現(xiàn)代信號(hào)處理試題[習(xí)題教學(xué)]

1、1、已知式中=100HZ,以采樣頻率=400Hz對進(jìn)行采樣，得到采樣信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)，試完成下面各題：（1）寫出的傅里葉變換表示式；（2）寫出和的表達(dá)式；（3）分別求出的傅里葉變換和的傅里葉變換。解：（1） 上式中指數(shù)函數(shù)和傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù)函數(shù)，它的傅里葉變換可以表示成：（2）2、用微處理器對實(shí)數(shù)序列作譜分析，要求譜分辨率，信號(hào)最高頻率1KHz,是確定以下各參數(shù)：（1）最小記錄時(shí)間（2）最大取樣時(shí)間（3）最少采樣點(diǎn)數(shù)（4）在頻帶寬度不變的情況下將頻率分辨率提高一倍的N值。解：（1）已知（2） （3） （4）頻帶寬度不變就意味著采樣間隔不變，應(yīng)該使記錄時(shí)間擴(kuò)大一倍為0.04s實(shí)頻

2、率分辯率提高1倍（變成原來的）3、在時(shí)域?qū)σ挥邢揲L的模擬信號(hào)以4KHZ采樣，然后對采到的N個(gè)抽樣做N點(diǎn)DFT，所得離散譜線的間距相當(dāng)于模擬頻率100HZ。某人想使頻率能被看得清楚些，每50HZ能有一根譜線，于是他用8KHZ采樣，對采到的2N個(gè)樣點(diǎn)做2N點(diǎn)DFT。問：他的目的能達(dá)到嗎？答：不能，因?yàn)樗雎粤藬?shù)字頻率和模擬頻率的區(qū)別。 提高采樣頻率 ， 固然大了，數(shù)字頻率（單位圓）上的樣點(diǎn)數(shù)確實(shí)增加了，但從模擬頻率譜看，樣點(diǎn)一點(diǎn)也沒有變得密集，這是因?yàn)閿?shù)字頻率總是對應(yīng)模擬頻率 。采樣頻率由到2 增加一倍，也增加一倍，但模擬頻率的采樣間隔 一點(diǎn)也沒有變。所以，增大采樣頻率，只能提高數(shù)字頻率的分辨率

3、，不能提高模擬頻率的分辨率。4、在A/D變換之前和D/A變換之后都要讓信號(hào)通過一個(gè)低通濾波器，他們分別起什么作用？解：在 變換之前讓信號(hào)通過一個(gè)低通濾波器，是為了限制信號(hào)的最高頻率，使其滿足當(dāng)采樣頻率一定時(shí)，采樣頻率應(yīng)大于等于信號(hào)最高頻率2倍的條件。此濾波器亦稱為“抗折疊”濾波器。 在 變換之后都要讓信號(hào)通過一個(gè)低通濾波器，是為了濾除高頻延拓譜，以便把抽樣保持的階梯形輸出波平滑化，故又稱為“平滑”濾波器。5、已知，分析其因果性和穩(wěn)定性。解： 的極點(diǎn)為，（1） 收斂域，對應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)，這是一個(gè)因果序列，但不收斂。（2） 收斂域，對應(yīng)

4、的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)，這是一個(gè)非因果且不收斂的序列。（3） 收斂域，對應(yīng)的系統(tǒng)是一個(gè)非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)，這是一個(gè)收斂的雙邊序列。6、什么叫做數(shù)字濾波器？FIR和IIR的比較和各自的設(shè)計(jì)方案？答：所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過一定運(yùn)算關(guān)系改變信號(hào)所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。FIR：有限脈沖響應(yīng)濾波器IIR：無限脈沖響應(yīng)濾波器 IIR極點(diǎn)可存在與單位圓的任何地方,有較強(qiáng)的幅度選擇性,但相位特性差。 FIR相位呈線性，但幅度特性需高階才可調(diào)節(jié)的較好。 FIR計(jì)算不產(chǎn)生振蕩,誤差影響小,可以采

