定積分證明題方法總結六

1、定積分證明題方法總結六篇 定積分是歷年數學的考查重點，其中定積分的證明是考 查難點，同學們經常會感覺無從下手，小編特意為大家總結 了定積分的計算方法，希望對同學們有幫助。 篇一：定積分計算方法總結一、不定積分計算方 法 1. 湊微分法 2. 裂項法 3. 變量代換法 1) 三角代換 2) 根幕代換 3) 倒代換 4. 配方后積分 5. 有理化 6. 和差化積法 7. 分部積分法(反、對、幕、指、三) 8. 降幕法 二、定積分的計算方法 1. 利用函數奇偶性 2. 利用函數周期性 3. 參考不定積分計算方法 三、定積分與極限 1. 積和式極限 2. 利用積分中值定理或微分中值定理求極限 3. 洛

2、必達法則 4. 等價無窮小 四、定積分的估值及其不等式的應用 1.不計算積分，比較積分值的大小 1) 比較定理：若在同一區(qū)間a,b上，總有 f(x)=g(x), 則 =()dx 2) 利用被積函數所滿足的不等式比較之 a) b) 當0 2.估計具體函數定積分的值 積分估值定理：設f(x)在a,b上連續(xù)，且其最大值為 M最小值為m則 M(b-a) 3.具體函數的定積分不等式證法 1) 積分估值定理 2) 放縮法 3) 柯西積分不等式 可積。 定理設f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個間斷 點，貝U f(x)在區(qū)間a,b上可積。 3 、定積分的若干重要性質 性質如果在區(qū)間a,b上f(x) 0則

3、/ abf(x)dx 0。 推論如果在區(qū)間a,b上f(x) g(x)則/ abf(x)dx / abg(x)dx 。 推論 | / abf(x)dx| / ab|f(x)|dx 。 性質設M及m分別是函數f(x)在區(qū)間a,b上的最大 值和最小值，則 m(b-a) abf(x)dx M(b-a),該性質說明 由被積函數在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分 值的大致范圍。 性質(定積分中值定理)如果函數f(x)在區(qū)間a,b上 連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一個點，使下式成立： / abf(x)dx=f()(b-a) 。 4 、關于廣義積分 設函數f(x)在區(qū)間a,b上除點c(a 定積分的應

4、用 1、求平面圖形的面積(曲線圍成的面積) 直角坐標系下(含參數與不含參數) 極坐標系下(r,9 ,x=rcos 9 ,y=rsin 9 )(扇形面積公 式 S=R29 /2) 旋轉體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標軸所圍成的面 積繞坐標軸旋轉而成)(且體積V=/ ab n f(x)2dx，其中f(x) 指曲線的方程) 平行截面面積為已知的立體體積(V= / abA(x)dx,其 中A(x)為截面面積) 功、水壓力、引力 函數的平均值(平均值y=1/(b-a)*/ abf(x)dx) 篇四：定積分計算方法總結一、不定積分的概念和 性質 若F(x)f(x)，則f(x)dxF(x)C ，C為積分常數不

5、可丟! 性質 1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx 或 df(x)dxf(x) dx 性質 2F(x)dxF(x)C 或 dF(x)F(x)C 性質 3f(x)g(x)dx 或f(x)g(x)dx 二、基本積分公式或直接積分法 基本積分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx ； kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx kdxkxC xxdx1x1C( 為常數且 1)1xdxlnxC ax edxeCadxInaC xx cosxdxsinxCsinxdxcosxC dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC secxtanxdxse

6、cxCcscxcotxdxcscxC dxarctanxCarccotx C () 1x2arcsinxC (arccosxC) 直接積分法：對被積函數作代數變形或三角變形，化成 能直接套用基本積分公式。代數變形主要是指因式分解、 加減拆并等；三角變形主要是指三角恒等式。 三、換元積分法: 1. 第一類換元法(湊微分法) g(x)dxf(x)(x)dxf(x)d(x) 注(1)常見湊微分： u(x)f(u)duF(u)Cu(x). 111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x| c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arc

7、cosx) 1+x2 (2) 適用于被積函數為兩個函數相乘的情況： 若被積函數為一個函數，比如： e2xdxe2x1dx，若被積 函數多于兩個，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成兩類； (3) 一般選擇“簡單”“熟悉”的那個函數寫成(x)； (4) 若被積函數為三角函數偶次方，降次；奇次方，拆 項； 2. 第二類換元法 f(x)dxx(t)f(t)(t)dtf(t)(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代換類型： (1) 對被積函數直接去根號； (2) 到代換x1; t (3) 三角代換去根號 atantxasect 、 xasint(orxacost) f(xdx , t

8、 f(xx,x asect f(xx,xasint f(xx,xatant f(ax)dx , ta x f(xx,t 三、分部積分法： uvdxudvuvvduuvuvdx. 注(1)u的選取原則：按“反對幕三指”的順序，誰 在前誰為u，后面的為V； (2) uvdx要比uvdx容易計算； (3) 適用于兩個異名函數相乘的情況，若被積函數只有 一個，比如： arcsinxldx ， u v (4) 多次使用分部積分法：uu求導vv積分(t ； 篇五：定積分計算方法總結一、原函數 定義1如果對任一 xI，都有 F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx 則稱F(x)為f(x)在區(qū)間I上的原函

