線性系統理論狀態(tài)觀測器設計教學課件PPT

1、1 5.5.1 5.5.1 觀測器問題的提法觀測器問題的提法 5. 5 狀態(tài)觀測器設計狀態(tài)觀測器設計 狀態(tài)觀測器問題的引入是實現反饋控制的需要。狀態(tài)觀測狀態(tài)觀測器問題的引入是實現反饋控制的需要。狀態(tài)觀測 器分為：全維狀態(tài)觀測器，降維狀態(tài)觀測器。器分為：全維狀態(tài)觀測器，降維狀態(tài)觀測器。 狀態(tài)重構的實質，對于線性時不變觀測系統狀態(tài)重構的實質，對于線性時不變觀測系統 ，構造與其，構造與其 具有相同屬性的一個系統具有相同屬性的一個系統 ，利用，利用 中可直接測量的輸出中可直接測量的輸出y 和輸入和輸入u作為作為 的輸入，并使的輸入，并使 狀態(tài)狀態(tài) 在一定指標下等價于在一定指標下等價于 狀態(tài)狀態(tài) x。

2、x )( lim)( limtxtx tt 2 b + a + c xy 狀態(tài)觀測器 u x 圖5.2 狀態(tài)觀測器 定義定義 設設n n維系統維系統 的狀態(tài)的狀態(tài)x x 不可測，對給定矩陣不可測，對給定矩陣 ，若有，若有 一系統一系統 , ,以以 的輸入的輸入u u和輸出和輸出y y作為它的輸入，作為它的輸入， 的輸出的輸出 滿足：滿足： nl k 1 )( l tw 0)()(lim twtkx t (5-31) 則稱則稱 為為 的的kx觀測器。觀測器。 3 若若k k = =i,i,則稱則稱 為為 的狀態(tài)觀測器。的狀態(tài)觀測器。 （1）觀測器構造思路：）觀測器構造思路： a.a. 以原系統以

3、原系統 的輸入的輸入u u 和輸出和輸出 y y作為觀測系統作為觀測系統 的輸的輸 入；入； b. b. 引入反饋引入反饋 。 ) (xcyl u (abc) bs a l c + + + + _ x x y 圖5.3 狀態(tài)觀測器實現結構 y 4 適當選適當選 ，可使，可使 a-lc a-lc 有希望特征值。有希望特征值。 qn l )( xky lybuxlcax 這種閉環(huán)觀測器結構，可以克服開環(huán)系統容易發(fā)散、收斂這種閉環(huán)觀測器結構，可以克服開環(huán)系統容易發(fā)散、收斂 速度慢及魯棒性差等缺點。速度慢及魯棒性差等缺點。 狀態(tài)觀測器方程為狀態(tài)觀測器方程為 (5-32) （2 2）唯一性）唯一性 觀測

4、器不唯一觀測器不唯一 g s 若有一系統若有一系統r r維維 , ,它以它以u u和為輸入，并和為輸入，并有 5.5.2 5.5.2 觀測器存在條件觀測器存在條件 5 nr myezw gynufzz s g : 符合什么條件符合什么條件 sgsg 為為 的的 kx kx 觀測器。觀測器。 即有即有0)()(lim twtkx t (5-33) 定理定理 5.85.8 若若 能控能觀能控能觀, , 則則sgsg成為成為 的的kxkx觀測器的充分必觀測器的充分必 要條件是：要條件是： 1 1）（）（f f，e e）完全能觀；）完全能觀； 2 2） f f的全部特征值的全部特征值 具有負實部，具有

5、負實部，即)(f i rif i , 2 , 1 0)( re 即即sgsg是漸近穩(wěn)定的；是漸近穩(wěn)定的； 6 3）rjnifa ii 1 ; 1 )()( 4） mcepk 5）gcfppa 6）pbn 其中，其中， 必唯一存在。必唯一存在。 nr p 這一定理不僅判斷這一定理不僅判斷sgsg是否為是否為 的觀測器，也是設計觀測器的觀測器，也是設計觀測器 的依據。的依據。 設計步驟：設計步驟： （1 1）按）按 2 2）和）和3 3）選）選f f； （2 2）選一）選一g g陣，并由陣，并由5 5）定）定p p ； （3 3）由）由6 6），解），解n ;n ; 7 驗證（驗證（f f，e e