5、用FFT算法。 IIR有穩(wěn)定問題，有限字長可能產(chǎn)生振蕩，同階遞歸算法速度受到限制。 IIR可用模擬濾波器成果，得到有效的封閉式公式，設(shè)計(jì)工作量小，要求低。 FIR僅窗函數(shù)有公式，但無顯式表達(dá)通、阻帶，需要計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。 IIR設(shè)計(jì)已規(guī)格化，頻率特性為分段常數(shù)的濾波器。 FIR主要適應(yīng)特殊應(yīng)用，且高階IIR不易達(dá)到指標(biāo)的濾波器。數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)直接設(shè)計(jì)：原型變換（由一低通經(jīng)過頻率變形設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻等）頻域設(shè)計(jì)（零、極點(diǎn)配置；幅度平方函數(shù)），時(shí)域設(shè)計(jì)（帕德（Pade）逼近；波形形成） 優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)（依據(jù)一定的優(yōu)化準(zhǔn)則進(jìn)行設(shè)計(jì)）數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)線性相位： 零點(diǎn)的鏡像存在。偶對稱： 奇對稱：

6、窗函數(shù)（時(shí)域加權(quán)平均）：矩形，三角，余弦，布萊克曼(Blackman)系列，凱塞(Kaiser)系列，高斯頻率取樣：在H(z)的單位圓上等分取樣(是否帶初相)優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)：（依據(jù)一定的優(yōu)化準(zhǔn)則進(jìn)行設(shè)計(jì)）7、有一連續(xù)信號(hào)式中， ,1) 求的周期；2) 用采樣間隔T=0.02S對進(jìn)行采樣，寫出采樣信號(hào)的表達(dá)式；3) 畫出對應(yīng)的時(shí)域離散信號(hào)（序列的波形，并求出的周期。解：（1）的周期是（2）（3）的數(shù)字頻率為，周期。，畫出其波形如題12解圖所示。8：長度為N=10的兩個(gè)有限長序列 作圖表示、和(圓周卷積)，循環(huán)卷積區(qū)間長度L=10。解：、和分別如題3解圖（）、（）、（）所示9：若序列是因果序列，其傅

7、里葉變換的實(shí)部為，求序列的及其傅里葉變換H(ejw)。解：10、什么是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程？什么是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程？它們之間有什么聯(lián)系？答：若一個(gè)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望與時(shí)間無關(guān)，而其相關(guān)函數(shù)僅與有關(guān)，則稱這個(gè)隨機(jī)過程是寬平穩(wěn)的或廣義平穩(wěn)的。所謂嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程是指它的任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。嚴(yán)平穩(wěn)的隨機(jī)過程一定是寬平穩(wěn)的，反之則不然。11、寫出香農(nóng)公式表示式，簡述香農(nóng)公式的含義？答：若噪聲的單邊功率譜密度為，則在信道帶寬內(nèi)的噪聲功率為。香農(nóng)公式可以表示為：。香農(nóng)公式的意義：公式表明增大信號(hào)功率或減小噪聲功率（或減小噪聲功率譜密度）可以增加信道容量，增大信道帶寬也可以增加信道容量，但不

8、能使信道容量無限制增大。香農(nóng)公式給出了通信系統(tǒng)所能達(dá)到的極限信息傳輸速率。12、為消除碼間干擾，基帶系統(tǒng)特性應(yīng)滿足什么條件？答：碼間干擾是指接收信號(hào)中除當(dāng)前碼元波形以外的其它碼元波形在當(dāng)前抽樣時(shí)刻的總和，它對當(dāng)前碼元ak的判決起著干擾作用，所以稱為碼間干擾。若想消除碼間干擾應(yīng)有，假設(shè)延遲，無碼間串?dāng)_的基帶系統(tǒng)應(yīng)滿足： 時(shí)域條件：頻域條件為： 13、某寬帶調(diào)頻系統(tǒng)，調(diào)制信號(hào)為，載頻，最大的頻率偏移，信道噪聲的單邊功率譜密度。若要求系統(tǒng)解調(diào)器輸出信噪比為30dB。試求：（1） 調(diào)頻指數(shù) ？（2） 調(diào)頻信號(hào)的帶寬 ？（3） 調(diào)頻信號(hào)的頻域表達(dá)式？解： （1）（2） 得： 故14、已知電話信道的帶寬為

