很全拋物線焦點弦的有關結論附答案

1、很全拋物線焦點弦的有關結論知識點i:若AB是過拋物線y2 2px p0的焦點F的弦。設Axi,% ,B X2, y2 ，則2 XiX2 ；（ 2） yiy2p24證明：如圖，（i）若AB的斜率不存在時，依題意xix2x1 x2若AB的斜率存在時，設為k,則 AB : yxk2 x2pxk2x2k22 pxXiX2綜上:X1X2(2)Xi2y22p，22yi y2但 yi y20,yyP匕2I與y知識點2：若AB是過拋物線y2 2px p 0的焦點F的弦。設A xi, yi ,(2)另證：設AB : x my2px聯(lián)立，得y2 2pmy p20,2yi y2pB X2, y2，則(1) ABXi

2、X2p；（ 2）設直線AB的傾斜角為則|ab2p2 。 sin證明:AFAB（i）由拋物線的定義知P BF2XiX2AFBFXiX2p(2)若90，則 Xix2, 由( i) 知 AB22p2sinyo若900,設AB : y kX ,與y2 2PX聯(lián)立k2 x2px2x2 k22 pxXiX2p k22ABXiX22pk2 i，而 kk2tan ，AB22p i tantan22p .2 sin知識點3 :若AB是過拋物線y22PX P0的焦點F的弦,則以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切。證明：過點A、B分別向拋物線的準線引垂線，垂足分別為Ar Bi,過AB中點M向準線引垂線，垂足為N,設以

3、AB為直徑的圓的半徑為r,2rABAFBF AAiBBi2 MNMNr.以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切。知識點4:若AB是過拋物線寸2px p0的焦點的準線引垂線，垂足分別為A、Bi,則AiFBi證明借助于平行線和等腰三角形容易證明知識點5:若AB是過拋物線y2 2px p的弦。過點A、B分別向拋物線F0的焦點x軸相交090 。于點 K ,貝U AKF BKF.證明：過點A、B分別作準線的垂線，垂足分別為AAi / KF / BBiAiKBiK圧而AFFBAi A, BFBi BAiKBiKAiABiBAiKA,A，而 AA! KBiBBBiK90AA,K sBBiKAKABiKBAKFB

4、KF知識點6:若AB是過拋物線y2 2px p 0的焦點F的弦，o為拋物線的頂點，連接AO并延長交該拋物線的準線于點C,則BC/OF.證明：設 A x-, y.，B X2, y2，則AB : y上x, Cp片2，2x1ye2 pyC22x11 2y1y12p由知識點1知y2p2yc2p yBC/OFy2 py2逆定理：若AB是過拋物線y2 2px p0的焦點F的弦，過點B作BC/OF交拋物線準線于點C,則A、C、O三點共線。證明略知識點7：若AB是過拋物線y22 px p 0證法:(1)若 ABx軸，則AB為通徑，而AB2p,的焦點F的弦,(2)若AB與x軸不垂直,設 A Xi,yi , B

5、X2, y2，AB的斜率為k，則 l：y k x 2 與y22 px聯(lián)立，得k2P.22 pxk2x2 k22 pxx1 x2叫2,沁k由拋物線的定義知mAFXiinBFX204n mnx1x2x1 x2 p-2 p4X1x2知識點8:已知拋物線2PX P0 中,AB為其過焦點F的弦,AFm, BFn,則S AOBP2 n4: m證明:設 AFxS AOBS AOFBOFS AOB12P4逆定理：AM證明:S AOB而sinsincos7mmsi nsin,nsin1 cosnFmnmn2p2sinsin2pmn已知拋物線m, BM2 px，AB為其弦且與x軸相交于點M，n,且 S AOB，則

6、弦AB過焦點。設 A Xi, yi , B X2,y2AMxt,0，則而 S AOB_ 1Saom s bom =2tmsin丄 tn sin21 m n tsin2也,sinmy1 y2mn-2 siny2mnAOBy1 y2mn1 m n2 mnt yi y2仁 y“2l :又可設2yx ay t2px2 pay 2 pt 0y1 y22 pt 22由得t舟AB恒過焦點卻例1、過拋物線y24x的焦點做直線交拋物線于A(xyj,B(x2,y2)兩點，如果為x26 ,那么AB . 8變式：過拋物線y2 4x的焦點做直線交拋物線于 A, B兩點，如果AB 8，O為坐標原點， 則OAB的重心的橫坐

7、標是. 2例2、直線I經(jīng)過拋物線y2 2px(p 0)的焦點F，且與拋物線交于 代B兩點，由A, B分別向準線引垂線 AA,BB，垂足分別為 A, B，如果AB a，Q為ab的中點，貝U QF.(用a表示)2變式：直線I經(jīng)過拋物線y2 2px(p 0)的焦點F ，且與拋物線交于A,B兩點，由代B分別向準線引垂線AA,BB，垂足分別為A,B，如果AR a, BF b，Q為AB的中點，2則QF .(用a, b表示)2ouju uun例3、設坐標原點為O,過焦點的直線l交拋物線y2 4x于代B兩點，OA OB _ -3例4、過拋物線y2 ax(a 0)的焦點F作一直線交拋物線于P,Q兩，y點，若線段PF與FQ的長分別是p,q，則丄