6、）是否完全能觀測；）是否完全能觀測； k c p me （4 4）由）由 4 4）求解）求解 ，導出，導出e e，m m； （5） 可見，可見，f f，g g選擇不同，存在不同的選擇不同，存在不同的p p，即對，即對 構造的構造的kxkx觀測器觀測器 不只是一個。不只是一個。 可以證明：可以證明： 1 1）這些觀測器之間必是代數等價的。）這些觀測器之間必是代數等價的。 2 2）若）若 能控能觀，能控能觀， 都有（都有（5-335-33）形式的動態(tài)系）形式的動態(tài)系 統，若統，若 為為 的的kxkx觀測器，且觀測器，且 也必是也必是 的的kxkx 觀測器。觀測器。 21 , gg ss 1 g s

7、 221 sgsgsg 若若 ， , ,則（則（5-335-33）式為）式為 ezw gynufz z nr 0 m (5-34) 8 若若 ， ，相應觀測器稱為降維觀測器。，相應觀測器稱為降維觀測器。nr 0m 稱為全維觀測器。稱為全維觀測器。 對對 全維觀測器，參數除按上述設計步驟外，又有全維觀測器，參數除按上述設計步驟外，又有 特定取法：特定取法： nr lglcaf , 則則 有有 lclcpappaplcapafppa)( n ip 從而從而 ekbn , 于是得到一特定的于是得到一特定的n n 維維kxkx觀測器。觀測器。 9 )( kzw lybuzlca z )( xky ly

8、buxlcax 為與一般觀測器區(qū)別，以為與一般觀測器區(qū)別，以 代代z z， 代代 w w x y 稱此為稱此為 的一個全維的一個全維kxkx觀測器；觀測器；k=ik=i為為 的一個全維狀態(tài)觀測的一個全維狀態(tài)觀測 器器 因為滿足結構條件的因為滿足結構條件的l l 不唯一不唯一, ,全維觀測器也不唯一。全維全維觀測器也不唯一。全維 觀測器設計較簡單。觀測器設計較簡單。 5.5.2 5.5.2 全維狀態(tài)觀測器設計全維狀態(tài)觀測器設計 (5-35) 10 若若 能觀，其對偶系統能觀，其對偶系統 必是能控的。必是能控的。 因此，可用對偶關系設計觀測器因此，可用對偶關系設計觀測器 ),( tt ca ),(

9、 ttt bca 任意配置極點，這些極點也正是（任意配置極點，這些極點也正是（a,b,c)a,b,c)觀測器中觀測器中 的極點。的極點。 xby ucxax t tt 那么對任意指定的極點那么對任意指定的極點，可求得狀態(tài)反饋可求得狀態(tài)反饋 xgvu t 使得閉環(huán)系統使得閉環(huán)系統 vcxgcax tttt )( gca （a,b,ca,b,c）能觀）能觀 能控能控 能控能控 ),( ttt bca ),( ttt bca極點配置 11 算法算法1 1 兩次反饋兩次反饋 1 1）先求）先求 ，使對單輸出系統能觀，使對單輸出系統能觀 g 若若 能觀，且有能觀，且有rank c=mrank c=m。

10、xcy buxcgax 11 )( 11 , yc分別為分別為c c的第一行行向量和的第一行行向量和y y的第一分量。的第一分量。 2 2）再求）再求z z，使，使 有希望極點有希望極點)( 1 zccga 令令 0 zg 則則 )( 1 zccga與與) (cgcga 有相同極點有相同極點 (5-36) 12 ggg 令令 ， ，則 gybuxgcax )( 關鍵是求關鍵是求 ，下面給出具體方法：，下面給出具體方法：g 由于（由于（a a，c c）能觀，所以）能觀，所以 n ca ca c rankwrank n 1 0 (5-36) 13 t m nttntt m tttt m t tnt

