全等三角形 經(jīng)典例題

1、數(shù)學(xué)期末考試范圍：數(shù)學(xué)期末考試范圍： 七七下：下：第第3,4,5,63,4,5,6章章 （整式的乘除、因（整式的乘除、因 式分解、分式、數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)圖表）式分解、分式、數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)圖表） 八八上上：第第1 1章（三角形的初步知識(shí)）章（三角形的初步知識(shí)） 第第22.12.322.12.3）（等腰三角形的）（等腰三角形的 性質(zhì)為止）性質(zhì)為止） 全等三角形 經(jīng)典例題 全等三角形全等三角形 全等三角形 經(jīng)典例題 如如圖，圖，BE=CDBE=CD，1=21=2，則，則AB=ACAB=AC嗎？為什嗎？為什 么？么？BD=CEBD=CE嗎嗎? ? 全等三角形 經(jīng)典例題 6. 如圖，如圖，CDAB于于D，BEAC

2、與與 E，BE、CD交于交于O，且，且AO平分平分 BAC，求證：，求證：OB=OC 圖中有幾對(duì)全等三角形圖中有幾對(duì)全等三角形? 全等三角形 經(jīng)典例題 如圖，已知如圖，已知RtABC RtADE，ABC ADE90， BC與與DE相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)F，連接，連接CD，EB.21 (1)圖中還有幾對(duì)圖中還有幾對(duì)全等三角形；全等三角形； (2)求證：求證：CFEF. 全等三角形 經(jīng)典例題 A B C P 條件：條件：AP平分平分BAC，PBAB，PCAC 0 112() 34=90 () 結(jié)結(jié)論論 ：角角平平分分線線的的意意義義 ； 垂垂直直的的意意義義 ； 2() () PBPC 結(jié)結(jié)論論 ：角角

3、平平分分線線的的性性質(zhì)質(zhì)定定理理 角角平平分分線線上上的的點(diǎn)點(diǎn)到到角角兩兩邊邊的的距距離離相相等等 3 () 5= 6 () PABPAC ABAC 結(jié)結(jié)論論 ： 全全等等三三角角形形的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)邊邊相相等等 全全等等三三角角形形的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)角角相相等等 1 2 3 4 5 6 全等三角形 經(jīng)典例題 A B D C P O 條件：條件：CD是線段是線段AB的中垂線的中垂線 1;()AOBO CDAB結(jié)結(jié)論論 ：中中垂垂線線的的意意義義 ； 2()PAPB 結(jié)結(jié)論論 ：中中垂垂線線的的性性質(zhì)質(zhì)定定理理 ； 3 12; 34 () PAOPBO 結(jié)結(jié)論論 ：； 全全等等三三角角形形的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)角角

4、相相等等 12 34 全等三角形 經(jīng)典例題 要修建一個(gè)超市要修建一個(gè)超市P，要滿足三個(gè)村莊，要滿足三個(gè)村莊A、B、C 都到超市的距離相等都到超市的距離相等(村莊的位置形成一個(gè)三村莊的位置形成一個(gè)三 角形角形)，請(qǐng)問如何確定這個(gè)超市的位置，說明，請(qǐng)問如何確定這個(gè)超市的位置，說明 理由？理由？ A B C P P如如圖圖：點(diǎn)點(diǎn) 為為所所求求位位置置 全等三角形 經(jīng)典例題 3、有三條筆直的公路a,b,c，要修建一個(gè)水 電站O，使點(diǎn)O到三條公路的距離相等. 這樣的點(diǎn)這樣的點(diǎn) 有幾個(gè)？有幾個(gè)？ 各內(nèi)角與外角的角平分線各內(nèi)角與外角的角平分線 4個(gè)個(gè) 全等三角形 經(jīng)典例題 6 6、作圖，你能否找出一個(gè)點(diǎn)，使

5、作圖，你能否找出一個(gè)點(diǎn)，使 它到線段它到線段ABAB兩端點(diǎn)的距離相等，并兩端點(diǎn)的距離相等，并 且到且到CODCOD兩邊的距離也相等兩邊的距離也相等 C DO A B 全等三角形 經(jīng)典例題 試說明：試說明：三三角形角平分線的交點(diǎn)到三角形角平分線的交點(diǎn)到三 角形三邊的距離相等角形三邊的距離相等 若若三角形三條邊邊長(zhǎng)分別為三角形三條邊邊長(zhǎng)分別為a,b,ca,b,c， 三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三條邊三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三條邊 的距離為的距離為r r，則三角形的面，則三角形的面積積 為為_ rcba)( 2 1 全等三角形 經(jīng)典例題 手拉手模型手拉手模型 全等三角形 經(jīng)典例題 常見圖形常見圖形5

