圓心重 即為圓上任意一點，則設 都等于半徑何特征就是它們的極徑 幾圖），那么圓上各點的為極軸建立坐標系（如 出發(fā)的一條射線為極點，從解：如果以圓心 ) 1 ( ,),( . r rOMM r OO 精選課件精選課件10 特殊位置的圓的極坐標方程特殊位置的圓的極坐標方程 的的極極坐坐標標方方程程最最簡簡單單？ 使使圓圓，怎怎樣樣建建立立極極坐坐標標系系，的的半半徑徑為為：圓圓問問題題rO1 x r O )( P r . )(,( 極極坐坐標標方方程程 的的

7、圓圓的的，圓圓心心坐坐標標為為：求求半半徑徑為為問問題題002aaa Ox ),(0aM )( P cosa2 .)( ),( 的的圓圓的的極極坐坐標標方方程程 ，圓圓心心坐坐標標為為：求求半半徑徑為為問問題題 0 2 3 a aa sina2 Ox ),( 2 aM )( P 精選課件精選課件11 一般的圓的極坐標方程一般的圓的極坐標方程 )( P r 0 0 )( 00 M 2 00 2 0 2 2r)cos( r aar aar 時，時， 時，時， 時，時， 003 2 2 2 201 00 00 00 )( sin)( cos)( 求圓心在求圓心在M( 0, )，半徑為，半徑為r圓的極

8、坐標方程圓的極坐標方程。 精選課件精選課件12 B 精選課件精選課件13 極徑的推廣極徑的推廣 負極徑 “負”的意義是什么？ 標準之下3攝氏度與-3攝氏度. 方向相反a 與. a 與. O x (, )M ( , ) 13 若M的坐標為 則M的坐標也可以是(, ) ( ,). 若0，則規(guī)定點(，)與點(，)關于極點對稱 精選課件精選課件14 負極徑小結(jié)：負極徑小結(jié)：極徑變?yōu)樨摌O徑變?yōu)樨?，極角增加極角增加 。 練習：寫出點練習：寫出點 的負極徑的極坐標的負極徑的極坐標 （6， ） 6 答：（答：（6， +） 6 特別強調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時），特別強調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時），

9、 認為認為 0 。因為負極徑只在極少數(shù)情況用。因為負極徑只在極少數(shù)情況用。 精選課件精選課件15 二.直線的極坐標方程: x o 4 l 精選課件精選課件16 和前面的直角坐標系里直線方程和前面的直角坐標系里直線方程 的表示形式比較起來，極坐標系里的的表示形式比較起來，極坐標系里的 直線表示起來很不方便，要用兩條射直線表示起來很不方便，要用兩條射 線組合而成。原因在哪？線組合而成。原因在哪？0 為了彌補這個不足，可以考慮允許為了彌補這個不足，可以考慮允許 極徑可以取全體實數(shù)。則上面的直極徑可以取全體實數(shù)。則上面的直 線的極坐標方程可以表示為線的極坐標方程可以表示為 () 4 R 或或 5 ()

10、 4 R 精選課件精選課件17 例例2.求過點求過點A(a,0)(a0)，且垂直于，且垂直于 極軸的直線極軸的直線L的極坐標方程。的極坐標方程。 解：如圖，設點解：如圖，設點 ( , )M 為直線為直線L上除點上除點A外的任外的任 意一點，連接意一點，連接OM o x A M 在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA 即即cosa 可以驗證，點可以驗證，點A的坐標也滿足上式。的坐標也滿足上式。 精選課件精選課件18 求直線的極坐標方程步驟求直線的極坐標方程步驟 1、根據(jù)題意畫出草圖；、根據(jù)題意畫出草圖； 2、設點、設點 是直線上任意一點；是直線上任意一點；( , )M 3、連接、連接

11、MO； 4、根據(jù)幾何條件建立關于、根據(jù)幾何條件建立關于 的方的方 程，并化簡；程，并化簡； , 5、檢驗并確認所得的方程即為所求。、檢驗并確認所得的方程即為所求。 精選課件精選課件19 兩種特殊的直線的極坐標方程兩種特殊的直線的極坐標方程 . )(,( 的的直直線線的的極極坐坐標標方方程程 且且與與極極軸軸垂垂直直：求求過過點點問問題題004aaA O x A M cosa . )(,( 的直線的極坐標方程的直線的極坐標方程 且與極軸平行且與極軸平行：求過點：求過點問題問題0 2 5aaA O x AM a sin . )(,( 的的直直線線的的極極坐坐標標方方程程 且且傾傾斜斜角角為為：求求

12、過過點點問問題題 006aaA O M x Asin()sina 精選課件精選課件20 例例3. 設點設點P的極坐標為的極坐標為 ，直線，直線 過點過點P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標方程。的極坐標方程。 11 (,) l l o x M P 1 1 精選課件精選課件21 解：如圖，設點解：如圖，設點 ( , )M 點點P外的任意一點，連接外的任意一點，連接OM 為直線上除為直線上除 則則 由點由點P的極坐標知的極坐標知 ,OMxOM 1 OP 1 xOP 設直線設直線L與極軸交于點與極軸交于點A。則。則在在 MOP 1 ,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定

13、理得 1 1 sin()sin() 11 sin()sin() 顯然點顯然點P的坐標的坐標 也是它的解。也是它的解。 精選課件精選課件22 方程互化方程互化 )0( ,tan , sin cos 222 x x y yx y x 精選課件精選課件23 例例4.圓圓O1和圓和圓O2的極坐標方程分別為的極坐標方程分別為4cos， 4sin. (1)把圓把圓O1和圓和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)求經(jīng)過圓求經(jīng)過圓O1，圓，圓O2交點的直線的直角坐標方程交點的直線的直角坐標方程. 精選課件精選課件24 【解】【解】以極點為原點，極軸為以極點為原點，極軸為x軸

14、正半軸，建立軸正半軸，建立 平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位. (1)xcos，ysin，由，由4cos得得24cos. 所以所以x2y24x. 即即x2y24x0為圓為圓O1的直角坐標方程的直角坐標方程 同理同理x2y24y0為圓為圓O2的直角坐標方程的直角坐標方程 精選課件精選課件25 【名師點評】【名師點評】掌握極坐標方程與直角坐標方程之掌握極坐標方程與直角坐標方程之 間的互化是解決本題的關鍵間的互化是解決本題的關鍵 精選課件精選課件26 精選課件精選課件27 精選課件精選課件28 2.設點設點P的極坐標為的極坐標為A ，直，直 線線

15、過點過點P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直求直 線線 的極坐標方程。的極坐標方程。 ( ,0)a l l 解：如圖，設點解：如圖，設點 ( , )M 為直線為直線 上異于的點上異于的點 l 連接連接OM， o M x p 在在 中有中有 MOA sin()sin() a 即即 sin()sina 顯然顯然A點也滿點也滿 足上方程。足上方程。 精選課件精選課件29 3.(2,) 4 A 求過點平行于極軸的直線。 O H M A ) 4 , 2( ( , ) (2,) 4 2 sin2 4 sin , sin2 (2,) 4 sin2 lM A MH Rt OMHMHOM A 解：在直線 上任意取點 在中， 即 所以，過點平行于極軸的直線方程 為 精選課件精選課件30 1.在極坐標系中，過圓在極坐標系中，過圓6cos的圓心，且垂直于的圓心，且垂直于 極軸的直線的極坐標方程為極軸的直線的極坐標方程為_. 解析：由題意可知圓的標準方程為解析：由題意可知圓的標準方程