11、tttt cacacacacc cacacw 1 1 1 11 1 0 )( ,)( , )(, 的秩為的秩為n n，將，將 的列向量重新排列為的列向量重新排列為 t w0 t m ntt m tt m tntttt cacaccacac 1 1 1 11 )(,)( , 并自左向右挑選最前面的幾個線性無關列向量，以其為列向量 構造矩陣 t m tt m tt m tttttttttt cacac cacaccacacw m 1 2 1 221 1 11 )( , )( ,)(, 21 14 其中其中 ，且，且 , 令令 m j j n 1 nrankw i j ji 1 構造矩陣構造矩陣 列

12、 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 32 m eees 列列列 1 2 1m m 其中其中 為單位陣為單位陣 的第的第 i 列列向量。令列列向量。令 i e m i tt swg 1 )( 15 則則 xcy buxcgax 11 )( 是能觀的。是能觀的。 算法算法2 利用利用luenbergerluenberger標準形標準形 設所考慮系統為設所考慮系統為luenbergerluenberger能觀標準形所示，即能觀標準形所示，即 2 1 21 22221 11211 u b b b x aaa aaa aaa ubxax ppppp p p (5-37) 16 xccc

13、xcy p , 21 其中 jiaa ijii 00 00 00 , 1 0 1 00 pjic i , 1, 00 10 000 000 i 17 現構造觀測器，設所要求的觀測器的特征多項式為現構造觀測器，設所要求的觀測器的特征多項式為 01 1 10 )( asasassf n n n 那么那么 的伴隨陣的伴隨陣 （能觀形式）為（能觀形式）為)( 0 sf * a 1 1 0 * 1 0 1 00 n a a a a 設設 是是 階方陣，顯然階方陣，顯然 . . ii a ii mm i j ji p i i mnm 11 , 18 不難看出矩陣不難看出矩陣 與與 的差別僅在第的差別僅在第

14、 諸列，由這些列構成的矩陣記為諸列，由這些列構成的矩陣記為 和和 。因而。因而 與與 的的 差別僅在差別僅在 與與 的不同。同樣，在的不同。同樣，在 中取出第中取出第 等等p p 列，由它構成的矩陣記為列，由它構成的矩陣記為 ，易知，易知 為如下為如下 三角形陣三角形陣 a * a p , 21 * p a p a a * a c , 21 p c p c 1 1 p c p a * p a p , 為了構造觀測器，只需選擇矩陣為了構造觀測器，只需選擇矩陣 使得使得 0 g * 0 acga 19 因而只需因而只需 * 0 ppp acga 即有即有 1* 0 ) ( ppp caag 根據根

15、據 ，就可構成所需的觀測器為，就可構成所需的觀測器為 0 g ygubxcgax 00 ) ( (5-38) 5.5.3 5.5.3 降階狀態(tài)觀測器設計降階狀態(tài)觀測器設計 當系統階數很高時，構造的全維觀測器是很復雜的。降低當系統階數很高時，構造的全維觀測器是很復雜的。降低 維數意味著觀測器只需較少個數積分器來構成。維數意味著觀測器只需較少個數積分器來構成。 20 cxy buax x 任選任選 ，使，使 非奇異。非奇異。 nqn r )( r c p 令令 21 1 qqpq (5-39) 若若rank c= qrank c= q。 定理定理5.9 5.9 系統（系統（5-395-39）完全能