6、(背靠背背靠背) 例例3：把兩個(gè)含有把兩個(gè)含有45角的直角三角板如圖角的直角三角板如圖 1放置，點(diǎn)放置，點(diǎn)D在在BC上，連結(jié)上，連結(jié)BE，AD，AD 的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線交BE于點(diǎn)于點(diǎn)F求證求證：(1)BE=AD； (2) AFBE A F B CE D 全等三角形 經(jīng)典例題 變形_1: 以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作二個(gè)等腰直角等腰直角三角三角 形形（ABC，ADE），如圖所示，連接 BD，CE （1）求證：BD=CE （2）求BFC的度數(shù) 如圖,已知 中, ,BE ,CF 都是 的高,P 是BE 上一點(diǎn)且BP=AC ,Q 是CF 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且CQ=AB ,連接AP ,AQ ,QP ,求證: 全等三角形 經(jīng)

7、典例題 以點(diǎn)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作為頂點(diǎn)作二二個(gè)個(gè)等邊三角形等邊三角形 （ABC，ADE），連接），連接CD，連接，連接 BE. 有有哪些結(jié)論？哪些結(jié)論？ 全等三角形 經(jīng)典例題 變形_2: ：以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作二個(gè)等邊三角等邊三角 形形（ABC，ADE），連接CD，連接 BE. （1）求證：BD=CE （2）求BFC的度數(shù) 全等三角形 經(jīng)典例題 已知如圖，已知如圖，ABC與與EDC都是等邊三角都是等邊三角 形，且形，且ADE在同一條直線上，若在同一條直線上，若 DBE86 則則ADB A E D C B 全等三角形 經(jīng)典例題 例三：已知在已知在ABC中，中，AB=AC，在，在ADE中，中， AD=AE，且

8、，且1=2，請(qǐng)問，請(qǐng)問BD=CE嗎？嗎？ 2 1 圖13 全等三角形 經(jīng)典例題 如圖（如圖（1 1），等邊），等邊ABCABC 中，中，D D是是ABAB邊上的動(dòng)點(diǎn)，邊上的動(dòng)點(diǎn)， 以以CDCD為一邊，向上作等邊為一邊，向上作等邊DECDEC ，連結(jié)，連結(jié)AEAE。 1 1）試說明）試說明AEAEBCBC的理由的理由 3 3）如圖（）如圖（2 2），將（），將（1 1）中點(diǎn)）中點(diǎn)D D運(yùn)動(dòng)到邊運(yùn)動(dòng)到邊BABA的延長(zhǎng)的延長(zhǎng) 線上，所作仍為等邊三角形。請(qǐng)問是否仍有線上，所作仍為等邊三角形。請(qǐng)問是否仍有 AEAEBCBC？證明你的猜想。？證明你的猜想。 (1) E D C B A (2) E D C

9、B A 全等三角形 經(jīng)典例題 如圖如圖, ,已知在已知在ABC中中,ABAC,ABAC,BEBE , ,CFCF 都都 是是ABC高高, ,P P 是是BEBE 上上一點(diǎn)一點(diǎn)且且BPBP= =ACAC , ,Q Q 是是CFCF 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且CQCQ= =ABAB , ,連接連接 APAP , ,AQAQ , ,QPQP , ,求證求證: : （1）AP=AQ ; （2）APAQ . 全等三角形 經(jīng)典例題 如圖如圖1313，已知，已知BAC=BAC=DAEDAE，1=1=2 2， BD=CEBD=CE，請(qǐng)說明，請(qǐng)說明ABDABDACEACE嗎嗎？為什么？為什么？ 全等三角形 經(jīng)

10、典例題 如圖，已知如圖，已知ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90，直角，直角 EPFEPF的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)P P是是BCBC中點(diǎn)，兩邊中點(diǎn)，兩邊PEPE、PFPF分別交分別交ABAB、ACAC 于點(diǎn)于點(diǎn)E E、F F，給出以下四個(gè)結(jié)論：，給出以下四個(gè)結(jié)論：(1)AE=CF(1)AE=CF； (2)(2)EPFEPF是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；(3) (3) ； (4)(4)當(dāng)當(dāng)EPFEPF在在ABCABC內(nèi)繞頂點(diǎn)內(nèi)繞頂點(diǎn)P P旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)時(shí)EF=AP(EF=AP(點(diǎn)點(diǎn)E E 不與不與A A、B B重合重合) )。上述結(jié)論中始終正確的有。上述結(jié)論中始終正確的有()