9、3.4kHZ，信道輸出信噪比S/N=30dB,該信道輸出128個(gè)符號(hào)，個(gè)符號(hào)等概率出現(xiàn)且相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，試求：（1） 該電話信道的信道容量。（2） 無誤碼時(shí)最高的傳輸符號(hào)速率。解：（1） （2） 取模的平方FFT觀測數(shù)據(jù)x(n)15、自設(shè)試題： 1/N（1）在描述隨機(jī)信號(hào)的頻率特性時(shí)為什么不用信號(hào)的傅里葉變換而改用功率譜估計(jì)？（2）觀察上述框圖，說出這是哪一種經(jīng)典功率譜估計(jì)的方法，并寫出描述估計(jì)關(guān)系式。（3）根據(jù)維納-辛欽定理及相關(guān)估計(jì)方法寫出另一種經(jīng)典功率譜估計(jì)描述估計(jì)關(guān)系式，結(jié)合框圖或關(guān)系式說明上述框圖所示方法的優(yōu)點(diǎn)。（4）兩種經(jīng)典功率譜估計(jì)都有一個(gè)致命的缺點(diǎn)，請簡要說明并寫出常用的改進(jìn)方法

10、的名稱。解：1.對于隨機(jī)信號(hào)，其傅里葉變換并不存在，因此轉(zhuǎn)向研究其功率譜。2.圖中所示的是周期圖法3. 周期圖法簡單，不用估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，且可以用FFT進(jìn)行計(jì)算。4.經(jīng)典譜估計(jì)得致命缺點(diǎn)是頻率分辨率低，其原因是傅里葉變換域是無限大，而用作估計(jì)的觀察數(shù)據(jù)只有有限個(gè)，認(rèn)為剩余的數(shù)據(jù)為0，造成系統(tǒng)偏差。改進(jìn)的方法有：1.平均周期法2.窗函數(shù)法3.修正的周期圖求平均法。16、如圖所示的RC電路，若輸入電壓的功率譜密度為X（），求輸出電壓的功率譜密度Y（）。RCY()X()解：RC電路系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為 H（） = = H（）= 由線性系統(tǒng)的輸出譜密度與輸入譜密度之間的關(guān)系可得：Y（） = H（）*

11、X（）= 17、已知LTI系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為h（t），輸入是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程X（t），輸出是Y（t），求三者間的關(guān)系？解：平穩(wěn)隨機(jī)過程經(jīng)過LTI系統(tǒng)輸出還是平穩(wěn)隨機(jī)過程，所以其中是卷積運(yùn)算。18、常用的自適應(yīng)濾波理論與算法有哪些？從理論上講，自適應(yīng)濾波問題沒有惟一的解。為了得到自適應(yīng)濾波器及其應(yīng)用系統(tǒng)，可以采用各種不同的遞推算法，這些自適應(yīng)算法都有各自的特點(diǎn)，適用于不同場合。常用的自適應(yīng)濾波理論與算法有：（1）、基于維納濾波理論的方法。（2）、基于卡爾曼濾波理論的方法。（3）、基于最小二乘準(zhǔn)則的方法。（4）、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論的方法。19、簡述自適應(yīng)信號(hào)處理技術(shù)的應(yīng)用 自適應(yīng)濾波處理技術(shù)可以用來檢測

12、平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)。常應(yīng)用于：（1）、自適應(yīng)濾波與逆濾波。（2）、系統(tǒng)辨識(shí)。（3）、自適應(yīng)均衡。（4）、自適應(yīng)回波抵消。（5）、自適應(yīng)噪聲抵消與譜線增強(qiáng)。（6）、自適應(yīng)譜估計(jì)。（7）、自適應(yīng)波束形成。（8）、自適應(yīng)神經(jīng)智能信息處理。（9）、盲自適應(yīng)信號(hào)處理。20、設(shè)為一隨機(jī)電報(bào)信號(hào)，其樣本函數(shù)如圖1所示，取+1，-1概率相等，在時(shí)間間隔內(nèi)波形變號(hào)次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，即：求的自相關(guān)函數(shù)。10-1t解：在時(shí)間間隔內(nèi)可能變號(hào)偶次，將同時(shí)去+1或-1，若變號(hào)奇次，將異號(hào)。當(dāng)時(shí)， 顯然當(dāng)時(shí)，21、設(shè)，其中和是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，在（0，）均勻分布，試討論的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。解：所以，是廣義

