八級數(shù)學(xué)下冊 第十八章 平行四邊形 18.2 特殊的平行四邊形 18.2.3 正方形課件 （新版）新人教版

1、18.2.318.2.3正方形正方形 1.1.正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì) 正方形的四條邊都正方形的四條邊都 , ,四個角都是四個角都是 ; ;正方形既是矩形又是菱形正方形既是矩形又是菱形, ,它既有矩它既有矩 形的性質(zhì)形的性質(zhì), ,又有菱形的性質(zhì)又有菱形的性質(zhì). 2.2.正方形的判定正方形的判定 (1)(1)有一組鄰邊有一組鄰邊 的矩形是正方形的矩形是正方形. (2)(2)有一個角是有一個角是 的菱形是正方形的菱形是正方形. 3.3.正方形的軸對稱性正方形的軸對稱性 正方形是軸對稱圖形正方形是軸對稱圖形, ,它有它有 條對稱軸條對稱軸, ,分別是兩條分別是兩條 所在的直線和過所在的直線和過 對邊

2、兩個對邊兩個 的直線的直線. 相等相等直角直角 相等相等 直角直角 四四對角線對角線 中點中點 探究點一探究點一: :正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì) 【例例1 1】 ( (20182018遵義遵義) )如圖如圖, ,正方形正方形ABCDABCD的對角線交于點的對角線交于點O,O,點點E,FE,F分別在分別在AB,BCAB,BC上上(AE(AE BE),BE),且且EOF=90EOF=90,OE,DA,OE,DA的延長線交于點的延長線交于點M,OF,ABM,OF,AB的延長線交于點的延長線交于點N,N,連接連接MN.MN. (1)(1)求證求證:OM=ON;:OM=ON; 【導(dǎo)學(xué)探究導(dǎo)學(xué)探究】 1.1

3、.證證OAMOAM 可得可得OM=ON.OM=ON. OBNOBN (1)(1)證明證明: :因為四邊形因為四邊形ABCDABCD是正方形是正方形, , 所以所以O(shè)A=OB,DAO=45OA=OB,DAO=45,OBA=45,OBA=45, , 所以所以O(shè)AM=OBN=135OAM=OBN=135. . 因為因為EOF=90EOF=90,AOB=90,AOB=90, , 所以所以AOM=BON,AOM=BON, 在在OAMOAM與與OBNOBN中中,AOM=BON,OA=OB,OAM=OBN,AOM=BON,OA=OB,OAM=OBN, 所以所以O(shè)AMOAMOBN,OBN,所以所以O(shè)M=ON.

4、OM=ON. (2)(2)解解: :如圖如圖, ,過點過點 O O 作作 OHOHADAD 于點于點 H.H. 因為正方形因為正方形 ABCDABCD 的邊長為的邊長為 4,4,所以所以 OH=HA=OH=HA= 1 2 AD=AD= 1 2 4=2.4=2. 因為因為 E E 為為 OMOM 的中點的中點,O,OH HAE,AE, 所以所以 HM=2HA=4,HM=2HA=4,則則 OM=OM= 22 OHHM= = 22 24=2=25, , 因為因為 OM=ON,OM=ON,所以所以 MN=MN=2OM=OM=22 25=2=210. . (2)(2)若正方形若正方形ABCDABCD的邊

5、長為的邊長為4,E4,E為為OMOM的中點的中點, ,求求MNMN的長的長. . 【導(dǎo)學(xué)探究導(dǎo)學(xué)探究】 2.2.作作OHAD,OHAD,求求OMOM的長可得到的長可得到MN=MN= OM.OM. 2 (1) (1)在正方形中在正方形中, ,證明線段相等證明線段相等, ,通常證明三角形全等通常證明三角形全等; ; (2)(2)在正方形中在正方形中, ,計算線段的長度計算線段的長度, ,往往需要借助勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)往往需要借助勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì). . 【例例2 2】( (20182018舟山舟山) )如圖如圖, ,等邊等邊AEFAEF的頂點的頂點E,FE,F在矩形在矩形A