11、() ABCAEPF S 2 1 S 四邊形 全等三角形 經(jīng)典例題 截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線 要證明兩條線段之和等于第三條線段，可要證明兩條線段之和等于第三條線段，可 以采取以采取“截長(zhǎng)補(bǔ)短截長(zhǎng)補(bǔ)短”法。法。 截長(zhǎng)法截長(zhǎng)法，即，即在較長(zhǎng)線段上截取一段等在較長(zhǎng)線段上截取一段等 于兩較短線段中的一條，再證剩下的一段于兩較短線段中的一條，再證剩下的一段 等于另一段較短線段。等于另一段較短線段。 補(bǔ)短補(bǔ)短法法，即把兩短線段補(bǔ)成一條，再即把兩短線段補(bǔ)成一條，再 證它與長(zhǎng)線段相等。證它與長(zhǎng)線段相等。 全等三角形 經(jīng)典例題 如如圖，在四邊形圖，在四邊形ABCD中，中，AB/DC，BE， CE分別

12、平分分別平分ABC，BCD，且點(diǎn)，且點(diǎn)E在在 AD上上.求證：求證：BC=AB+DC. 常規(guī)結(jié)論有哪些：常規(guī)結(jié)論有哪些： 全等三角形 經(jīng)典例題 如如圖，在四邊形圖，在四邊形ABCD中，中，AB/DC，BE， CE分別平分分別平分ABC，BCD，且點(diǎn)，且點(diǎn)E在在 AD上上.求證：求證：BC=AB+DC. 全等三角形 經(jīng)典例題 如如圖，圖，ABC的兩條角平分線的兩條角平分線BD，CE交交 于點(diǎn)于點(diǎn)O，A=60.求證：求證：CD+BE=BC. 在線段在線段BC取點(diǎn)取點(diǎn)F，使得，使得BF=BE，連結(jié)，連結(jié)OF。 結(jié)論結(jié)論1：BOE BOF， 需要證：需要證：CF=CD 你能有哪些結(jié)論？你能有哪些結(jié)論？

13、 角平分線，構(gòu)箏形角平分線，構(gòu)箏形 線段和差，截長(zhǎng)補(bǔ)短線段和差，截長(zhǎng)補(bǔ)短 全等三角形 經(jīng)典例題 如如圖，圖，ABC的兩條角平分線的兩條角平分線BD，CE交交 于點(diǎn)于點(diǎn)O，A=60.求證：求證：CD+BE=BC. 在線段在線段BA或延長(zhǎng)線上取點(diǎn)或延長(zhǎng)線上取點(diǎn)H，使得，使得BH=BC， 連結(jié)連結(jié)OH。 結(jié)論：結(jié)論：BOH BOC 要證：要證：EH=CD 即即證：證：EOH DOC 全等三角形 經(jīng)典例題 如如圖，圖，ABC的兩條角平分線的兩條角平分線BD，CE交交 于點(diǎn)于點(diǎn)O，A=60.求證：求證：CD+BE=BC. 在線段在線段BA或延長(zhǎng)線上取點(diǎn)或延長(zhǎng)線上取點(diǎn)H，使得，使得CD=EH， 連結(jié)連結(jié)O

14、H。 要證要證BOH BOC， 已已有條件有條件BO=BO， HBO=CBO. 原因：沒有用到角平分線模型原因：沒有用到角平分線模型 全等三角形 經(jīng)典例題 如如圖，圖，ABC的兩條角平分線的兩條角平分線BD，CE交交 于點(diǎn)于點(diǎn)O，A=60.求證：求證：CD+BE=BC. 方法總結(jié)：方法總結(jié)： BE=BFBH=BC 統(tǒng)一模型：角平分線統(tǒng)一模型：角平分線軸軸對(duì)稱模型對(duì)稱模型 全等三角形 經(jīng)典例題 如如圖，圖，ABC的兩條角平分線的兩條角平分線BD，CE交交 于點(diǎn)于點(diǎn)O，A=60.求證：求證：CD+BE=BC. 想一想，你還有什么方法？想一想，你還有什么方法？ 提示：利用角平分線性質(zhì)定理提示：利用角

15、平分線性質(zhì)定理. 全等三角形 經(jīng)典例題 例例7、已知：如圖所示，、已知：如圖所示，ABCD，PB和和PC分別分別 平分平分ABC和和DCB，AD過點(diǎn)過點(diǎn)P，且與，且與AB垂垂 直直 求證：求證：PA=PD E 全等三角形 經(jīng)典例題 在在ABC中，中，C=90，AD平分平分 BAC，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，且上，且 CF=EB ，求證：，求證： （1）BD=DF （2）AB+AF=2AE 全等三角形 經(jīng)典例題 變：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分 BAD，CEAB于點(diǎn)E，ADC與ABC 互補(bǔ). 求證：2AE=AD+AB 全等三角形 經(jīng)典例題 如如圖，在圖，在四邊形四邊形ABCD中，中，A

16、C平分平分BAD， CEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E，2AE=AD+AB.求求 ADC+ABC的度數(shù)的度數(shù). 全等三角形 經(jīng)典例題 如圖如圖,在四邊形在四邊形ABCD中中,AC平分平分 BAD,CEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E,且且B+D=180. 求證：求證：AE=AD+BE. F 全等三角形 經(jīng)典例題 如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)， F是AD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE. (1)求證：CE=CF; (2)若點(diǎn)G在AD上，且GCE=45，則 GE=BE+GD成立嗎？為什么？ 全等三角形 經(jīng)典例題 (變式)如圖，在正方形ABCD中，E是AB上 一點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，且EF=BE+FD. 求證：FC平分EFD.

