大一上學期高數(shù)知識點

1、第二章導數(shù)與微分一、主要內(nèi)容小結1. 定義定理公式(1) 導數(shù)，左導數(shù)，右導數(shù)，微分以及導數(shù)和微分的幾何意義(2) 定理與運算法則定理 1 f (xo)存在f _(xo ) = f (xo).定理2若y二f(x)在點x0處可導，則y二f (x)在點x0處連續(xù)；反之不真定理3函數(shù)f (x)在x0處可微二f (x)在x0處可導.d(u 于 v)二 du Tdvd (uv)二 udv vduu、 vdu -udv,d()2 (v=0)v v導數(shù)與微分的運算法則：設u =u(x), v =v(x)均可導，則(U 于v) =u ? v ,(uv)二 uv vu ,U vu -uv ,c、() 2 (v

2、=0)， v v(3) 基本求導公式2. 各類函數(shù)導數(shù)的求法(1) 復合函數(shù)微分法(2) 反函數(shù)的微分法(3) 由參數(shù)方程確定函數(shù)的微分法(4) 隱函數(shù)微分法(5) 幕指函數(shù)微分法(6) 函數(shù)表達式為若干因子連乘積、乘方、開方或商形式的微分法 .x求導)方法：對數(shù)求導法(即先對式子的兩邊取自然對數(shù)，然后在等式的兩端再對(7) 分段函數(shù)微分法3. 高階導數(shù)(1)定義與基本公式高階導數(shù)公式：(ax)(n)x n=a in a (a . 0)/ X (n) x(e ) re萊布尼茲公式:(2)高階導數(shù)的求法直接法間接法4. 導數(shù)的簡單應用(1)求曲線的切線、法線求變化率一一相關變化率二、例題解析xK

3、例 2.1 設 f (x)=i0x ,(K為整數(shù))問:x =0(1)當蘭K為何值時,當蘭K為何值時,(3) 當蘭K為何值時,f (x)在x =0處不可導;f(x)在x=0處可導，但導函數(shù)不連續(xù);f (x)在x =0處導函數(shù)連續(xù)?解函數(shù)f(x)在x=0點的導數(shù):lim0f(x) -f(0)x 0f(x) f(0)x/ K -1(x) sin 一xxf(0)r.1 sin =x不存在,K 1K 1；發(fā)散，當K 1當K 1時,f (x)的導函數(shù)為:為使 lim f (x) = f(0) =0，取 K 2 即可。x )0K i 1*因此，函數(shù)f(x)sin；，x刊 b , x=0當K w 1時，f (

4、x)在x =0處不可導；當K =2時，f(x)在x=0處可導，但導函數(shù)在x=0處不連續(xù);當K 2時，f(x)在x=0處可導且導函數(shù)在x=0處連續(xù)。.2 2 .例2.2 八型.竺，求少。1 +ctgx1 +tgxdx分析 本例當然可以用商的求導法則來求，但比較麻煩，若先對函數(shù)表達式進行變形就可用代數(shù)和的求導法則來求，這樣就簡便多了。.33sin xcos x解 y =sin x+cosx cosx+sin xsin3 x 亠cos3 xsin x cosx1 一丄 sin 2x。2所以y = _cos2x 。如果不經(jīng)過化簡，直接求導則計算將是十分繁瑣的。例 2.3 y =arctge x -In

5、e2xe2x 1，求 dy。分析 本例若直接對原式利用差的求導法則及復合函數(shù)求導法來求，比較麻煩，但若利x12x二 arctgexIn (e -1)用對數(shù)性質(zhì)對函數(shù)表達式的第二項變形，再利用差及復合函數(shù)求導法來求，就簡便得多。解因為y =arctgex - ln e2x In(e2x 1)2所以y =(arctge X) x 亠ln( e2x 亠 1)=.1 2e2x2e2x 1x “e -1-2x e 1例2.4設 y= f(ex)ef(x)，求 dy。dx解利用積的求導法則及復合函數(shù)求導法則，有(ex)ex - f(ex)f (x)。屯=f (ex)exef(x) - f(ex)ef(x)

6、f (x) = ef(x)f dx例 2.5 設方程 xy2 ey =cos(x - y2),求 y .本例是隱函數(shù)求導問題，對隱函數(shù)求導可用下面兩種方法來求。解（方法一）方程兩端同時對x求導（y看作x的函數(shù)y=y（x）,由復合函數(shù)求導法可得（方法二)方程兩邊同時微分：d(xy2 - ey) =d(cos(x - y2)所以dyy2 si n(x y2)dx2xy ey 2ysi n(x y2)例2.6 已知丿x 二 f (t) y =tf f(t)f (t)為二次可微函數(shù)，且f (t)=0，求 3，雪。dx dx分析 這是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的高階導數(shù)的計算問題,可按參數(shù)方程求導法則來求。

7、解 因為dy =dtf (t) _f (t) = tf (t)dt所以dy tf (t)dt t 牯頁。所以d 2y _= d idydt f (t)dt常見錯解:d 2yT =(t)y。dx2錯誤原因沒有搞清求導對象.d2y dx2幺魚是dx dx階導數(shù)3對x求導,而t是一階導數(shù)對dxt求導。例2.7求函數(shù)討二 xx21的微分。1 x2 dx xd .1 x21+x21 x2dx - x 1d(1 x2)人1 +x21+x21 x2 dx -二 dx 占+x21x2dx2、3 2 (1 x )3例 2.8 設 y =x 一 3x +2y(n)。分析本例是求分式有理函數(shù)的高階導數(shù)，先將有理假分

8、式通過多項式除法化為整式與有理真分式之和，再將有理分式寫成部分分式之和，最后仿(xm)(n)的表達式寫出所給定的有理函數(shù)的n階導數(shù)。y=(x 3)忌匕px 3 三一土y(n)(x 3)(n) 8(x-2)冷-(x-1)冷(n)=0 (_1)n 8 n!(x_2)z _(-1)nn!(x_1)(_1)n n!-8(x_2嚴(x-1)n1(n_2 )當x ：0時，f (x) =2x .因此，在 x =0 處,f (x)的可導情況，需根據(jù)定義來作判斷，求例2.9設f(x)=盧2，x 求f(x)的導函數(shù)L(x)的連續(xù)區(qū)間，若間斷，判別類型,x +1, x cO并分別作f(X)與f (x)的圖形。當 x 0 時，f (x) = ex ；分析 函數(shù)f(x)是用分段表達的函數(shù)在x=0的兩側(cè):出導函數(shù)后，再判別它的連續(xù)區(qū)間。2解 因為 f_(0) =lim f(x) f(0) = lim x 1-1 =0XT 一xxf(x)f (0) f (七丄2x=lim e =1，所以j xf (x)在x = 0處不可導。f