13、平穩(wěn)過程。因此，具有均值各態(tài)歷經(jīng)性。因此，不具有自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性。22、從最速下降法出發(fā)： 其中，是第j+1個(gè)抽樣時(shí)刻的濾波器權(quán)矢量， 控制收斂穩(wěn)定性和速率， 是誤差-性能曲面的真實(shí)梯度，推導(dǎo)自適應(yīng)噪聲消除的 Widrow-Hopf 的LMS算法。解答： 梯度矢量，初級(jí)輸入與刺激輸入的互相關(guān)P以及初級(jí)輸入的自相關(guān)R之間的關(guān)系為： =在LMS算法中，使用的瞬時(shí)估計(jì)，則有 =-2+2=-2+2 (1) =- 其中 用（1）式替換最速下降法的梯度，我們得到基本的Widrow-Hopf 的LMS算法： 其中 =23、自適應(yīng)濾波器的特點(diǎn)及應(yīng)用范圍答案：由于濾波器的參數(shù)可以按照某種準(zhǔn)則自動(dòng)地調(diào)整到滿足

14、最佳濾波的要求；實(shí)現(xiàn)時(shí)不需要任何關(guān)于信號(hào)和噪聲的自相關(guān)特性，尤其當(dāng)輸入統(tǒng)計(jì)特性變化時(shí)，自適應(yīng)濾波器都能調(diào)整自身的參數(shù)來滿足最佳濾波的需要，即具有學(xué)習(xí)和跟蹤的性能。當(dāng)符合下面幾個(gè)情況時(shí)都可以應(yīng)用自適應(yīng)濾波(1)需要濾波器特性變化以自適應(yīng)改變的情況時(shí)（2）當(dāng)信號(hào)和噪聲存在頻譜重疊時(shí)（3）噪聲占據(jù)的頻譜是時(shí)變或未知。例如電話回聲對消，雷達(dá)信號(hào)處理，導(dǎo)航系統(tǒng)，通信信道均衡和生物醫(yī)學(xué)信號(hào)增強(qiáng)。24、已知輸入信號(hào)向量U(n)的相關(guān)矩陣及期望響應(yīng)信號(hào)的互相關(guān)向量分別為 R= ，且已知期望響應(yīng)的平均功率為E=30(1) 計(jì)算維納濾波的最優(yōu)權(quán)向量；(2) 推導(dǎo)誤差性能面的表達(dá)式；(3) 計(jì)算最小均方誤差。答案：

15、（1）由可得= （2）假設(shè)在時(shí)刻，輸入信號(hào)為，橫向?yàn)V波器輸出信號(hào)（3）把代入得：25、怎樣判斷隨機(jī)過程是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程？并證明隨機(jī)過程是寬平穩(wěn)過程，其中，Y , Z是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且。答：（1）如果滿足，如下條件：（a）是二階矩過程；（b）對任意，常數(shù)；（c）對任意，。則判定是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。（2）證明：因?yàn)閅,Z是相互獨(dú)立的隨機(jī)過程，且，所以=常數(shù)，只與時(shí)間間隔有關(guān)，與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。所以，是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。26、若均方連續(xù)的實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則其自相關(guān)函數(shù)具有那些常用性質(zhì)？在計(jì)算其功率譜時(shí)有什么作用？答：（1）具有如下常用性質(zhì)：（a）（b）=，是實(shí)偶函數(shù)；（c）|；（d）若是周期為T的周

16、期函數(shù)，即=，則；（e）若是不含周期分量的非周期過程，當(dāng)時(shí)，與相互獨(dú)立，則。（2）若，根據(jù)辛欽維納定理 = 自相關(guān)函數(shù)和功率譜是一對傅里葉變換對。27、從隨機(jī)過程的平穩(wěn)性上考慮，卡爾曼濾波的適用范圍？答案：卡爾曼濾波不僅適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程，同樣也適用于非平穩(wěn)隨機(jī)過程。28、簡述基于卡爾曼濾波理論的方法。答： 為使自適應(yīng)濾波器能工作在工作在平穩(wěn)或非平穩(wěn)的環(huán)境，可以借助于卡爾曼濾波器來推導(dǎo)自適應(yīng)濾波算法?？柭鼮V波是線性無偏最小方差遞推濾波，估計(jì)性能是最優(yōu)的，且遞推計(jì)算形式又能適應(yīng)實(shí)時(shí)處理的需要對于一個(gè)線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的卡爾曼濾波問題，可以用狀態(tài)方程和測量方程來描述，前者以狀態(tài)矢量刻畫系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)，后者