17、全等三角形 經(jīng)典例題 在在ABC中，中，AD平分平分BAC,AB+BD=AC,求求 B: C 全等三角形 經(jīng)典例題 已知：如圖，在ABC中，ABAC， 1=2，P為AD上任一點(diǎn) 求證：AB-ACPB-PC。 全等三角形 經(jīng)典例題 倍長(zhǎng)中線倍長(zhǎng)中線 全等三角形 經(jīng)典例題 1 1. .在在ABCABC中中, ,AB=8,AC=6,AB=8,AC=6,則則BCBC上的中線上的中線ADAD的的 取值范圍取值范圍. . A A B BC C D E 全等三角形 經(jīng)典例題 1.有兩邊和第三邊上中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè) 三角形全等。 全等三角形 經(jīng)典例題 . . 1.已知：如圖，在和中， ，和是和上的中線， 且

18、求證： ABCA B CABA B ACA CADA DBCB C ADA D ABCA B C 全等三角形 經(jīng)典例題 2.已知：如圖AC=BD，CAD=CDA， AE是ACD的中線. 求證：B=CAE 全等三角形 經(jīng)典例題 變式：如圖，在ABC中，BD=CD=AC， E是DC的中點(diǎn)，求證： (1)AD平分BAE. (2)AB=2AE 全等三角形 經(jīng)典例題 3.如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC，E是 CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE，BE，BEAE.求證： AB=BC+AD. 全等三角形 經(jīng)典例題 4.已知：如圖，AD為ABC的中線， ADB，ADC的平分線分別交AB于E、 交AC于F求證：BE+CF

19、EF 全等三角形 經(jīng)典例題 5.如圖，已知在ABC中，ACB=90， AC=BC，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D， AEBD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證： BD=2AE. F 全等三角形 經(jīng)典例題 全等三角形 經(jīng)典例題 (1)如圖如圖1：在四邊形：在四邊形ABCD中，中，AB=AD， BAD=120，B=ADC=90E，F(xiàn) 分別是分別是BC，CD上的點(diǎn)且上的點(diǎn)且 EAF=60探究圖中線段探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D 之間的數(shù)量關(guān)系之間的數(shù)量關(guān)系 全等三角形 經(jīng)典例題 (2)如圖如圖2，若在四邊形，若在四邊形ABCD中，中，AB=AD， B+D=180E，F(xiàn)分別是分別是BC，CD上上 的點(diǎn)，且的點(diǎn)，且

20、EAF= BAD，上述結(jié)論是否，上述結(jié)論是否 仍然成立，并說明理由；仍然成立，并說明理由； 全等三角形 經(jīng)典例題 三垂直三垂直 全等三角形 經(jīng)典例題 P31 EX17P31 EX17 （1）如圖甲所示，在）如圖甲所示，在ABC中，中， BAC=90，AB=AC，直線直線m經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A， BD直線直線m，垂足為垂足為D， CE直線直線m，垂垂 足為足為E.證明：證明：DE=BD+CE. 全等三角形 經(jīng)典例題 (2)如圖乙所示，將第（如圖乙所示，將第（1）題中的條件改為）題中的條件改為 在在ABC中，中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直三點(diǎn)都在直 線線m上，并且有上，并且有BDA=AEC=BAC

21、=， 其中其中為任意銳角為任意銳角.請(qǐng)問結(jié)論請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否是否 成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng) 說明理由說明理由. 全等三角形 經(jīng)典例題 P31 EX16P31 EX16 如圖，過正方形如圖，過正方形ABCD的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)B作直線作直線L， 過過A，C，D作作L的垂線垂足分別為點(diǎn)的垂線垂足分別為點(diǎn)E， F，G若若AE=2，CF=6，則，則CF+AE+DG 的值為的值為 全等三角形 經(jīng)典例題 P30 EX12P30 EX12 如圖，如圖，在在ABC中，中，C=90，P、E分分 別是邊別是邊AB、BC上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，D為為ABC外一外一 點(diǎn)點(diǎn)，DEBC，DE=EC，BE=2EC， BDE=PEC，ADPE，AC=4，則，則 線段線段BC的的長(zhǎng)為長(zhǎng)為 。 全等三角形 經(jīng)典例題 如圖，如圖，AEAB且且