6、BCDABCD的邊的邊BC,CDBC,CD上上, ,且且CEF=CEF= 4545. .求證求證: :矩形矩形ABCDABCD是正方形是正方形. . 探究點二探究點二: :正方形的判定正方形的判定 【導(dǎo)學(xué)探究導(dǎo)學(xué)探究】 1.1.要證明矩形要證明矩形ABCDABCD是正方形是正方形, ,只要證明只要證明AB=AB= . 2.2.證明證明ABEABEADF,ADF,可得可得 . . ADAD AB=ADAB=AD 證明證明: :因為四邊形因為四邊形ABCDABCD是矩形是矩形, , 所以所以B=D=C=90B=D=C=90. . 因為因為AEFAEF是等邊三角形是等邊三角形, , 所以所以AE=A

7、F,AEF=AFE=60AE=AF,AEF=AFE=60, , 因為因為CEF=45CEF=45, ,所以所以CFE=CEF=45CFE=CEF=45, , 所以所以AEB=AFD=180AEB=AFD=180-45-45-60-60=75=75, , 在在ABEABE與與ADFADF中中,B=D,AEB=AFD,AE=AF,B=D,AEB=AFD,AE=AF, 所以所以ABEABEADF,ADF,所以所以AB=AD,AB=AD, 所以矩形所以矩形ABCDABCD是正方形是正方形. . (1) (1)已知菱形已知菱形, ,可證明一個內(nèi)角為直角得到正方形可證明一個內(nèi)角為直角得到正方形;(2);(

8、2)已知矩形已知矩形, , 可證明一組鄰邊相等得到正方形可證明一組鄰邊相等得到正方形. . 1.1.下列說法正確的是下列說法正確的是( ( ) ) (A)(A)有一個角是直角的四邊形是正方形有一個角是直角的四邊形是正方形 (B)(B)有一組鄰邊相等的四邊形是正方形有一組鄰邊相等的四邊形是正方形 (C)(C)有一組鄰邊相等的矩形是正方形有一組鄰邊相等的矩形是正方形 (D)(D)四條邊都相等的四邊形是正方形四條邊都相等的四邊形是正方形 2.(2.(20182018石家莊期中石家莊期中) )若正方形的對角線長為若正方形的對角線長為2 cm,2 cm,則這個正方形的面積為則這個正方形的面積為( ( )

9、 ) C C B B (A)4 cm(A)4 cm 2 2 (B)2 cm(B)2 cm 2 2 (C)(C) 2 cm cm 2 2 (D)2 (D)22 cm cm 2 2 3.3. ABCDABCD的對角線的對角線ACAC與與BDBD相交于點相交于點O,O,且且ACBD,ACBD,請?zhí)砑右粋€條件請?zhí)砑右粋€條件: : . . , ,使得使得 ABCDABCD為正方形為正方形. BAD=90BAD=90 ( (答案不唯一答案不唯一) ) 4.(4.(20182018會寧模擬會寧模擬) )如圖如圖, ,在正方形在正方形ABCDABCD中中,E,E為為CDCD上一點上一點, ,點點F F在在BE

10、BE上上,AF=AB,AF=AB,連接連接BD,BD, FD,FD,若若BAF=58BAF=58, ,則則BDFBDF的度數(shù)為的度數(shù)為 . 2929 5.5.如圖如圖, ,已知正方形已知正方形ABCD,PABCD,P是對角線是對角線ACAC上任意一點上任意一點,E,E為為ADAD上的點上的點, ,且且EPB=90EPB=90, , PMAD,PNAB,PMAD,PNAB,垂足分別為垂足分別為M,N.M,N. (1)(1)求證求證: :四邊形四邊形PMANPMAN是正方形是正方形; ; 證明證明: :(1)(1)因為四邊形因為四邊形ABCDABCD是正方形是正方形, , 所以所以BAD=90BAD=90,AC,AC平分平分BAD,BAD, 因為因為PMAD,PNAB,PMAD,PNAB, 所以所以PM=PN,PMA=PNA=90PM=PN,PMA=PNA=90, , 所以四邊形所以四邊形PMANPMAN是正方形是正方形. . (2)(2)求證求證:EM=BN.:EM=BN. 證明證明: :(2)(2)由由(1)(1)中證明可知中證明可知 PM=PN,PM=PN,MPN=90MPN=90, , 因為因為EPB=90EP