17、描述系統(tǒng)中的測量誤差。假設(shè)研究離散線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的N維參數(shù)的狀態(tài)矢量為，M維觀察數(shù)據(jù)的測量矢量為，通常矢量和都是隨機(jī)變量，由他們表示系統(tǒng)模型的狀態(tài)方程和測量分別為 式1 式2其中為系統(tǒng)在和時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，為已知的測量矩陣系統(tǒng)動(dòng)態(tài)噪聲和觀察噪聲的統(tǒng)計(jì)特性為， 式3， 式4 式5“H”表示共軛轉(zhuǎn)置；當(dāng)n=k，nk=1，當(dāng)nk，nk=0；噪聲矢量和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。根據(jù)觀察數(shù)據(jù)的測量矢量，可求出系統(tǒng)狀態(tài)的線性無偏最小方差估計(jì)。當(dāng)時(shí)，這種最佳估計(jì)問題成為卡爾曼濾波；當(dāng)時(shí)，則稱為最優(yōu)預(yù)測；兩者之間存在密切的關(guān)系。29、設(shè)有兩個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)如圖所示，它們的頻率響應(yīng)函數(shù)分別為和。若兩個(gè)系統(tǒng)輸入同一個(gè)均值為零的

18、平穩(wěn)過程，它們的輸出分別為、。問如何設(shè)計(jì)和才能使、互不相關(guān)。解答：其中，上式表明與的互相關(guān)函數(shù)只是時(shí)間函數(shù)的函數(shù)。由故當(dāng)設(shè)計(jì)兩個(gè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的振幅頻率特性沒有重疊時(shí)，則=0，從而有=0=，即與互不相關(guān)。30、什么叫白噪聲?答: 白噪聲是指功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)均勻分布的噪聲。 所有頻率具有相同能量的隨機(jī)噪聲稱為白噪聲。理想的白噪聲具有無限帶寬，因而其能量是無限大31、設(shè)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號(hào)以等時(shí)間間隔取樣后得到離散時(shí)間隨機(jī)序列。為使是白色隨機(jī)序列，討論應(yīng)滿足什么條件？ 解：設(shè)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜分別為和，的自相關(guān)序列和功率譜分別為 和。 根據(jù)定義,有 按照定義，自相關(guān)序列為 因此就是以周期對

19、的等間隔取樣。根據(jù)上式和的定義，有 另一方面，根據(jù)S(e)的定義，有 將式表示成無限個(gè)積分之和，其中每個(gè)積分都在長為的區(qū)間上進(jìn)行，即 變量置換：，即得 交換求和與積分的次序，考慮到對于所有整數(shù)和有，因此再將代入式中，得 比照式與式，得 或 如果是白色隨機(jī)序列,則它的自相關(guān)序列應(yīng)當(dāng)是一個(gè)幅度為的沖激序列,即 上式代入式,得 由式、有 ，上式表明，若要是白色隨機(jī)序列，則要求=常數(shù)。32、用雷達(dá)測量地球和月球之間的距離，測量過程用下列方程描述其中是均值為零，方差為的白噪聲序列，它表示測量誤差。為了提高測量精度，現(xiàn)采用以下兩種濾波器分別對進(jìn)行處理，試比較其方差的大小。濾波器濾波器式中。解答：兩個(gè)濾波器

20、的系統(tǒng)函數(shù)分別為因此兩濾波器的直流增益，無直流失真。兩濾波器輸出噪聲平均功率為因此33、簡述經(jīng)典功率譜估計(jì)與現(xiàn)代功率譜估計(jì)的差別。信號(hào)的頻譜分析是研究信號(hào)特性的重要手段之一，通常是求其功率譜來進(jìn)行頻譜分析。功率譜反映了隨機(jī)信號(hào)各頻率成份功率能量的分布情況，可以揭示信號(hào)中隱含的周期性及靠得很近的譜峰等有用信息，在許多領(lǐng)域都發(fā)揮了重要作用。然而，實(shí)際應(yīng)用中的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通常是有限長的，只能根據(jù)有限長信號(hào)估計(jì)原信號(hào)的真實(shí)功率譜，這就是功率譜估計(jì)。 功率譜估計(jì)分為經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)。經(jīng)典譜估計(jì)是將數(shù)據(jù)工作區(qū)外的未知數(shù)據(jù)假設(shè)為零，相當(dāng)于數(shù)據(jù)加窗，主要方法有相關(guān)法和周期圖法；現(xiàn)代譜估計(jì)是通過觀測數(shù)據(jù)估

