勾股定理（基礎(chǔ)）知識講解（豬豬）

1、勾股定理（基礎(chǔ)-豬豬）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗數(shù)形結(jié)合的思想；2能夠運用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長（只限于常用的數(shù)）；3通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題【要點梳理】要點一、勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系 （2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的（3）理解勾股定理的一些變式：， 要點二、勾股定

2、理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形 圖（1）中，所以 方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形 圖（2）中，所以方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形 ，所以要點三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2. 用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3 與勾股定理有關(guān)的面積計算；4勾股定理在實際生活中的應(yīng)用【典型例題】類型一、勾股定理的直接應(yīng)用1、在abc中，c90，a、b、c的對邊分別為、（1）若5，12，求；（2）若26，24，求【思路點撥】利用勾股定理來求未知邊長【答案與解析】解：（1）因為abc中，c90，5，1

3、2，所以所以13（2）因為abc中，c90，26，24， 所以所以10【總結(jié)升華】已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長，關(guān)鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再決定用勾股原式還是變式舉一反三：【變式】在abc中，c90，a、b、c的對邊分別為、（1）已知6，10，求；（2）已知，32，求、【答案】解：（1） c90，6，10， ， 8（2）設(shè)， c90，32， 即解得8 ，類型二、與勾股定理有關(guān)的證明2、（2015豐臺區(qū)一模）閱讀下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法先做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖

4、1的方法將它們擺成正方形由圖1可以得到（a+b）2=4，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2所以a2+b2=c2如果把圖1中的四個全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請你參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空：由圖2可以得到 ，整理，得 ，所以 【答案與解析】證明：s大正方形=c2，s大正方形=4s+s小正方形=4ab+（ba）2，c2=4ab+（ba）2，整理，得2ab+b22ab+a2=c2，c2=a2+b2故答案是：；2ab+b22ab+a2=c2；a2+b2=c2【總結(jié)升華】本題考查利用圖形面積的關(guān)系證明勾股定理，解題關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長的關(guān)系進行組合圖形舉一反三：【

5、變式】如圖，在abc中，c90，d為bc邊的中點，deab于e，則ae2-be2等于（ ）aac2bbd2cbc2dde2【答案】連接ad構(gòu)造直角三角形，得，選a類型三、與勾股定理有關(guān)的線段長【高清課堂 勾股定理 例3】3、如圖，長方形紙片abcd中，已知ad8，折疊紙片使ab邊與對角線ac重合，點b落在點f 處，折痕為ae，且ef3，則ab的長為（ ）a3 b4 c5 d6【答案】d；【解析】解：設(shè)ab，則af， abe折疊后的圖形為afe， abeafebeef，ecbcbe835，在rtefc中，由勾股定理解得fc4，在rtabc中，解得【總結(jié)升華】折疊問題包括“全等形”、“勾股定理”兩

6、大問題，最后通過勾股定理求解類型四、與勾股定理有關(guān)的面積計算4、如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）a6 b5 c11 d16【思路點撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應(yīng)用，由b是正方形，可求abccde由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積【答案】d【解析】解：acb+ecd=90，dec+ecd=90，acb=dec，在abc和cde中，abccdebc=deb的面積為5+11=16，故選d【總結(jié)升華】此題巧妙的運用了勾股定理解決了面積問題，考查了對勾股定理幾何意義的理解能力，根據(jù)三角形全等找出相等的量是解答此題的關(guān)鍵舉一反三：

7、【變式】（2015東莞模擬）如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知s=4，s=9，s=8，s=10，則s=（）a.25 b.31 c.32 d.40【答案】解：如圖，由題意得：ab2=s1+s2=13，ac2=s3+s4=18，bc2=ab2+ac2=31，s=bc2=31，故選b類型五、利用勾股定理解決實際問題5、（2016春淄博期中）有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高【思路點撥】根據(jù)題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運用勾股定理可求出門高【答案與解析】解：設(shè)門高為x尺，則竹竿長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理可得：x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺）答：門高7.5尺，竹竿高8.5尺【總結(jié)升華】本題考查勾股定理的運用，正確運用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運用到實際問題