9、數。 例如：(sinx)cosx ，即 sinx 是 cosx 的原函數。In(xx2) 原函數存在定理：如果函數 f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則 f(x)在區(qū)間I上一定有原函數，即存在區(qū)間I上的可導函 數F(x)，使得對任一 xI，有F(x)f(x)。 注1:如果f(x)有一個原函數，則f(x)就有無窮多個原 函數。 設F(x)是f(x)的原函數，貝U F(x)Cf(x)，即F(x)C也 為f(x)的原函數，其中C為任意常數。 注2:如果F(x)與G(x)都為f(x)在區(qū)間I上的原函數， 則F(x)與G(x)之差為常數，即F(x)G(x)C ( C為常數) 注3:如果F(x)為f(x)在區(qū)間I上

10、的一個原函數，則 F(x)C (C為任意常數)可表達f(x)的任意一個原函數。 1x2 ，即In(xx2)是1x2的原函數。 二、不定積分 定義2 在區(qū)間I上，f(x)的帶有任意常數項的原函數， 成為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為f(x)dx。 如果F(x)為f(x)的一個原函數，則 f(x)dxF(x)C , (C為任意常數) 三、不定積分的幾何意義 圖5 1設F(x)是f(x)的一個原函數，則yF(x)在平面 上表示一條曲線，稱它為f(x)f(x)的不定積分表示一族積分 曲線，它們是由f(x)的某一條積分曲線沿著y軸方向作任意 平行移動而產生的所有積分曲線組成的.顯然，族中的每一 條積

11、分曲線在具有同一橫坐標x的點處有互相平行的切線， 其斜率都等于f(x). 在求原函數的具體問題中，往往先求出原函數的一般表 達式y(tǒng)F(x)C，再從中確定 / secx dx =ln|cot(x/2)| + C =(1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C =-ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C / cscx dx = ln|tan(x/2)| + C =(1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C =-ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx -設 F(u)為 f(u)的原函數，

12、u(x)可微，則 f(x)(x)dxf(u)du 公式(2-1)稱為第一類換元積分公式。 u(x)u(x) (2-1) f(x)(x)dxf(x)d(x)f(u)duu(x) 1f(axb)d(axb)1f(u)duf(axb)dxuaxb 篇六：定積分計算方法總結摘要：結合實例分析介 紹了不定積分的四種基本計算方法。為使學生熟練掌握，靈 活運用積分方法，本文將高等數學中計算不定積分的常用方 法,簡單進行了整理歸類。 關鍵詞：積分方法第一類換元法第二類換元法分 部積分法 不定積分是高等數學中積分學的基礎，對不定積 分的理解與掌握的好壞直接影響到該課程的學習和掌握。熟 練掌握不定積分的理論與運算

13、方法，不但能使學生進一步鞏 固前面所學的導數與微分的知識，而且也將為學習定積分， 微分方程等相關知識打好基礎。在高等數學中，函數的概念 與定義與初等數學相比發(fā)生了很多的變化，從有限到無限， 從確定到不確定，計算結果也可能不唯一，但計算方法與計 算技巧顯得更加重要。這些都在不定積分的計算中體會的淋 漓盡致。對不定積分的求解方法進行簡單的歸類，不但使其 計算方法條理清楚，而且有助于對不定積分概念的理解，提 高學習興趣，對學好積分具有一定的促進作用。 1 直接積分法 直接積分法就是利用不定積分的定義，公式與積分基本 性質求不定積分的方法。直接積分法重要的是把被積函數通 過代數或三角恒等式變形，變?yōu)榉e

14、分表中能直接計算的公式 利用積分運算法則，在逐項積分。 一、原函數與不定積分的概念 定義1.設f(x)是定義在某區(qū)間的已知函數，若存在函 數F(x)，使得F(x)或dF (x)f(x)dx ,則稱F(x)為f(x)的一個原函數 定義2.函數 f(x)的全體原函數F(x)C叫做f(x)的不定積分，記為: f(x)dxF(x)C f(x)叫做被積函數f(x)dx叫做被積表達式C叫做積 分常數 其中 ”叫做積分號 二、不定積分的性質和基本積分公式 性質1.不定積分的導數等于被積函數，不定積分的微 分等于被積表達式，即 f(x)dxf(x) ； df(x)dxf(x)dx. 性質2.函數的導數或微分的

15、不定積分等于該函數加上 一個任意函數，即 f(x)dxf(x)C, 或 df(x)f(x)C 性質3.非零的常數因子可以由積分號內提出來，即 kf(x)dxkf(x)dx 性質4.兩個函數的代數和的不定積分等于每個函數不 精品文檔 定積分的代數和，即 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx 基本積分公式 (1) kdxkxC(k為常數) (2) xdx 1 1 x 1 C (1) 1 (3) xlnxC x (4) exdxexC (6)cosxdxsinxC(8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16) 11x 11x 2 (5) a dx a x Ina C (7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC (11) cscxcotxdxcscxC (13)cscxdxlncscxcotxC (15) 1x 2 2 xarctanxC xarcsinxC xarcsinxC 三、換元積分法和分部積分法 定理1.設(x)可導，并且f(u)du