21、計(jì)參數(shù)模型再按照求參數(shù)模型輸出功率的方法估計(jì)信號(hào)功率譜，主要是針對經(jīng)典譜估計(jì)的分辨率低和方差性能不好等問題提出的。34、兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)信號(hào)和的互相關(guān)函數(shù)為：其中為單位階躍函數(shù)。求互功率譜密度和。解：直接查傅氏變換表，得利用互譜密度的性質(zhì)有 = =35、觀測信號(hào)為,其中有信號(hào)是為恒量平穩(wěn)序列，其統(tǒng)計(jì)特征已求得為 噪聲是零均值白噪聲，且與有用信號(hào)不相關(guān)，即 求維納濾波器？解：觀測的自相關(guān)函數(shù)為觀測有與有用信號(hào)之間的互相關(guān)函數(shù)為：則維納-霍甫方程式為： 由此得維納濾波器為：故濾波輸出為：36、平穩(wěn)信號(hào)形成的濾波器為其中為方差為0.64的零均值白噪聲。觀測信號(hào)為其中是零均值單位（即方差為1）白噪聲。求維

22、納濾波器（其脈沖響應(yīng)序列的項(xiàng)數(shù)指定為2）。解：由的形成濾波器得其頻率特性為的功率譜密度為：上式的收斂域必是包括平面單位圓在內(nèi)的環(huán)域，因?yàn)橹挥羞@樣譜密度才存在。則的自相關(guān)函數(shù)為上式的傅氏反變換即雙邊反變換：容易驗(yàn)證，符合上述收斂域的原函數(shù)為其中右邊序列的變換成。的自相關(guān)函數(shù)為另外，與的互相關(guān)函數(shù)為當(dāng)維納濾波器的脈沖響應(yīng)序列為2項(xiàng)時(shí)，維納-霍夫方程式為把算得的相關(guān)函數(shù)代入上式，得這就是維納濾波器的脈沖響應(yīng)函數(shù)。37、白噪聲的主要特點(diǎn)及其和色噪聲的區(qū)別，在實(shí)際運(yùn)用中為何可以成為重要噪聲模型。38、設(shè)觀測量由有用信號(hào)和與不相關(guān)的零均值白噪聲相加而成，即且已估計(jì)出它們的相關(guān)函數(shù)分別為（，-1，0，1）求

23、非因果維納濾波器的頻率特性。解：又有故有最后可得，非因果維納濾波器的頻率特性為41、令x(t)是一個(gè)是不變的標(biāo)量隨機(jī)變量，它在加性高斯白噪聲v(t)中被觀測，即y(t)=x(t)+v(t)為觀測數(shù)據(jù)，若用kalman濾波器自適應(yīng)估計(jì)x(t)，試設(shè)計(jì)kalman濾波器。（1） 構(gòu)造離散時(shí)間的狀態(tài)空間方程（2） 求出狀態(tài)變量想x(k)的更新公式。解：x(t)是一個(gè)時(shí)不變的隨機(jī)變量，故x(t)關(guān)于時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)等于0，即有=0這就是連續(xù)時(shí)間的狀態(tài)方程。觀測方程為y(t)=x(t)+v(t)令x(t)是一個(gè)具有均值、方差的隨機(jī)變量，記做x（，）;加性觀測噪聲v(t)的均值為0，方差為，記做v(t)（

24、0，）?，F(xiàn)在，用T=1作為采樣間隔，對x(t)和v(t)等離散化，則離散時(shí)間的狀態(tài)空間模型：x(n+1)=x(n)y(n)=x(n)+v(n)式中，加性觀測噪聲v(n)N（0，）.上述狀態(tài)空間模型的kalman濾波算法如下：g(n)=(n+1)=(n)+g(n)y(n)-(n)K(n+1,n)=K(n,n-1)1-g(n)=g(n)g(n)的一般表達(dá)式：由于K(1,0)=E|x(1)Ex(1)|=故當(dāng)n=1時(shí)有g(shù)(1)=K(2,1)=g(1)當(dāng)n=2時(shí)，則有g(shù)(2)=K(3,2)=g(2)=n=3時(shí)，有g(shù)(3)=K(4,3)=g(3)=若令g(n-1)=K(n,n-1)=g(n-1)=則g(n

