高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題第⑨季平面向量：第7節(jié)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

1、第7節(jié)平面向量的數(shù)量積【基礎(chǔ)知識(shí)】一、兩個(gè)向量的夾角1定義已知兩個(gè)非零向量a和b，作oaa，obb，則aob叫做向量a與b的夾角2范圍aa向量夾角的范圍是0180與b同向時(shí)，夾角0；與b反向時(shí)，夾角180.3向量垂直如果向量a與b的夾角是90，則a與b垂直，記作ab.二、平面向量數(shù)量積bbb1已知兩個(gè)非零向量a與b，則數(shù)量|a|cos叫做a與b的數(shù)量積，記作a，即ab|a|cos，其中是a與b的夾角a規(guī)定00.b當(dāng)ab時(shí)，90，這時(shí)a0.b2a的幾何意義：b數(shù)量積a等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積三、向量數(shù)量積的性質(zhì)ea1如果e是單位向量，則ae.b2aba0.a3a

2、|a|2，|a|=aa.4cosab.(為a與b的夾角)|a|b|bb5|a|a|.四、數(shù)量積的運(yùn)算律ba1交換律：ab.ccc2分配律：(ab)ab.babb3對(duì)r，(a)()a()五、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算b設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)，則：1aa1b1a2b2.2aba1b1a2b20.3|a|a21a2.4cosababab|a|b|1122.(為a與b的夾角)a2a2b2b21212【規(guī)律技巧】1.平面向量數(shù)量積的計(jì)算方法b已知向量a，b的模及夾角，利用公式a|a|b|cos求解；已知向量a，b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解(2)對(duì)于向量數(shù)量積與線性運(yùn)算的綜合運(yùn)算問題，可先利用數(shù)

3、量積的運(yùn)算律化簡，再進(jìn)行運(yùn)算om【典例講解】且【例1】(1)(2014重慶卷已知向量a與b的夾角為60，a(2，6)，|b|10，b則a_(2)已知正方形abcd的邊長為1，點(diǎn)e是ab邊上的動(dòng)點(diǎn)，則decb的值為_；dedc的最大值為_法二以射線ab，ad為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則a(0，0)，b(1，0)，c(1，1)，d(0，1)，設(shè)e(t，0)，t0，1，則de(t，1)，cb(0，1)，所以decb(t，1)(0，)1.0因?yàn)閐c(1，0)，所以dedc(t，1)(1，)t1，故dedc的最大值為1.【變式探究】(1)已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1e12

4、e2，b23e14e2，則b12_【解析】(1)b12(e12e2)(314e2)3e212e128e22【答案】(1)10(2)11規(guī)律方法(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義(2)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問題時(shí)，可先利用向量的加減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡再運(yùn)算但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)3b(2)已知點(diǎn)a，b，c滿足|ab|3，|bc|4，|ca|5，則abbcbccacaab的值是_bee3211cos86.334(2)法一如圖，根據(jù)題意可得abc為直角三角形，且b，cosa，cosc，255abbcbc

5、cacaabbccacaab45cos(c)53cos(a)20cosc15cosa4320155525.法二易知abbcca0，將其兩邊平方可得ab2bc2ca22(abbcabcabcca)0，故abbc1abcabcca(ab2bc2ca2)25.2【答案】(1)6(2)25【針對(duì)訓(xùn)練】1、已知|a|5,|b|3,且ab12,則向量a在向量b上的投影等于（）a4b4c【答案】a1212d55【解析】ab=|a|cos，而a在b上的投影為|a|cos=ab-12=-4.|b|3a632、已知向量ab2,8，ab8,16，則a與b夾角的余弦值為（）63635bcd656565133、設(shè)向量a

6、(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b與2ab平行，那么a與b的數(shù)量積等于()7a23c.21b25d.24、已知向量a(x1,2)，b(2,1)，且ab，則x（）a12b1c5d0【練習(xí)鞏固】1如圖，在矩形abcd中，ab2，bc2，點(diǎn)e為bc的中點(diǎn)，點(diǎn)f在cd上，若abafaebf2，則的值是()a.2b2c0d1af【解析】依題意得aebf(abbe)(ab)abafab2beafbeab221202，故選a.【答案】a2在abc中，abac2，bc23，則abac()a23b2c23d2【答案】d4、已知單位向量e1與e2的夾角為，且cos，向量a3e12e2與b3e1【答案】2（3

7、e12e2）3e1e2）|3e12e2|3e1e2|bab3、設(shè)向量a(3，3)，b(1，1)若(a)()，則實(shí)數(shù)_babba【答案】3【解析】因?yàn)閍(3，3)，(3，3)，又(a)(bbab)，所以(a)()(3)(3)(3)(3)0，解得3.13e2的夾角為，則cos_23ba（【解析】cos|a|b|9e219e1e22e2e212e9e2112e14e29e26e1e219923191243196138322232.5、若向量a，b滿足：1，(ab)a，(b)b，則|()a2b.2c1d.2221121【答案】b【解析】因?yàn)?ab)a，所以(ab)0，即2因?yàn)?b)b，所以(b)0，即b20，與20聯(lián)立，可得20，所以22.acac【解析】因?yàn)閍bac|ab|cosatana，且a，所以|ab|，所以abc63ac的面積s|ab|sinasin.22366bc，dfdc.若aeaf1，cecf，則()a.16、已知菱形abcd的邊長為2，ba