16、觀，它的最小觀測器維數為）完全能觀，它的最小觀測器維數為 n-q.n-q. 定理定理5. 10 通過非奇異變換通過非奇異變換 ，線性定常系統（，線性定常系統（5-39） 可以變成如下形式的系統可以變成如下形式的系統 pxx 1 2 1 2 1 2221 1211 2 1 xy u b b x x aa aa x x (5-40) 21 其中， 為q維分狀態(tài)， 是n-q維分狀態(tài). 1 x 2 x 因為 可直接測量，因此需要構造的是n-q維狀態(tài)觀測器。 1 x 定理定理5. 11 分狀態(tài)分狀態(tài) 的的n-q維狀態(tài)觀測器為維狀態(tài)觀測器為 2 x ublbyalalalazalaz)()()()( 12

17、112212221222 (n-q) q陣陣 取為使取為使 滿足期望極點配置。滿足期望極點配置。 l )( 1222 ala (5-41) 定理定理5. 12 對于線性時不變觀測系統(5-39)，確定系統狀態(tài)x重 構狀態(tài) 的關系式為 x )( 21 ylzqyqx (5-42) 降維觀測器結構下圖： 22 算法：算法： （1） 對給定c，任取r，使 非奇異； r c p （2）)( , , 2121 1 qnnqqnqqqpq 為為 （3） 2 1 2221 12111 , b b pbb aa aa papa 23 （4）計算期望特征多項式 qn i i ss 1 * )()( （5）對 采

18、用極點配置算法，求 使 tt aa 1222,k )()det( * 1222 skaasi tt （6）取 t kl （7）計算 ublbyalalalazalaz)()()()( 12112212221222 )( 21 ylzqyqx （8）停止。 24 +v u+ w y (a b c) 觀測器 受控系統的狀態(tài)受控系統的狀態(tài)x x，觀測器的狀態(tài)，觀測器的狀態(tài)z z，其中，其中z z是是r r維的，狀態(tài)方程維的，狀態(tài)方程 式是式是 cxy bvax x 5.5.4 5.5.4 利用觀測器構成的狀態(tài)反饋系統利用觀測器構成的狀態(tài)反饋系統 25 wuv myezw nvgyfzz 進一步可表示

19、為 cxy nuznefxnmcgcz bubezxbmcax )()( )( 或者 26 0cy z x u n b z x nefnmcgc bebmca z x 這就是帶有觀測器后閉環(huán)系統狀態(tài)方程。 （1）若若x x是是n n維，維，z z是是r r維維 , ,則閉環(huán)系統維數為則閉環(huán)系統維數為n+r;n+r; （2）閉環(huán)極點具有分離性閉環(huán)極點具有分離性, , 即它可變?yōu)椋杭此勺優(yōu)椋?性質：性質： u b z x f bebka z x 0 0 27 mcepk pbn gcfppa 證明：證明：存在p，有 z x cy 0 則 ip i p 0 顯然顯然 是非奇異的，且是非奇異的，且

20、，作坐標變換，作坐標變換 也即：也即： ，則有，則有 p pp 1 z x p z x zpxzxx , 28 0cy 0 z x u n b z x f bebka z x 證畢。 所以觀測器的引入不會影響極點配置，也不會影響解耦。所以觀測器的引入不會影響極點配置，也不會影響解耦。 （3） 是系統的不能控不能觀部分。是系統的不能控不能觀部分。z 或者表示成 )( cxy zfz buzbexbkax 29 5.5.5 5.5.5 離散觀測器離散觀測器 離散系統觀測器的討論方法和連續(xù)系統相似，設離散定 常系統 能觀，并且 是可逆陣。 ),(ch )()( )()() 1( kcxky khukxkx nrankw c c c w n 0 1 0 30 如果系統的能觀性指標為如果系統的能觀性指標為 ，則，則 n c c c rank 1 對于離散系統，作為全維狀態(tài)觀測器，可取為對于離散系統，作為全維狀態(tài)觀測器，可取為 )()( )()()()() 1( kk klykhuklck 其中其中l(wèi)是要選擇的反饋陣，這時是要選擇的反饋陣，這時 )()()() 1() 1(kkxlckkx 連續(xù)系統連續(xù)系統l l的選擇可以控制觀測誤差的速