25、)=k(n+1,n)=g(n)=42、卡爾曼濾波和維納濾波的關(guān)系及存在的問題。答：卡爾曼濾波有一個(gè)過渡過程，而在穩(wěn)態(tài)下與維納濾波有相同的結(jié)果，是因?yàn)樗鼈兌际且宰钚【秸`差為準(zhǔn)則的線性估計(jì)器?？柭鼮V波與維納濾波中解決最佳濾波的方法也不相同。維納濾波是用頻域及傳遞函數(shù)的方法，而卡爾曼濾波是用時(shí)域及狀態(tài)變量的方法，在理論上是維納濾波的推廣和發(fā)展，特別是在處理多變量系統(tǒng)，時(shí)變線性系統(tǒng)及非線性系統(tǒng)的最佳濾波等領(lǐng)域，提供了一種比較有效的方法，克服了基于頻域處理所遇到的困難。困難包括：維納濾波要求平穩(wěn)，而卡爾曼濾波則不要求；他容許初始時(shí)間不是負(fù)無窮大，這在很多情況下是有實(shí)際意義的；卡爾曼濾波的另一個(gè)不同點(diǎn)

26、是把狀態(tài)或信號(hào)過程的產(chǎn)生看成是白噪聲激勵(lì)有限維數(shù)系統(tǒng)的輸出；此外，維納濾波要求過程的自相關(guān)函數(shù)和互關(guān)函數(shù)的簡單(先驗(yàn))知識(shí)，而卡爾曼濾波則要求時(shí)域中狀態(tài)變量及信號(hào)產(chǎn)生過程的詳細(xì)知識(shí)?？柭鼮V波在時(shí)域上采用線性遞推形式對觀測值進(jìn)行處理，能實(shí)時(shí)地給出系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)，并突破了單維輸入和輸出的限制?？柭鼮V波算法的這些優(yōu)點(diǎn)使它在信號(hào)和信息系統(tǒng)中得到了比較廣泛的應(yīng)用?？柭鼮V波算法在具體應(yīng)用中也存在一些實(shí)際問題，包括：（1）模型誤差和數(shù)值發(fā)散。即使能夠獲得精確的模型，也常會(huì)因精確模型太復(fù)雜，維數(shù)過高而與實(shí)時(shí)處理必須減少計(jì)算量及盡量簡化模型的要求相矛盾。近似或化簡的模型與精確模型之間存在誤差，模型誤差

27、必然會(huì)給濾波帶來影響，嚴(yán)重時(shí)還會(huì)造成濾波結(jié)果不收斂。2）實(shí)時(shí)要求。影響卡爾曼濾波算法的實(shí)時(shí)性主要是狀態(tài)維數(shù)n和增益矩陣的計(jì)算，它們往往有很大的計(jì)算量。一般在計(jì)算中采取某些措施，例如應(yīng)用定常系統(tǒng)新算法或在精度損失允許的情況下盡量減少維數(shù)等到措施，從而減少計(jì)算量以滿足實(shí)時(shí)濾波的要求。43、卡爾曼濾波的特點(diǎn)卡爾曼濾波具有以下的特點(diǎn)： 答：(1) 算法是遞推的狀態(tài)空間法采用在時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)濾波器的方法，因而適用于多維隨機(jī)過程的估計(jì)；離散型卡爾曼算法適用于計(jì)算機(jī)處理。(2) 用遞推法計(jì)算，不需要知道全部過去的值，用狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，因此信號(hào)可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的， 即卡爾曼濾波適用

28、于非平穩(wěn)過程。(3) 卡爾曼濾波采取的誤差準(zhǔn)則仍為估計(jì)誤差的均方值最小。44、令，是一個(gè)具有概率密度函數(shù)的正態(tài)分布得到的隨機(jī)觀測樣本，試確定均值和方差的最大似然估計(jì)。解：似然函數(shù)是均值和方差二者的函數(shù)，故有從而有 分別求關(guān)于和的偏導(dǎo)，然后令偏導(dǎo)為零，得到從可以解出將其代入可解得由樣本均值和樣本方差是無偏的，因此均值最大似然估計(jì)為無偏估計(jì)，而方差的最大似然估計(jì)則是有偏的。45、Burg遞推較levenson遞推法有什么優(yōu)勢，并寫出Burg遞推法求解AR模型參數(shù)的遞推公式。答：（1）列文森（levenson）遞推法需要先由信號(hào)的觀測數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，這是它的缺點(diǎn)，而伯格（Burg）遞推法則由信號(hào)

29、觀測數(shù)據(jù)直接計(jì)算AR模型的參數(shù)，Burg遞推法利用levenson遞推公式，導(dǎo)出前向預(yù)測誤差和后向預(yù)測誤差，并按照它們最小的原則求出，從而避免求自相關(guān)函數(shù)這一難題。（1） Burg遞推法求AR模型參數(shù)的遞推公式如下： 46、簡述正交性原理信義，維納濾波原理及其結(jié)論。解：（1）正交性原理：文字表述：使代價(jià)函數(shù)最小化的充分必要條件是估計(jì)誤差與輸入正交。（3） 定義輸入向量則其相關(guān)矩陣為 式中使用了自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，類似地，輸入與期望響應(yīng)的互相關(guān)向量為綜上式子可以將winer-Hopf方程組寫成緊湊的矩陣形式 式中表示橫向?yàn)V波器的最優(yōu)抽頭權(quán)向量：由矩陣方程，立即可以得到最優(yōu)抽頭權(quán)向量的解為滿足這個(gè)關(guān)

30、系的離散時(shí)間橫向?yàn)V波器稱為維納濾波器。47、關(guān)于維納濾波器的兩個(gè)主要結(jié)論：維納濾波器最優(yōu)抽頭權(quán)向量的計(jì)算需要已經(jīng)以下統(tǒng)計(jì)量：（1）輸入向量的自相關(guān)矩陣；（2）輸入向量與期望響應(yīng)的互相關(guān)向量。維納濾波器實(shí)際上是無約束優(yōu)化最優(yōu)濾波問題的解。48、已經(jīng)信號(hào)的四個(gè)觀察數(shù)據(jù)為分別用自相關(guān)法和協(xié)方差法估計(jì)AR（1）模型參數(shù)。解：自相關(guān)法： 協(xié)方差法：49、假定是一個(gè)滿足差分方程式的AR（）過程，且該過程是在一與獨(dú)立的加性觀測白噪聲中觀測的，即，其中的方差為，求的功率譜。解：由已知差分方程式可得的譜密度當(dāng)與互相獨(dú)立時(shí)，故的功率譜所以50、分別解釋“濾波”和“預(yù)測”。解：用當(dāng)前的和過去的觀測值來估計(jì)當(dāng)前的信號(hào)

31、y(n)=（n）稱為濾波；用過去的觀測值來估計(jì)當(dāng)前的或?qū)淼男盘?hào) ,N0,稱為預(yù)測。51、介紹維納濾波和卡爾曼濾波解決問題的方法。解：維納濾波是根據(jù)全部過去觀測值和當(dāng)前觀測值來估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值，因此它的解形式是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(Z)或單位脈沖響應(yīng)h(n)；卡爾曼濾波是用當(dāng)前一個(gè)估計(jì)值和最近一個(gè)觀測值來估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值，它的解形式是狀態(tài)變量值。 維納濾波只適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程，卡爾曼濾波就沒有這個(gè)限制。設(shè)計(jì)維納濾波器要求已知信號(hào)與噪聲的相關(guān)函數(shù)，設(shè)計(jì)卡爾曼濾波要求已知狀態(tài)方程和量測方程。 h(n)52、已知下圖中x(n)=s(n)+w(n)，且與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，其中的自相關(guān)序列為，w(n)是方差為1的單位白噪聲，試設(shè)計(jì)一個(gè)N2的維納濾波器來估計(jì)s(n)，并求最小均方誤差。 x(n)=s(n)+w(n)維納濾波的輸入和輸出的關(guān)系解：依題意，已知信號(hào)的自相關(guān)和噪聲的自相關(guān)為：，=(w),代入,得 解得：h(0)=0.451,h(1)=0.165將上式結(jié)果代入式E=-,求得最小均方誤差：E=-（m）=1-h(0)-0.6h(1)=0.45考慮線性模型 y=Hx+n，其中x是待求的發(fā)射信號(hào)，y是觀測信號(hào)，H是列滿秩的矩陣，n為噪聲。關(guān)于這個(gè)經(jīng)典模型，Kay的統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理基礎(chǔ)中討論很多。在矩陣H已知情況下，通過y求x的方法有很多，這里想談?wù)勛钚《私?LS)和最小均方誤差解(